☉江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中曹文喜

利用幾何圖形的軸對(duì)稱性解題

☉江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中曹文喜

兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱是指把其中一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，它能夠與另一個(gè)圖形重合.根據(jù)這個(gè)定義得到成軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)：任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段都被對(duì)稱軸垂直平分.解題時(shí)根據(jù)命題的條件及圖形的特征，運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱性來(lái)探索解題思路，可以迅速找到許多問(wèn)題的解題途徑.初中幾何中，等腰三角形、正方形和菱形等是典型的軸對(duì)稱圖形，把它們位于對(duì)稱軸兩旁的部分看成兩個(gè)圖形，那么這兩部分就成軸對(duì)稱.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

一、利用等腰三角形的軸對(duì)稱性解題

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的底邊上的高（或底邊上的中線或頂角的平分線）所在的直線就是它的對(duì)稱軸.如果把它看成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形就是成軸對(duì)稱圖形.

例1證明等腰三角形的兩底角相等.

分析：此題的常規(guī)證法是通過(guò)作等腰三角形底邊上的高而得到兩個(gè)全等的三角形，從而由對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明命題成立.若我們能發(fā)現(xiàn)△ABC與△ACB的對(duì)稱性就能夠更簡(jiǎn)單地證明.

證明：如圖1所示，在△ABC與△ACB，因?yàn)椤螦=∠A，AB=AC，AC= AB.所以△ABC≌△ACB.因此∠B=∠C.

圖1

二、利用正方形的軸對(duì)稱性解題

正方形是一種典型的軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸，其中它的對(duì)角線所在的直線也是它的對(duì)稱軸.通過(guò)觀察它的對(duì)角線，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)角線兩旁的部分呈軸對(duì)稱，其對(duì)應(yīng)的線段相等，對(duì)應(yīng)的角相等，這樣就能進(jìn)行相等線段之間的轉(zhuǎn)化和相等角之間的轉(zhuǎn)化，從而發(fā)現(xiàn)解題的思路.

例2如圖2，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E、F.求證：PD=EF.

圖2

分析：初略一看，EF只是兩個(gè)直角三角形的斜邊，而PD所在的兩個(gè)三角形不一定是直角三角形，似乎無(wú)法證明PD和EF相等，但是換個(gè)角度，考慮到對(duì)角線所在的直線也是正方形的對(duì)稱軸，連接PB，根據(jù)對(duì)稱性立即發(fā)現(xiàn)PD=PB（當(dāng)然規(guī)范解題時(shí)可以通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等得到）；這樣就轉(zhuǎn)化為求證EF和PB相等的問(wèn)題，而EF和PB是矩形的兩條對(duì)角線，顯然相等.

證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=BC= CD=DA，∠ABC=∠CDA=90°，所以∠BAC=∠DAC=45°.在△BAP和△DAP中，所以△BAP≌△DAP（SAS），所以PB=PD.

又因?yàn)镻E⊥AB，PF⊥BC，所以∠PEB=∠PFB=∠ABC=90°.

所以四邊形EBFP為矩形，所以EF=BP，所以PD=EF

例3如圖3，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，EM垂直平分BF交AC于點(diǎn)E，垂足為M，求∠EBF的度數(shù).

同時(shí)，含沙量沿垂線分布逐漸減小，其中大潮情況下，底層含沙量為表層含沙量的2.75倍，小潮情況下為1.22倍。表明大潮期間因流速顯著大于小潮，海床與水體間的泥沙交換活躍，近底層含沙量相對(duì)較高，水體泥沙均表現(xiàn)出有較多當(dāng)?shù)叵茡P(yáng)泥沙參與的特點(diǎn)。

圖3

分析：根據(jù)正方形的對(duì)角線所在的直線是它的一條對(duì)稱軸，通過(guò)觀察，立即就會(huì)發(fā)現(xiàn)線段EB=ED，∠EBC=∠EDC.又因?yàn)镋M垂直平分BF，得EB=EF，所以ED=EF，這樣∠EFD=∠EDF，所以∠EFD=∠EBC，這樣根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，就能得到∠BEF=∠BCF=90°，于是得出△EBF是等腰直角三角形，所以就可求出∠EBF=45°.

解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=BC=CD= DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∠BAC=∠DAC=45°.在

因?yàn)椤螮FD+∠EFC=180°，所以∠EBC+∠EFC= 180°.

又在四邊形EBCF中，∠EBC+∠BCF+∠EFC+∠FEB=360°，所以∠BCF+∠FEB=180°.

又∠BCD=90°，所以∠BEF=90°，所以△EBF為等腰直角三角形，所以∠EBF=45°.

三、利用菱形的軸對(duì)稱性解題

菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，它的對(duì)角線所在的直線就是它的一條對(duì)稱軸.因此能夠找到菱形的一邊上的點(diǎn)關(guān)于它的對(duì)角線的另一對(duì)稱點(diǎn)，從而就可以找到解題的思路.

例4如圖4，在菱形ABCD中，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若G、Q分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)P在何處時(shí)使PG+PQ最小；

（2）若G、Q分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則PG+PQ的最小值是什么？

圖4

圖5

分析：菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，因此菱形的對(duì)角線所在的直線是它的一條對(duì)稱軸.Q是CD上的一點(diǎn)，所以Q點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在邊AD上，這樣就將此題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問(wèn)題.

解：（1）如圖5，取AD的中點(diǎn)Q′，連接GQ′與BD相交于點(diǎn)P，這時(shí)PG+PQ最小.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA.

又Q、Q′分別為邊CD、DA的中點(diǎn)，所以DQ=DQ′.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，所以連接GQ′與BD相交于點(diǎn)P，這時(shí)PG+PQ最小.

（2）如圖6，由上題可知菱形ABCD是關(guān)于對(duì)角線BD成軸對(duì)稱的，所以動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q′應(yīng)該在AD上，且PQ=PQ′.

圖6

當(dāng)三點(diǎn)Q′、P、G共線且Q′P最短時(shí)，滿足結(jié)論.因?yàn)锳D∥BC，根據(jù)兩平行線間垂線段最短且處處相等，所以PD+PQ的最小值就是菱形ABCD的高.

總之，我們解題時(shí)，要注意觀察圖形、善于利用幾何圖形的軸對(duì)稱性，找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段，再根據(jù)題目所給的已知條件，進(jìn)行分析、探索，這樣就能夠快捷地找到解題的途徑.H