李向正，王喬丹,張金良

(1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023;2.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081)

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變系數(shù)KP方程和變系數(shù)廣義KP方程的變速孤波解

李向正1，王喬丹2,張金良1

(1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽 471023;2.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081)

根據(jù)簡化齊次平衡原則，導(dǎo)出了一個(gè)齊二次方程的解到變系數(shù)KP方程解之間的非線性變換，由于該齊二次方程有指數(shù)函數(shù)形的解，因此根據(jù)非線性變換可得出變系數(shù)KP方程的變速孤波解，并把此結(jié)果推廣到變系數(shù)廣義KP方程的情形。

變系數(shù)KP方程；簡化齊次平衡原則；孤波解

0　引言

非線性數(shù)學(xué)物理方程常被用來刻畫重要的物理過程，涉及了數(shù)學(xué)中幾乎所有主流分支，其中方程求解始終是研究熱點(diǎn)之一。齊次平衡原則[1-5]作為獲取非線性方程精確解的方法，獲得了廣泛的關(guān)注和發(fā)展，一些重要的方法如F展開法和(G′/G)-展開法，都是依據(jù)齊次平衡原則來確定解的表達(dá)式中的最高次冪項(xiàng)。在利用齊次平衡原則求解非線性數(shù)學(xué)物理方程的過程中，本文精煉了齊次平衡原則的一些步驟，得到了簡化齊次平衡原則[6]的方法。

本文研究的一般變系數(shù)KP方程

[ut+f(t)(6uux+uxxx)]x+g(t)uyy=0

(1)

和一般變系數(shù)廣義KP方程

[ut+f(t)(3(n+1)unux+uxxx)]x+g(t)uyy=0,

(2)

其中：f(t)和g(t)是變量t的可積函數(shù)。方程(2)中的n是正整數(shù)。當(dāng)n=1時(shí)，方程(2)退化為方程(1)。

當(dāng)f(t)=1，g(t)=3α2時(shí)，方程(1)和方程(2)分別轉(zhuǎn)化為規(guī)范化的KP方程

(ut+6uux+uxxx)x+3α2uyy=0

和廣義KP方程

[ut+3(n+1)unux+uxxx]x+3α2uyy=0。

KP方程是由前蘇聯(lián)物理學(xué)家Kadomtsev和Petviashvili在研究弱色散介質(zhì)中的非線性波動(dòng)理論時(shí)發(fā)現(xiàn)的。KP方程有著廣泛的物理背景，在流體力學(xué)、等離子體物理和氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，可作為描述(2+1)-維淺水波和等離體中離子聲波的模型方程。KP方程描述了弱振幅表面波的傳播，即在其他方向增加一個(gè)小擾動(dòng)后，在一個(gè)方向上的弱非線性和弱色散波的傳播。許多學(xué)者對(duì)KP方程進(jìn)行了廣泛的研究[7-10]，而對(duì)變系數(shù)的情形研究相對(duì)較少。對(duì)常系數(shù)KP方程，有學(xué)者利用截?cái)嗾归_法和Backlund變換得到了廣義KP方程的類孤波解；有學(xué)者利用擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)展開法，得到KP方程具有Painleve性質(zhì)條件下的解。變系數(shù)KP方程比常系數(shù)KP方程能夠更好地描述實(shí)際的表面波情況，能夠處理寬度、深度及密度等不斷變化時(shí)，表面波通過峽谷進(jìn)入大?；蚝Ｑ蟮木唧w情況。而對(duì)于變系數(shù)KP方程或變系數(shù)廣義KP方程，一些常用的方法變得不再適用，發(fā)展變系數(shù)KP方程的求解方法就成了一個(gè)重要的問題。文獻(xiàn)[9]通過修正CK直接方法，建立了常系數(shù)和變系數(shù)KP方程之間的等價(jià)變換，從而利用常系數(shù)方程的解得到變系數(shù)方程的解。文獻(xiàn)[10]用(G’/G)-展開法求出了變系數(shù)廣義KP方程的精確解。KP方程的形式較多，本文所研究變系數(shù)KP方程和變系數(shù)廣義KP方程與文獻(xiàn)[9-10]中方程的形式不同，求解方法也不同。

本文用簡化齊次平衡原則[6]，導(dǎo)出變系數(shù)KP方程(1)的一個(gè)非線性變換，借此變換求出其變速孤波解。然后，將結(jié)果推廣到變系數(shù)廣義KP方程的情形。

