湖北省襄陽市襄州一中 莊慧勤

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三大利斧突破動態(tài)立體幾何

湖北省襄陽市襄州一中 莊慧勤

近幾年，高考數(shù)學試卷出現(xiàn)動態(tài)立體幾何問題，這類試題新穎別致，構思精妙，使立體幾何“活”了起來，使立體幾何的題意更新穎、題目更靈活、考查更全面、思維更廣闊，給人耳目一新的感覺，加強了對學生空間想象能力的考查。解決立體幾何“動態(tài)”型問題時，一些學生思路不暢通。一些學生不能認識“動”的本質，不會利用數(shù)學思想解決立體幾何里的動靜矛盾。本文利用數(shù)學思想探尋“動態(tài)”型問題的切入點和解決策略。

高考 數(shù)學 立體幾何

一、轉化與化歸

轉化與化歸思想是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用的某種手段，是人們將問題通過變換使之轉化劃歸為已有知識范圍內(nèi)可以解決的一種方法、策略。這種方法可以將復雜問題轉化為簡單問題、將較難問題轉化為容易求解問題，將未解決問題轉化為已經(jīng)解決問題。轉化與化歸思想也是數(shù)學思想方法的核心。

例1：如圖，在三棱錐中P—ABC，PA=PB=PC=AC=4，

（1）求證：平面ABC⊥平面APC ；

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

（3）若動點M在底面三角形ABC上，二面角M—PA—C的余弦值為，求BM的最小值。

解析：（1）略；（2）以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。由已知得所以設平面PBC的法向量由得方程組取因為所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

例2：如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1。

（1）求證：AB⊥BC；

（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1—BC—A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關系，并予以證明。

解析：（1）略 ；（2） 由（1）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設則。

設平面A1BC的法向量為，則由得可取于是與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角。因為---→---→，所以。于是由c＜b，得，即sinθ＜sinφ，又，所以 θ〈φ。

二、函數(shù)思想

函數(shù)思想是人們用列函數(shù)關系式的方法或用函數(shù)相關知識通過建模解決實際問題與幾何問題，即用函數(shù)解題。動態(tài)立體幾何求最值和范圍問題時常常構造函數(shù)，可以利用函數(shù)相關知識解決幾何問題。

例3：直三棱柱（側棱垂直底面）ABC—A1B1C1中，AB= AC=1，∠BAC=90°。

（1）若異面直線A1B與B1C1所成的角為60°，求棱柱的高；

（2）設D是BB1的中點，DC1與平面A1BC1所成的角為θ ，當棱柱的高變化時，求sinθ的最大值.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設AA1=h（h ＞0），則有B（1，0，0）、B1（1，0，h）、C1（0，1，h）、A1（0，0，h），、

（1）當平面COD⊥平面AOB時，求θ的值；

解析：（1）如圖，以O為原點，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB、OA所在的直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系則。設為平面COD的一個法向量，由得

二面角C—OD—B的余弦值的取值范圍為［-α，0］。

三、方程思想

解決數(shù)學問題時，對一些形式上非方程的問題，學生可以通過一定的數(shù)學變換或構造，使非方程問題轉化為方程（組）的形式，運用方程（組）的有關性質處理這一問題，進而使原數(shù)學問題得到解決，這一思想方法稱為“方程的思想”。 動態(tài)立體幾何探求存在性問題時常常構造方程，利用方程相關知識解決幾何問題。

例5：如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA =45°。

（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（2）設AB=AP。①若直線PB與平面PCD所成的角為 ，求線段AB的長；②在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等？說明理由。

解析：（1）略。（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點E，則CE⊥AD。在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1，CE= CD ·sin45°=1，設AB=AP=t，則B（t，0，0）、P（0，0，t）。由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E（0，3-t，0）、C（1， 3-t，0）、D（0，4-t，0）、

取x=t，得平面PCD的一個法向量n=（t，t，4-t），又故直線PB與平面PCD所成的角為-→ 30°，得，即。解得或t=4（舍去，因為AD=4-t＞0），所以

②假設在線段AD上存在一個點G，使點G到點P、B、C、 D的距離都相等，設則由消去t，化簡得此方程沒有實數(shù)根，所以線段AD上不存在一個點G使點G到點P、C、D的距離相等。從而，線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等。

例6：已知幾何體A—BCED的三視圖，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形。

（1）求此幾何體的體積V的大小；

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQ⊥BQ并說明理由。

（3）以C為原點，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系。

3.高校思想政治教育推行對話式教育。當前，部分高校思想政治教育的主要模式是“灌輸式”講授，教師和學生之間處于不平等狀態(tài)，學生沒有表達真實意愿的機會?！皩捜荨焙魡緦υ捠降慕逃Ｊ?，即學生和教師以相互尊重、相互信任、相互理解為基礎，以尋求真知、創(chuàng)造意義和建構完滿的精神世界為目標，教育主體之間進行平等交流、相互溝通的過程。 對話式的教育模式可以在思想政治課堂上推行，可以通過講座、交流會、見面會、辯論會等方式展開。例如，筆者所在學校定期召開“寬容”論壇，邀請校內(nèi)外專家學者與學生共同探討“寬容”話題；定期召開“寬容與構建和諧社會”學術研討會，邀請學術界知名學者交流探討，推動“寬容”為本的校園精神；在校園網(wǎng)設立校長信箱，定期召開校長見面會，校長與學生近距離接觸、平等對話。學生在對話式的教學過程中，享有話語權，體驗思想的碰撞，充分體驗自己的觀點和選擇被尊重、被接納，從而增強自我價值感，提升自信度，從而對高校培養(yǎng)自主性、創(chuàng)新性人才有重要意義。

4.高校思想政治教育中倡導發(fā)展性學生評價。高校思想政治教育中的“寬容”要求教師以生成性的思維教育學生，不贊同以表現(xiàn)好壞、成績高低、品德優(yōu)劣等簡單模式評價學生。教師要正視和照顧學生的差異性?！皩捜荨背珜Ц咝Ｋ枷胝谓逃\用發(fā)展型學生評價方式，即評價標準多元化、評價主體多元化、評價時間長期化的學生評價方式。這與傳統(tǒng)思想政治教育以教師為主導、以成績?yōu)橹饕獦藴?、短期片面的評價相對立。

當前正在推行的大學生綜合素質測評體系是實現(xiàn)發(fā)展性學生評價的重要方式之一。它取代了以往以成績作為唯一評價標準的做法，主張確立德智體等基本素質和創(chuàng)新、實踐能力等拓展素質為綜合評價標準，確立由本人、同學、班主任、輔導員、社區(qū)、社團等多元評價主體。通過長期多次的評價，學生充分發(fā)揮自身潛能，在參與評價的過程中學會自我反思、自我認識、自我評價、自我激勵，以及自我謀劃個人發(fā)展方向，使學生形成內(nèi)在的強有力的發(fā)展動力，實實在在地促進自身發(fā)展，以此使“寬容”教育逐步落實到實踐中。

［1］楊 楹.寬容：馬克思主義生活哲學研究的重要領域［A］.第二屆“寬容與構建和諧社會”研討會論文集［C］.2008.10

［2］周元明.從寬恕到寬容：現(xiàn)代高校德育的理念轉換［J］.湖湘論壇，2007.03

［3］張?zhí)鞂?走向交往實踐的主體性教育［M］.北京：教育科學出版社，2005

ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0273

吳楠（1984— ），女，河南汝南人，華僑大學思政教師，講師，從事高校思想政治教育研究