☉江蘇省張家港市梁豐初級(jí)中學(xué)蔣建東

一道“階段考題”的思路突破與講評(píng)設(shè)計(jì)

☉江蘇省張家港市梁豐初級(jí)中學(xué)蔣建東

考題的剖析和研究是教師常規(guī)教學(xué)工作的主要組成部分，也是教師教科研的一個(gè)方向，研究的價(jià)值在于：不僅可以服務(wù)于教學(xué)質(zhì)量的提升、學(xué)習(xí)效果的優(yōu)化，還可以促使教師專業(yè)水平的提升，服務(wù)于素質(zhì)化教育改革的發(fā)展.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，開(kāi)展深入而有效的考題研究是非常重要的，也是非常必要的.筆者就對(duì)近期初三階段性考試的一道壓軸題進(jìn)行分析和研討.由此展開(kāi)，欲以此達(dá)成拋磚引玉的效果.在最近一次初三階段性考試中，命題老師設(shè)計(jì)了一道把關(guān)題，是拋物線與圓的綜合考題，讓很多考生不適應(yīng)，得分率極低，本文先展示該題的思路突破，并圍繞該題給出教學(xué)設(shè)計(jì)，最后對(duì)命題導(dǎo)向的話題給出相關(guān)思考，供研討.

一、“階段考題”的思路突破

（1）求b和c的值.

（2）若MN∥BC，

圖1

①連接CD、BN，判斷四邊形BCDN是否為平行四邊形，說(shuō)明理由；

②以點(diǎn)D為圓心、DH長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙D，點(diǎn)P、Q分別為拋物線和⊙D上的點(diǎn)，試求線段PQ長(zhǎng)的最小值.

思路講解：（1）利用待定系數(shù)法容易求出b=-1，c=-4.

（2）①首先確認(rèn)直線BC的解析式為y=x-4，于是直線MN的解析式為y=x.聯(lián)立拋物線的解析式y(tǒng)=x2-x-4和y=x-4，可解出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再計(jì)算出線段DN的長(zhǎng)，與BC的長(zhǎng)進(jìn)行比較可以獲得解答.

②這個(gè)問(wèn)題看上去較繁難，沒(méi)有思路，難以轉(zhuǎn)化到初中幾何中幾個(gè)圖形最值的模式（如兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；軸對(duì)稱最小值模式等），但是如果我們把問(wèn)題稍作簡(jiǎn)化，排除干擾圖形或線條的影響，就容易獲得思路了，如圖2，連接PD，交⊙D于Q，顯然DQ是定值（⊙D的半徑），故當(dāng)PD最小時(shí)，PQ也就取得最小值！于是可以利用“兩點(diǎn)間距離公式”分析PD2的最小值，而D點(diǎn)是定點(diǎn)（1，1），即有PD2=（1-x）2+，真正的障礙出現(xiàn)了，就是對(duì)關(guān)于x的式子的整理變形，配方得到，故PD的最小值是，相應(yīng)的PQ的最小值是.

圖2

解后反思：最后一問(wèn)的關(guān)鍵是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)到拋物線上任意一點(diǎn)之間的距離最小問(wèn)題的研究，本質(zhì)上是兩點(diǎn)間距離公式的使用，不然就需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理分析.也就是說(shuō)，跟所謂的⊙D無(wú)甚關(guān)系，⊙D只是包裝、增加解題層次而已.理解上述關(guān)鍵或問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)之后，我們可以根據(jù)上述考題的講評(píng)與拓展設(shè)計(jì)出如下的教學(xué)流程，供研討.

二、“階段考題”的教學(xué)流程

圖3

問(wèn)題1：能確定拋物線的解析式嗎？你有哪些不同的方法？

預(yù)設(shè)互動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)使用待定系數(shù)法直接代入解析式后得出關(guān)于b、c的二元一次方程組；也可以利用“兩根式”，設(shè)；還可以根據(jù)兩根坐標(biāo)分析出對(duì)稱軸方程從而求出b.這樣可體現(xiàn)解法路徑的多樣化.這樣的教學(xué)不僅可以滿足班級(jí)每個(gè)層面的需求，還能激發(fā)部分優(yōu)生深入、多元的思考，真正達(dá)成隱性分層、多元培優(yōu)的效果.

問(wèn)題2：求直線BC的解析式.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，也可以根據(jù)直線斜率快速分析.由此可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的參與，引領(lǐng)學(xué)生在自我參與的過(guò)程中達(dá)成溫故而知新.

問(wèn)題3：將直線BC向上平移m個(gè)單位得到直線l，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出直線l的解析式.

問(wèn)題4：求直線l與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

問(wèn)題5：設(shè)直線l與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

問(wèn)題6：連接CD、BM，有人認(rèn)為四邊形BCDM是平行四邊形，你覺(jué)得呢？

預(yù)設(shè)互動(dòng)：?jiǎn)栴}3～6是原考題的（2）①，通過(guò)系列追問(wèn)，化解求解的難點(diǎn)和主要步驟.這樣的問(wèn)題鏈的產(chǎn)生不僅可以引領(lǐng)學(xué)生思考、啟發(fā)學(xué)生的思維，而且教師長(zhǎng)期采用問(wèn)題鏈的形式來(lái)進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維習(xí)慣，提升了學(xué)生的思維能力，無(wú)形之中可以達(dá)成授之以漁的效果.