1　非線性變換的導(dǎo)出

考慮方程(1)中uux和uxxx之間的齊次平衡[1-5](2m+1=m+3→m=2)，按照簡化齊次平衡原則(用對(duì)數(shù)函數(shù)Alnφ取代HB方法中的F(φ))[6]，可設(shè)方程(1)的解具有如下形式：

u(x,y,t)=A(lnφ)xx，

(3)

其中：常數(shù)A和函數(shù)φ=φ(x,y,t)均待定。下面要確定常數(shù)A和函數(shù)φ=φ(x,y,t)，使式(3)精確地滿足方程(1)。為此，將式(3)代入方程(1)的左端得：

[ut+f(t)(6uux+uxxx)]x+g(t)uyy=

A(lnφ)xxxt+f(t)6[A(lnφ)xxA(lnφ)xxx]x+f(t)A(lnφ)6x+g(t)A(lnφ)xxyy=

(4)

為確定常數(shù)A，置式(4)中φ-4的系數(shù)為0，則得A=2。將其代入式(3)及式(4),則式(3)和式(4)分別變?yōu)椋?/p>

u(x,y,t)=2(lnφ)xx

(5)

和

[ut+f(t)(6uux+uxxx)]x+g(t)uyy=

(6)

只要φ=φ(x,y,t)滿足齊二次方程：

(7)

由式(5)、式(6)和方程(7)得出結(jié)論：若φ=φ(x,y,t)是齊二次方程(7)的一個(gè)解，將之代入式(5)，就得變系數(shù)KP方程的解。式(5)和方程(7)一起構(gòu)成了齊二次方程(7)解到變系數(shù)KP方程(1)解的非線性變換。

2　齊次方程和變系數(shù)KP方程的解

由方程(7)的齊次性，可設(shè)其解具有如下形式：

φ(x,y,t)=1+eη,η=k(x+λy)+ω(t)，

(8)

ω(t)待定。將式(8)代入方程(7)的左端得：

eη(kω′+fk4+gk2λ2)+e2η(kω′+fk4+gk2λ2)-

e2η(kω′+fk4+gk2λ2)=eη(kω′+fk4+gk2λ2)=0。

只要ω=ω(t)滿足常微分方程

kω′+fk4+gk2λ2=0，

解之得：

(9)

將式(9)代入式(8)，得方程(7)的解如下：

(10)

將式(10)代入式(5)，得變系數(shù)KP方程(1)的變速孤波解如下：

(11)

令η=const,關(guān)于t求導(dǎo)得波速如下：

波速依賴于方程的系數(shù)，從而隨變量t變化而變化。

3　變系數(shù)廣義KP方程的解

為了將變系數(shù)KP方程結(jié)果推廣到變系數(shù)廣義KP方程的情形，引入廣義行波變量：

(12)

將式(12)代入變系數(shù)廣義KP方程(2)，再將含有f(t)的項(xiàng)合并在一起，而含有g(shù)(t)的項(xiàng)相互抵消，并消去非零因子f(t)，則得u=u(ξ)的常微分方程：

-k4u″+(3k(n+1)unu′+k3u?)′k=0。

(13)

關(guān)于ξ積分常微分方程(13)兩次，取積分常數(shù)為0,則常微分方程(13)簡化為：

(14)

在文獻(xiàn)[11]中，討論了如下的非線性常微分方程：

u″=Au+Bun+1，

(15)

其解為：

顯然方程(14)是方程(15)的成員之一。利用方程(15)的結(jié)果，可得方程(14)的解如下：

(16)

將式(16)代入式(12)得變系數(shù)廣義KP方程的線孤波解：

(17)

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，式(17)退化為變系數(shù)KP方程的線孤波解(11)。

4　結(jié)束語

本文用簡化齊次平衡原則求解了變系數(shù)KP方程，所得變速孤波解的波速依賴于方程的系數(shù)，隨變量t變化而變化。在此基礎(chǔ)上，引入廣義行波變量，將變系數(shù)廣義KP方程化為簡單可解的非線性常微分方程，從而借助已有研究成果,得到了該方程的線孤波解。解的形式(3)還可以改寫為u(x,y,t)=A(lnφ)xx+lnφ關(guān)于x的低于2階偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)線性組合，從而得到的齊次方程也與方程(5)有所不同，從齊次方程中找出更多有意義的解，從而可以找出變系數(shù)KP方程的一些新形式的精確解。

致謝:本文得到王明亮教授的指導(dǎo)，在此表示感謝。

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國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871129);河南科技大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目(09001562)

李向正(1972-),男,河南偃師人,副教授,博士,主要研究方向?yàn)榉蔷€性數(shù)學(xué)物理方程.

2016-05-24

1672-6871(2016)06-0082-03

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.06.017

O175.2

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