☉浙江省臺(tái)州市白云學(xué)校張安軍

一道期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題的錯(cuò)誤分析及思考

☉浙江省臺(tái)州市白云學(xué)校張安軍

一、試題呈現(xiàn)

題目：（本題6分）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交BG于點(diǎn)G，且AC∥BG，DE⊥GF，交AB于點(diǎn)E，連接EG.

（1）求證：BG=CF；

（2）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1

第1小題利用三角形全等，證明兩條線段相等.兩個(gè)三角形全等的確定，從已知條件中可以直接得到對(duì)頂角相等，由中點(diǎn)的定義得到線段相等，由兩條直線平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等，全等條件基本上都可以直接得到.第2小題在第1小題的基礎(chǔ)上，把線段BE、CF、EF通過(guò)等量代換集中到△EBG，從而由三角形兩邊之和大于第三邊，就能證得結(jié)論.

上述題目是區(qū)八年級(jí)上期末一道測(cè)試題，所用的是人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)，該題為試卷的第20題（本卷選擇題10題，填空題5題，簡(jiǎn)答題8題，共23題，100分制），從試題的結(jié)構(gòu)和分布情況來(lái)看，命制者把此題放在簡(jiǎn)答題的第四題，認(rèn)為此題目不難，是容易得分的題目；同樣任課的老師也認(rèn)為是一道中檔難度的試題.然而通過(guò)閱卷統(tǒng)計(jì)后，教研區(qū)的三個(gè)學(xué)校統(tǒng)計(jì)學(xué)生得分情況如下表：

人數(shù)平均分最高分最低分得6分得0分1032 2.6 6 0 187人179人

學(xué)生的錯(cuò)誤千姿百態(tài)，本文試圖對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤答題進(jìn)行分類整理，呈現(xiàn)部分錯(cuò)誤的解答，為一些老師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，調(diào)整自己的教學(xué)，促進(jìn)因材施教的實(shí)施，提供一些依據(jù).

二、錯(cuò)誤分類

對(duì)于學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開(kāi)展了有益的工作，Newman等人從解題過(guò)程角度提出錯(cuò)誤的層級(jí)，將其分為5個(gè)水平：閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、加工技能、編碼.理解錯(cuò)誤指的是沒(méi)有掌握問(wèn)題中所有信息的意義.操作技能錯(cuò)誤指的是與算法有關(guān)的錯(cuò)誤.編碼錯(cuò)誤指的是書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤，如筆誤等［1］.戴再平先生從解題結(jié)果的角度把解題錯(cuò)誤分為知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤、策略性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤［2］.本次收集一道幾何解答題的解答錯(cuò)誤，并且是一次期末考試，它和自然狀態(tài)下學(xué)生的作業(yè)重視程度是不一樣的.Newman等人是基于學(xué)生解文字題得到的研究成果，主要是針對(duì)代數(shù)內(nèi)容；戴再平先生過(guò)于籠統(tǒng)，缺乏針對(duì)性，如邏輯性錯(cuò)誤本質(zhì)上也是知識(shí)性錯(cuò)誤.鑒于上述原因，把本次收集的錯(cuò)誤分成四類，具體如下.

1.不知所云式的錯(cuò)誤

閱卷的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)這樣一類錯(cuò)誤，學(xué)生認(rèn)真作答，寫(xiě)了很多的內(nèi)容，但所寫(xiě)的內(nèi)容和答案相差甚遠(yuǎn).有的所寫(xiě)內(nèi)容閱卷老師很難讀懂，他們的答題缺乏目標(biāo)導(dǎo)向，或者僅對(duì)已知的條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的拼湊，推理時(shí)缺乏邏輯，不按照數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征和關(guān)系去說(shuō)理，一切都按主觀的想法去構(gòu)建解答.這樣一類錯(cuò)誤如同兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，不知所云.從中可以發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生對(duì)書(shū)本中的概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)不會(huì)理解，或者大部分都不清楚，當(dāng)然更不清楚它們之間的關(guān)系.

［錯(cuò)例1］（1）在△GBD和△FCB中，AC∥BG，DG= DF，DE⊥GF.

所以△GBD≌△FCB，所以BG=CF.

（2）由BE+CF=90°，EF=135°，90°＜135°，得EF＞BE+CF.

