●王勇強

(湖州市教育科學研究中心　浙江湖州　313000)

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樸實蘊靈動簡約顯大氣

——2016年浙江省數(shù)學高考數(shù)列題賞析*

●王勇強

(湖州市教育科學研究中心浙江湖州313000)

文章通過對2016年浙江省數(shù)學高考數(shù)列題的呈現(xiàn)、賞析、解法探究、變式以及反思，給出些許教學啟示.引導學生重視課本核心概念，重視在新的問題情境中遷移與運用平時積累的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，引導學生真正參與到數(shù)學思維活動中等，予以拋磚引玉，以期對數(shù)學教學有所幫助．

數(shù)列；概念本質(zhì)；數(shù)學基本活動經(jīng)驗；教學啟示

數(shù)列是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一,具有豐富的內(nèi)涵和外延，它可以溝通函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容之間的聯(lián)系，常受到高考命題者的青睞．2016年浙江省數(shù)學高考試卷也對它進行了重點考查，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與單調(diào)性以及與不等式性質(zhì)之間的聯(lián)系，同時考查了學生的命題轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學思想方法以及推理論證能力、分析問題和解決問題的能力．理科卷考查數(shù)列知識的具體題目有第6，20題；文科卷第8，17題考查了數(shù)列知識(其中文科卷第8題與理科卷第6題完全相同)．其中理科卷的第8題和第20題是其中最為出彩的好題，細細品味，意蘊深遠，同時該題也是令大多數(shù)考生頭疼的考題．筆者認真思考了這2道試題，作一個簡要的賞析，用于拋磚引玉．

1　細品概念，樸實靈動

圖1

例1如圖1，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的2條邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2，n∈N*(其中P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)．若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則

()

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第6題)

分析粗略一看，感覺本題既抽象又樸實：文字表述較抽象，但所給的圖形卻是考生在中學學習數(shù)學時熟悉樸實的幾何圖形．本題考查的是平面幾何中兩點間距離與三角形面積的運算以及抽象概括和推理論證的能力，符合浙江省“重基礎(chǔ)，重本質(zhì)，考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)”的一貫命題思路．不少考生在考場上感覺無從下手，亂算一氣，最后猜一個答案．但若能仔細挖掘，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，可以看出本題蘊含著等差數(shù)列概念的幾何本質(zhì)——等差數(shù)列的圖像是某直線上一群等距且孤立的點，從而順利找到解題的突破口．

圖2

以直線B1B2為x軸，建立如圖2所示的坐標系，由|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*這個條件可得：點列{An}的縱坐標成等差數(shù)列；由|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*可得：{Sn}是等差數(shù)列，故選A．當且僅當|AnAn+1|=|BnBn+1|，即AnBn∥An+1Bn+1時，{dn}成等差數(shù)列，故選項C不恒成立．因此，深刻理解等差數(shù)列的概念，就能找到本質(zhì)、自然、靈動的解法．

點評以上這道數(shù)列選擇題考查的重點不是“算”而是“想”．從上面的分析與解題過程看，試題強調(diào)數(shù)學思維與本質(zhì)，要求考生深刻理解概念，并能合理轉(zhuǎn)化、靈活運用．在問題的數(shù)形轉(zhuǎn)化和對等差數(shù)列概念的多元表征中，凸顯概念的數(shù)學本質(zhì)．

章建躍先生認為：“從數(shù)學角度衡量，‘好題’具有以下‘品質(zhì)’：與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等；從培養(yǎng)思維能力的角度，‘好題’則應(yīng)有：問題是自然的，對學生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細枝末節(jié)，表述形式簡潔、流暢、好懂等．”[1]

由此，筆者認為理科第6題是一道擁有等差數(shù)列幾何背景，與重要的數(shù)學概念相關(guān)，是體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、靈動，體現(xiàn)思維能力的好題.而理科第20題則在經(jīng)典的遞推數(shù)列問題中植入新的設(shè)問，令人耳目一新．

2　簡約大氣，銳意創(chuàng)新

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)

評析經(jīng)典的遞推數(shù)列問題在浙江省數(shù)學高考解答題中反復出現(xiàn)，早些時候曾出現(xiàn)在2004年第22題、2005年第20題、2006年第20題、2008年第22題中，另外2015年也將遞推數(shù)列問題第20題作為整卷的最后一題．本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系與單調(diào)性以及與不等式性質(zhì)的聯(lián)系，同時還考查了學生的命題轉(zhuǎn)換、分類討論的數(shù)學思想方法以及推理論證能力、分析問題和解決問題的能力．該題的文字表述非常簡潔、流暢，設(shè)問層次遞進，數(shù)學內(nèi)涵卻很豐富，給人一種簡約之中彰顯大氣的韻味．該題在經(jīng)典的遞推數(shù)列問題中加入絕對值，并與不等式結(jié)合，從而挖掘出創(chuàng)新的設(shè)問，其深刻的數(shù)學思想更令人回味．