活動(dòng)2：探究點(diǎn)到“線”的距離.

問(wèn)題7：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離是？點(diǎn)A到直線x＝1的距離呢？點(diǎn)A到直線y＝x的距離呢？

預(yù)設(shè)：通過(guò)變式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)并思考點(diǎn)到直線的距離，作出垂線段是處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵.而關(guān)鍵環(huán)節(jié)的突破因?yàn)榻處煹奶釂?wèn)和學(xué)生的體驗(yàn)而悄然突破，達(dá)到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的效果.

問(wèn)題8：平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)D（1，1），該點(diǎn)到拋物線的頂點(diǎn)距離是多少？

問(wèn)題10：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D（1，1），以點(diǎn)D為圓心、1為半徑作圓，若該圓上有一點(diǎn)Q，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，試分析PQ的最小值.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生回看“問(wèn)題9”，與“問(wèn)題10”相比有什么關(guān)聯(lián)？引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析與類比，讓學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，找到突破口.

問(wèn)題11：在問(wèn)題10的條件下，過(guò)點(diǎn)P向⊙D引切線，設(shè)切點(diǎn)為G，當(dāng)切線長(zhǎng)PG取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)互動(dòng)：這個(gè)問(wèn)題是“問(wèn)題10”的再包裝，如圖4，要想PG取得最小值，只要在Rt△PDG中思考，DG是半徑為定長(zhǎng)，斜邊PD取得最小值時(shí)，相應(yīng)的直角邊PG也取得最小值，所以問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化到“問(wèn)題10”.

圖4

三、進(jìn)一步的思考

1.思路突破重在引導(dǎo)學(xué)生排除干擾

我們?cè)谏厦鎳@該題給出系列設(shè)問(wèn)的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生排除干擾，逐個(gè)擊破，一系列問(wèn)題的價(jià)值在于設(shè)計(jì)鋪墊，縮小變式距離，幫助更多學(xué)生理解難題.從命題導(dǎo)向上來(lái)看，原考題中的多個(gè)小問(wèn)之間并列式設(shè)計(jì)，背后缺少必要的關(guān)系或遞進(jìn)式求解思路的啟示，也加大了最后一問(wèn)的求解難度.此外，從命題應(yīng)該追求簡(jiǎn)潔、好懂、不超課標(biāo)的目標(biāo)來(lái)看，最后一問(wèn)涉及繁難的數(shù)式變形、配方等，都超出了初中階段學(xué)生應(yīng)該掌握的內(nèi)容，不宜出現(xiàn)在高危害的考試中.

2.通過(guò)變式再練提高講評(píng)效果

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一般較難問(wèn)題如果在課堂上講評(píng)之后能聽(tīng)懂的有一部分學(xué)生，當(dāng)堂聽(tīng)不懂的還會(huì)有一部分學(xué)生，這時(shí)如果直接追問(wèn)學(xué)生是否理解，往往得到“聽(tīng)懂”的回復(fù)，然而事實(shí)并非如此，對(duì)于較難題、易錯(cuò)點(diǎn)，往往是貌似聽(tīng)懂，實(shí)則不會(huì)求解的現(xiàn)狀，這時(shí)為了追求更好的解題教學(xué)效果，我們提倡跟進(jìn)變式再練，通過(guò)變化字母、數(shù)字、圖形的位置等，不破壞原題的深層結(jié)構(gòu)，這樣開(kāi)展變式再練可以得到較好的效果.作為文末，我們圍繞考題給出變式再練.

如圖5，已知拋物線y＝-x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，連接BC，拋物線的對(duì)稱軸l分別交BC、x軸于點(diǎn)D、E.

（1）求b和c的值.

（2）求直線BC的函數(shù)解析式.

（3）若拋物線上有一點(diǎn)M（m，n），

圖5

①當(dāng)m＝-2時(shí)，求點(diǎn)M到原點(diǎn)之間的距離；

②試分析點(diǎn)M到原點(diǎn)之間距離的最小值.

③試分析點(diǎn)M到點(diǎn)D之間距離的最小值；

（4）以E為圓心、1為半徑作圓，點(diǎn)P、Q分別為拋物線、⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

考題的研究到此其實(shí)并沒(méi)有結(jié)束，教師在課后還需

要做很多的工作，比如引導(dǎo)學(xué)生對(duì)類似的錯(cuò)題進(jìn)行整理和對(duì)比，對(duì)一類問(wèn)題的研究進(jìn)行總結(jié)和反思，在課堂的深入思維中，課后的變式訓(xùn)練中，訓(xùn)練后的反思中，不斷提升學(xué)生的解題能力，不斷提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

3.鄧東皋，孫小禮，張祖貴，編.數(shù)學(xué)與文化［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1999.

4.鐘啟泉.“批判性思維”及其教學(xué)［J］.全球教育展望，2002（1）.Z