董玉靜

(信陽(yáng)學(xué)院理工學(xué)院　河南 信陽(yáng)　464000)

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MAPLE軟件在簡(jiǎn)諧振動(dòng)教學(xué)中的仿真設(shè)計(jì)*

董玉靜

(信陽(yáng)學(xué)院理工學(xué)院河南 信陽(yáng)464000)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是大學(xué)物理課程中非常重要的一部分.利用Maple軟件對(duì)不同情況下簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)，使枯燥的數(shù)學(xué)公式和物理規(guī)律變得形象、直觀．有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高物理教學(xué)的效果和質(zhì)量．

簡(jiǎn)諧振動(dòng)大學(xué)物理Maple仿真

1　引言

大學(xué)物理學(xué)作為理工專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)必修課，難度大，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低，很難理解和接受[1]．Maple軟件具有強(qiáng)大的繪圖和動(dòng)畫(huà)功能，可視化的仿真功能．在教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)氖褂肕aple軟件[2，3]，更符合人們的思維習(xí)慣，可以使抽象、復(fù)雜知識(shí)通過(guò)圖示直觀、形象的展現(xiàn)在學(xué)生面前．使學(xué)生獲得直觀的感性認(rèn)識(shí)，降低學(xué)習(xí)難度，縮短學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)過(guò)程，達(dá)到更好的教學(xué)效果

機(jī)械振動(dòng)的合成作為大學(xué)物理中波動(dòng)學(xué)向光學(xué)的一個(gè)過(guò)渡部分，學(xué)好機(jī)械振動(dòng)有助于后續(xù)光學(xué)課程的學(xué)習(xí)．本文利用Maple軟件將機(jī)械振動(dòng)通過(guò)圖像的形式展現(xiàn)出來(lái)，有助于學(xué)生理解和學(xué)習(xí)．

2　簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

2.1同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)

物體同時(shí)參與兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向(沿x軸)和頻率相同，振動(dòng)的位移和時(shí)間關(guān)系可以表示為

x1=A1cos(ωt+φ1)

x2=A2cos(ωt+φ2)

其中A1和A2表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，ω表示振動(dòng)頻率，φ1和φ2是初相位角．合成之后的振動(dòng)位移表達(dá)式為

x=x1+x2=Acos(ωt+φ)

此合成表達(dá)式是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的，其中

通過(guò)Maple軟件繪圖功能將合成之后的展示如圖1所示，圖1(a)是一般情況，圖1(b)表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方向相同，合成之后振幅最大圖1(c)表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方向相反，合成之后振幅最小．語(yǔ)句如下

Restart;

with (plots)；

A1：=1;A2：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[1]:=Pi/5;phi[2]:=Pi/7;

x:=A1*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A2*cos(omega[y]*t+phi[2]);

z:=x+y;

plot({x,y,z},t=0….4*Pi);

圖1同方向，同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

2.2拍現(xiàn)象

拍現(xiàn)象是指同方向、相近頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其合成的振動(dòng)會(huì)出現(xiàn)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象．振動(dòng)的位移和時(shí)間關(guān)系可以表示為

x1=A1cos(ω1t+φ1)

x2=A2cos(ω2t+φ2)

合成之后振動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系為

在用Maple軟件編寫程序時(shí)在保證兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率較大，但是比較接近(如圖2)．語(yǔ)句如下

Restart;

with (plots)；

A1：=1;A2：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[1]:=Pi/5;phi[2]:=Pi/7;

x:=A1*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A2*cos(omega[y]*t+phi[2]);

plot([x+y]，t=0..4*Pi);

圖2　拍

2.3同頻率相互垂直間歇振動(dòng)

在研究?jī)蓚€(gè)相同頻率間歇振動(dòng)時(shí)，假設(shè)一個(gè)沿x方向振動(dòng)，一個(gè)沿y方向振動(dòng)，默認(rèn)頻率相等，其振動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系為

x=Axcos(ωt+φx)

y=Aycos(ωt+φy)

合成之后的振動(dòng)方程式為

是一個(gè)橢圓方程．當(dāng)兩個(gè)方向的相位差不同時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不同形狀的橢圓軌跡．分別用Maple軟件對(duì)不同情況下的橢圓軌跡進(jìn)行圖像展示．以相位角相等為例語(yǔ)句如下

Restart;

with (plots)；

Ax：=1;Ay：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[x]:=Pi/5;phi[y]:=Pi/5;

x:=Ax*cos(omega[x]*t+phi[x]);

y:=Ay*cos(omega[y]*t+phi[y]);

plot([x,y,t=0..4*Pi],numpoints=8000,axes=boxed);