分析對于第1)小題，若將問題的題干簡化為

則可變形為

an+1-2=2(an-2)，

或

于是問題轉(zhuǎn)化為考生熟悉的構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式的問題或數(shù)列累加求和問題.因此要解決此問題,則需將平時積累的數(shù)列求通項、求和的典型數(shù)學思維活動經(jīng)驗遷移到含絕對值、不等式符號的創(chuàng)新設(shè)問情境中．

下面分別給出解決第1)小題的2種解法：

解法1由題意和絕對值三角不等式知

于是 |an+1|-2≥2(|an|-2),

(1)

當|a1|≤2時，|an|≥2n-1(|a1|-2)恒成立；當|a1|>2時，由式(1)得到|an|>2，從而

于是

|an|-2≥2n-1(|a1|-2)，

故

|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2).

綜上可知，|an|≥2n-1(|a1|-2)．

解法2由題意和絕對值三角不等式知

(2)

故

|an|≥2n-1(|a1|-2)．

點評本小題解題所依據(jù)的數(shù)學基本思維活動經(jīng)驗是“構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式的經(jīng)驗或數(shù)列累加求和經(jīng)驗”，當然也用到了絕對值三角不等式的性質(zhì)．這種將“|an|-2”看成整體構(gòu)造等比數(shù)列的基本思維活動經(jīng)驗大多數(shù)高三學生都有，解題的關(guān)鍵不是數(shù)學基本思維活動經(jīng)驗的積累，而是數(shù)學活動經(jīng)驗的遷移與運用，將其遷移運用在“等”到“不等”的新情境，引導和促進學生“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”新知識[2]，從而順利解決問題．

第2)小題的分析如下：

從而

(3)

由m的任意性，當m→+∞時，

即

綜上可知，任取n∈N*，有|an|≤2．

若將本小題的解題的起點與終點進行調(diào)整互換，則可用反證法來解決．

(4)

即

3　教學啟示，值得反思

對于經(jīng)典的數(shù)列內(nèi)容，不少學生看似熟悉，覺得自己已掌握了數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法，也積累了一些基本數(shù)學活動經(jīng)驗，認為考試中碰上數(shù)列題不會有大的問題，但實際上2016年高考的2道數(shù)列題都成為大多數(shù)考生頭疼的考題．這說明目前的數(shù)學教學還存在著一些問題:平時教學沒有重視核心概念，學生沒有透徹理解核心概念的內(nèi)涵與外延；沒有重視學生對基本數(shù)學活動經(jīng)驗的主動運用，相對于積累數(shù)學活動經(jīng)驗缺乏對思維活動經(jīng)驗的回顧反思，缺乏在新的情境中對數(shù)學思維活動經(jīng)驗的充實深化和主動實踐；沒有重視將學生如何發(fā)現(xiàn)和提出問題、如何獨立分析數(shù)學問題、如何主動構(gòu)建研究問題的方法和策略以及如何去掌握解決一些深刻數(shù)學問題的基本思想方法等作為主要的教學目標[3]．

若教師能在教學中引導學生重視課本、重視核心概念、重視基本的數(shù)學思想方法；重視引導和促進學生主動在新的問題情境中遷移與運用平時積累的經(jīng)驗，并引導學生主動與之前的經(jīng)驗進行對接與融合，再次積累新的數(shù)學活動經(jīng)驗用于遷移與內(nèi)化；重視引導學生真正參與數(shù)學思維活動，讓學生學習如何讀題、分析題意，如何進行多元聯(lián)系、多角度轉(zhuǎn)化，如何尋找已知與未知的關(guān)系去獲得解題的思路，那么學生就會養(yǎng)成良好的思考問題的習慣，在轉(zhuǎn)化的意識與方法上有所提高，就會真正提高學習效率．這樣也才會使數(shù)學教學真正擺脫題海，事半功倍，為學生謀取更廣大的長遠利益．

[1]章建躍.讓學生解好題[J].中小學數(shù)學：高中版，2012(10)：封底.

[2]羅新兵，盧恒.數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與運用[J].中學數(shù)學教學參考：高中版，2015(9)：11-14.

[3]王勇強.二次函數(shù)永恒的經(jīng)典[J].數(shù)學通訊，2015(11)：24-27.

*收文日期：2016-06-20；2016-07-05

王勇強(1974-)，男，浙江金華人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

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1003-6407(2016)09-38-04