對(duì)于（1）的解答，證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，把已知條件中兩線的位置關(guān)系平行和垂直作為全等的判定條件；對(duì)于（2），在說(shuō)明線段EF和BE+CF的大小關(guān)系時(shí)，用角度代替線段的大小，這樣的想法讓閱卷老師百思不得其解.改完試卷后，在第二學(xué)期通過(guò)該考生的任課老師了解得知該考生成績(jī)比較差，同時(shí)明白為什么得到“BE+ CF”等于90°，該考生的解釋是“FC所對(duì)∠2=18°，BE所對(duì)∠BGE=62°，EF和EG所夾的角∠GEF=135°”.當(dāng)然如上述考生這樣的錯(cuò)誤僅僅是個(gè)案，但我們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)存在這樣一類錯(cuò)誤的學(xué)生占9%，他們都很努力地進(jìn)行解答，還有接近8%的考生是空著不做.按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)計(jì)分，這兩類考生該題的得分都是零分，但兩者還是有著區(qū)別的，努力地完成解答的學(xué)生，他們?cè)谡w上對(duì)數(shù)學(xué)還是有所感悟的，比如上述這位學(xué)生在證明兩條線段相等時(shí)，知道用三角形全等的方法；比較線段的大小時(shí)，化形為數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)比較線段的大小，并且這樣的學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度上大都還是端正的，他們?cè)敢馀浜侠蠋煹淖鳂I(yè)，他們可能存在偏科，他們也努力實(shí)現(xiàn)自己的進(jìn)步，但由于他們接受數(shù)學(xué)知識(shí)比一般的同學(xué)要慢得多，更需要數(shù)學(xué)老師的呵護(hù)和關(guān)愛(ài).數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.其次課堂上設(shè)計(jì)的問(wèn)題要有層次性，盡可能照顧到不同層次的學(xué)生，讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的同學(xué)也有所收獲.

2.大意失荊州式的錯(cuò)誤

在閱卷的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生讀題時(shí)不夠細(xì)心，比如漏看條件，增加了條件，或者錯(cuò)看條件；在審題時(shí)，沒(méi)有挖掘題中的隱含條件，或者想當(dāng)然當(dāng)作以前做過(guò)的題目，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)似曾相識(shí)背后問(wèn)題的不同.在考試時(shí)，限時(shí)做一份試卷，學(xué)生急于把試卷做完，在解答或書(shū)寫(xiě)時(shí)，有的出現(xiàn)了上下行抄錯(cuò)，有的是抄寫(xiě)時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤，如本來(lái)想寫(xiě)的答案是甲，結(jié)果卻寫(xiě)成答案乙等.當(dāng)然從試卷本身的角度分析，本題條件多、圖形復(fù)雜、信息量大的特點(diǎn)造成認(rèn)知負(fù)荷，從記憶的貯存、編碼到信息的提取過(guò)程中容易出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.這類錯(cuò)誤和平常的做題習(xí)慣有關(guān)，稱之為“大意失荊州”式的錯(cuò)誤.

［錯(cuò)例2］由D是BC的中點(diǎn)，得GD=FD.

［錯(cuò)例3］由AC∥BG，得∠C=∠BGD.

錯(cuò)例2中“D是BC的中點(diǎn)”本應(yīng)該是BD=DC，而學(xué)生錯(cuò)寫(xiě)成GD=FD.錯(cuò)例3中由“AC∥BG”可得到“∠C=∠3”，但學(xué)生卻錯(cuò)寫(xiě)成“∠C=∠BGD”.除此之外，還有比如三角形全等要按照對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序來(lái)寫(xiě)，學(xué)生卻錯(cuò)寫(xiě)成“△GBD≌△DFC”，犯這樣一類錯(cuò)誤的學(xué)生千姿百態(tài)，數(shù)學(xué)優(yōu)秀生或困難生都有著不同程度的體現(xiàn).究其原因，一部分是由于平常做作業(yè)時(shí)，沒(méi)有養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，做作業(yè)時(shí)未曾集中注意力，如邊看電視邊做作業(yè)，長(zhǎng)期以往形成不良的習(xí)慣，還有客觀上的原因，本題的題意較長(zhǎng)，語(yǔ)言敘述煩瑣，信息量多而散亂，記憶的貯存容易遺失或增加，這樣考生提取信息時(shí)，出錯(cuò)率相對(duì)就高.對(duì)于上述這樣的錯(cuò)誤，如何有效地避免呢？學(xué)生養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣除了專心致志做作業(yè)外，還要減少作業(yè)，老師不要注重作業(yè)量完成的多少，要注重作業(yè)的品質(zhì)，布置作業(yè)前，老師自己先做題目，精選題目，避免重復(fù)；其次，為了體現(xiàn)考試的信度和效度，在題目語(yǔ)言敘述上做到精練，條理清楚.如把原題改寫(xiě)為下面的敘述.