圖3　同頻率，相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

2.4李薩如圖形

當(dāng)兩個(gè)不同頻率，相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)合成時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡不僅與兩振動(dòng)的振動(dòng)頻率有關(guān)，還與他們的初相位差有關(guān)．當(dāng)振動(dòng)頻率成整數(shù)比時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是穩(wěn)定的封閉曲線，即形成李薩如圖形(如圖4)．設(shè)

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

合成之后的軌跡表達(dá)式為

在利用Maple軟顯示圖像時(shí)分別針對(duì)頻率的不同比值進(jìn)行分析．語(yǔ)句如下

Restart;

with(plots);

A:=1;omega[x]:=1;omega[y]:=3;phi[1]:=Pi/5;j:=1.5;

x:=A*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A*cos(omega[y]*t+(phi[1]+j)*Pi/4);

plot([x,y,t=0..4*Pi],numpoints=8000,axes=boxed);

圖4　李薩如圖形

2.53個(gè)頻率相同振動(dòng)方向垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

以上內(nèi)容是從兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的研究出發(fā)，用Maple軟件將其復(fù)雜公式用圖示進(jìn)行展現(xiàn)．若3個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同時(shí)運(yùn)動(dòng)[4]，那么情況就更加復(fù)雜，用常規(guī)的數(shù)學(xué)圖像很難表達(dá)出來(lái)．而計(jì)算機(jī)通過(guò)軟件則可以簡(jiǎn)單，快速的進(jìn)行展示．設(shè)

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

z=A3cos(ω3t+φ3)

合成之后的方程式為

sin2(φ2-φ1)+sin2(φ3-φ2)+sin2(φ1-φ3)

此公式是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)出來(lái)的，推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜．圖像無(wú)法用手工畫(huà)出，下面用計(jì)算機(jī)軟件將其展現(xiàn)(如圖5)，語(yǔ)句如下

圖5　3個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

With(plots):

x:=t->cos(1*t+Pi/2):y:= t->cos(2*t+Pi/3): z:= t->cos(3*t+Pi/4);

a:=0:b:=4*Pi:

spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=a..b,thickness=4.color=black.axes=normal);

用計(jì)算機(jī)軟件生成三維圖示(如圖)，點(diǎn)擊按鈕

3　總結(jié)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是波動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是從波動(dòng)學(xué)向光學(xué)過(guò)渡的橋梁．而兩種簡(jiǎn)諧振動(dòng)是其最基礎(chǔ)部分，在推倒時(shí)數(shù)學(xué)公式就算復(fù)雜，合成結(jié)果很難通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作和驗(yàn)證，在學(xué)習(xí)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)難度較大．利用Maple軟件可以形象直觀的展示在學(xué)生面前．恰好符合了大學(xué)物理教學(xué)中對(duì)多媒體教學(xué)的要求，且能夠鍛煉學(xué)生“手算”和“機(jī)算”兩種能力．軟件在計(jì)算和操作時(shí)只要設(shè)置不同的參數(shù)就可以立即得到合成結(jié)果，為后續(xù)學(xué)習(xí)和研究都提供了豐富的參數(shù)．

1上海交通大學(xué)物理教研室.大學(xué)物理學(xué).上海：上海交通大學(xué)出版社，2010.162～168

2趙會(huì)江.Maple 9.0 符號(hào)處理及應(yīng)用.北京：科學(xué)出版社，2007.5～27

3李銀山.Maple理論力學(xué)——普通高等教育規(guī)劃教材.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.125～140,284～293

4熊德永，馬慧.互相垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成軌跡方程的推導(dǎo).安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010,24(2):40～43

The Simulation Design of Maple Software in Teaching of the Simple Harmonic Vibration

Dong Yujing

(The School of Sciences and Technology of xinyang college,Xinyang,Henan464000)

The synthesis of harmonic vibration is a very important part of university physics course. Using the Maple software to design and simulate the synthesis of the simple harmonic vibration under different conditions which can make the mathematical formulas and physical rules more vivid and intuitive. It is helpful for students to understand the knowledge and improve the effect and quality of physics teaching.

harmonic vibration;college physics;maple;simulation

董玉靜(1984-)，女，碩士，講師，研究方向：半導(dǎo)體材料和物理教學(xué).

2016-04-13)

*信陽(yáng)師范學(xué)院華銳學(xué)院青年項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：2014qn34；河南省教育技術(shù)裝備與實(shí)踐教育研究課題，項(xiàng)目編號(hào)：GZS097