王金花，王　沖滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

多值函數(shù)w=Lnf（z）的單值解析分支

王金花，王沖
滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

該文改變了傳統(tǒng)的將多值函數(shù)w=Lnf（z）分成單值解析分支的方法，并且給出了多值函數(shù)w=Lnf（z）單值解析分支的具體表達(dá)式以及求導(dǎo)公式.

多值函數(shù)；單值解析分支；柯西-黎曼條件

1、引言

將多值函數(shù)分成單值解析分支是復(fù)分析的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)于多值函數(shù)w=Lnf（z），將其分成單值解析分支的做法一般是通過找函數(shù)的支點(diǎn)，沿支割線將復(fù)平面割開得區(qū)域G，在區(qū)域G上將函數(shù)分成單值解析分支.這樣做有兩方面的缺點(diǎn)：其一，當(dāng) f（z）較復(fù)雜時(shí)，f（z）的支點(diǎn)不易找；其二，f（z）的單值解析分支沒有明確的表達(dá)式.本文改變了將w=Lnf（z）分成單值解析分支的傳統(tǒng)做法，不必找函數(shù)的支點(diǎn)和支割線，同時(shí)給出了w=Lnf（z）單值解析分支的具體表達(dá)式，并且得到了w=Lnf（z）單值分支的導(dǎo)數(shù)公式。

2、預(yù)備知識(shí)

定理1［1］單值函數(shù) f（z）=u（x，y）+iv（x， y）在區(qū)域D上解析當(dāng)且僅當(dāng)下面條件成立

（1）u（ ）x，y與v（x，y）在區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；

（2）u（ ）x，y與v（x，y）在區(qū)域D上滿足柯西－黎曼條件：

定理2［1］多值函數(shù)w=Lnz的支點(diǎn)為z=0和z=∞，當(dāng)取支割線為負(fù)實(shí)軸（含原點(diǎn)）時(shí)，可分成單值解析分支：

并且

定理3［2］設(shè) f（z）=u（x，y）+iv（x， y）是區(qū)域D上的單值解析函數(shù)，則點(diǎn)集

是開集。

定理4當(dāng)復(fù)數(shù)z≠0且不是負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，記z的復(fù)角的主值arg z=θ（-π＜θ＜π） ，則

3、主要結(jié)論

定理5 設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x， y）是區(qū)域D上的單值解析函數(shù)，則在開集D1=D-｛（x，y）|v（x， y）=0，u（x， y）≤0｝上，w=Lnf（z）可分成如下單值解析分支：

［1］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2008，4：67-89，126.

［2］王金花.一類多值函數(shù)的單值解析分支［J］.滄州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32（1）：17-19.

王金花（1963-），女，河北河間人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向：非線性泛函分析；

王沖（1981-）女，河北保定人，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向：拓?fù)洹?/p>