如圖1，過(guò)△ABC邊BC的中點(diǎn)D作直線交AC于F點(diǎn)，并同時(shí)與過(guò)B點(diǎn)且與AC平行的線交于點(diǎn)G.

（1）求證：BG=CF；

（2）E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接EG、EF，當(dāng)DE⊥GF時(shí)，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

改編后的題目與原題相比，題干變得簡(jiǎn)潔、明了，信息的干擾少，易于第1小題的解答；同時(shí)第1小題的順利解決，為第2小題的解答帶來(lái)了便利.

3.撲朔迷離式的錯(cuò)誤

在閱卷過(guò)程中，有這樣一類錯(cuò)誤，學(xué)生對(duì)基本概念、性質(zhì)的理解比較模糊，混淆定理應(yīng)用的條件，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述不準(zhǔn)，理由不夠充分，邏輯推理混亂，缺乏因果.這類錯(cuò)誤是由于對(duì)數(shù)學(xué)概念和定理等缺乏理解，分不清相近概念之間的關(guān)系，把這樣一類錯(cuò)誤稱之為雌雄難辨、撲朔迷離式的錯(cuò)誤.

［錯(cuò)例4］（1）由D是BC的中點(diǎn)，得BD=DC，GD=DF.

在△GBD和△FCB中，BD=DC，∠1=∠2，GD=DF.

則△GBD≌△FCB，則BG=CF.

（2）在Rt△EGD和Rt△EDF中，ED=ED，GD=DF，則△EGD≌△EDF（HL），則EG=EF.

又BG=CF，在△GBE中，BG+BE＞GE，則CF+BE＞EF.

錯(cuò)例4中的第1小題，把“中點(diǎn)的定義”和線段“互相平分”兩個(gè)概念混淆，同時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確地找出條件和結(jié)論之間的關(guān)系，無(wú)法排除無(wú)關(guān)條件和信息、挖掘隱含條件，如沒(méi)有察覺(jué)到兩直線“AC∥BG”這一條件；第2小題在證明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，把兩條邊相等都當(dāng)作直角三角形的“HL定理”，混淆了“HL定理”和一般三角形全等的區(qū)別，對(duì)具體問(wèn)題不具體分析，機(jī)械地運(yùn)用結(jié)論，出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象.

如何化解學(xué)生知識(shí)性等錯(cuò)誤呢？首先要讓學(xué)生學(xué)會(huì)審題，分解題意中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，對(duì)圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，挖掘隱含條件的信息，從而建立結(jié)論和條件之間的通道；其次，在教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)中的基本概念、定理、公式等教學(xué)，注重結(jié)果的同時(shí)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)概念和定理等形成過(guò)程的教學(xué)，只有這樣，學(xué)生才能清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，清楚知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，注重解題后的歸納總結(jié)和反思，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提升，這樣才能綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí).

4.南轅北轍式的錯(cuò)誤

在閱卷過(guò)程中，部分學(xué)生對(duì)第1小題解答思路清晰，條理清楚，然而在第2小題的解答過(guò)程中，出現(xiàn)了方向性的錯(cuò)誤.第2小題是開(kāi)放型的問(wèn)題，由于猜想出現(xiàn)錯(cuò)誤，考生為了證明自己的結(jié)論，達(dá)到自己的目的，缺乏正確的心理勢(shì)態(tài)，沒(méi)有從反向思考，對(duì)自己的猜想進(jìn)行質(zhì)疑，為了證明自己的結(jié)論，有的悄悄增加了條件，錯(cuò)誤接連不斷，也不遵從邏輯規(guī)則，任意得到想得到的結(jié)論，這樣的錯(cuò)誤稱之為南轅北轍式的錯(cuò)誤.

［錯(cuò)例5］猜想的結(jié)論：BE+CF=EF.

由△GBD≌△FCB，得EF=EG.

由DE⊥GF，得△GBD是直角三角形.

則∠EGB=60°.

則△GBO是等邊三角形.

則BG=OG.

由CF=BG，得CF=OG，則BE+CF=EF.

圖2

其次，課堂中應(yīng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷從“大膽的猜想”到“小心的求證”這樣一個(gè)思維的否定之否定的過(guò)程.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)中的合情推理和演繹推理是從已有的事實(shí)或經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)或直角，通過(guò)歸納或類比推斷某些結(jié)果.由于合情推理的結(jié)論不一定正確，因此有必要對(duì)歸納得到的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.從猜想、假設(shè)、質(zhì)疑再到新的猜想、假設(shè)、質(zhì)疑是循環(huán)往復(fù)的，如上述問(wèn)題中“BE+CF與EF的大小關(guān)系”的猜想，有同學(xué)得到這樣的猜想：“BE+CF=EF”或“BE+CF＜EF”，通過(guò)實(shí)際測(cè)量或者從已有的事實(shí)知識(shí)出發(fā)進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論與測(cè)量的結(jié)果不符合實(shí)際，或者不能從已有事實(shí)推出時(shí)，就轉(zhuǎn)向質(zhì)疑并否定，于是產(chǎn)生新的猜想和驗(yàn)證.因此在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷從假設(shè)猜想到質(zhì)疑否定這樣一個(gè)批判性思維的形成過(guò)程，也是在平常教學(xué)中“思考”的沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步積累的.

除了上述錯(cuò)誤，還發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題，如學(xué)生書(shū)寫(xiě)字跡了草，還有很多學(xué)生解決此題思維不簡(jiǎn)潔，煩瑣復(fù)雜，缺乏思維的靈活性，缺乏對(duì)新知識(shí)的遷移.例如上述問(wèn)題中在證明“EF＜BE+CF”時(shí)，為了證明“GE=EF”，沒(méi)有用已知條件DE⊥GF和已證得的結(jié)論GD=DF，當(dāng)然利用這兩個(gè)結(jié)論可得到ED是線段GD的垂直平分線，從而得出“GE=EF”.然而學(xué)生舍近求遠(yuǎn)利用“△GED≌△FED”去證明“GE=EF”，“線段垂直平分線”的性質(zhì)是圖形與幾何中的核心知識(shí)，利用這個(gè)性質(zhì)可直接證明線段相等，它們是全等三角形特殊的推廣，閱卷的過(guò)程中大部分學(xué)生不自覺(jué)運(yùn)用三角形全等去證明線段相等，在一定程度上反映出教師沒(méi)有注重解題過(guò)程中舉一反三、觸類旁通，沒(méi)有重視解題后歸納、反思和思維的優(yōu)化等.

三、對(duì)錯(cuò)誤的思考

一花一世界，一點(diǎn)雨露能映照出大自然的光輝，同樣學(xué)生的錯(cuò)誤也可折射教與學(xué)存在的問(wèn)題，學(xué)生的很多錯(cuò)誤是有規(guī)律的而不是偶然的，從學(xué)習(xí)者身上觀察到的一系列錯(cuò)誤表明，錯(cuò)誤不是教給的，而是學(xué)習(xí)者構(gòu)造了自己特有的概念和程式造成的.學(xué)生在解題中出錯(cuò)是學(xué)生解題的必然行為，教師對(duì)錯(cuò)例的剖析是解題教學(xué)的一部分，因此教師要善待學(xué)生的錯(cuò)誤，既要適當(dāng)暴露學(xué)生的錯(cuò)誤給出補(bǔ)救和糾正，又要在教學(xué)上進(jìn)行反?。患纫e(cuò)誤的負(fù)面影響，又要讓錯(cuò)誤散發(fā)出正能量.同時(shí)對(duì)錯(cuò)誤的修正也不能光靠教師的講解和不斷的強(qiáng)化，其更好的途徑是發(fā)揮學(xué)生的主體作用，進(jìn)行反思質(zhì)疑，從而提高錯(cuò)誤修正的效果.

1.黃興豐，等.初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯(cuò)誤的調(diào)查研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（8）.

2.戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論［M］.上海：上海教育出版社，1996.

3.應(yīng)建軍.初中數(shù)學(xué)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的實(shí)踐與探索——以一道作業(yè)本習(xí)題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.Z