浙江省余姚市梨洲中學(xué)　趙旭軍

"一題一課":簡約并不簡單
---以2015年浙江臺(tái)州中考卷第24題教學(xué)為例

中考把關(guān)試題往往都是經(jīng)過充分的打磨、苦心經(jīng)營而推出的,既承擔(dān)了必要的選拔區(qū)分功能,又傳遞著教學(xué)導(dǎo)向,值得老師們認(rèn)真思考,在貫通思路、洞察問題結(jié)構(gòu)之后,還可將考題設(shè)計(jì)成習(xí)題課,開發(fā)成"一題一課" (相關(guān)觀點(diǎn),受益于文1),引導(dǎo)學(xué)生深入思考.本文選取2015年浙江臺(tái)州一道把關(guān)題,簡述求解思路之后,給出該題的習(xí)題解題教學(xué)設(shè)計(jì),拋磚引玉,供研討.

一、考題與思路簡述

考題:(2015年浙江臺(tái)州)定義:如圖1,點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn),若AM=2, MN=3,求BN的長.

(2)如圖2,在△ABC中,FG是中位線,點(diǎn)D、E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC>DE≥BD,連接AD、AE分別交FG于點(diǎn)M、N,求證:點(diǎn)M、N是線段FG的勾股分割點(diǎn).

圖1

圖2

(3)已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn),其位置如圖3所示,請(qǐng)?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D,使C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn). (要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可)

(4)如圖4,已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn), MN>AM≥BN,△AMC、△MND和△NBM均是等邊三角形,AE分別交CM、DM、DN于點(diǎn)F、G、H.若H是DN的中點(diǎn),試探究S△AMF、S△BEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖3

圖4

圖5

(2)先由三角形中位線性質(zhì)得出BD=2FM,DE= 2MN,EC=2NG,再由已知可得(2NG)2=(2MN)2+(2FM)2,即4NG2=4MN2+4FM2.于是NG2=MN2+FM2.問題獲證.

(3)可以先構(gòu)造草圖分析,只有把三條線段置于一個(gè)直角三角形中才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo),于是構(gòu)造圖5實(shí)現(xiàn):①過點(diǎn)C作AB的垂線MN;②在MN上截取CE= CA;③連接BE,作BE的垂直平分線PQ交AB于點(diǎn)D.則點(diǎn)C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn).

(4)解讀條件"△AMC、△MND和△NBM均是等邊三角形"可以有很多發(fā)現(xiàn),比如AC∥MD∥NE,CM∥DN∥BE.再結(jié)合條件"H是DN的中點(diǎn)"可以發(fā)現(xiàn)△DGH≌△NEH.設(shè)AM=a,BN=b,MN=c,經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把GM用含b、c的式子表示,從而利用△AGM∽△ANE,得比例式,轉(zhuǎn)化為c2=2ab-ac+bc.再結(jié)合已知條件勾股分割點(diǎn)得出c2=a2+b2,可推出(a-b)2=(ba)c.又b-a≠c,所以a=b.也就是圖4中兩側(cè)的兩個(gè)小等邊三角形是全等的,它們的面積也就相等.再由c2=a2+b2,便得到,即S△DMN=S△ACM+S△ENB.又 S△DMN=S△DGH+S四邊形MNHG,S△ACM=S△CAF+S△AMF,S△ACF=S△DGH= S△NEB,所以S四邊形MNHG=S△AMF+S△BEN.

二、解題教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)開課階段,給出定義

給出上文"考題"的定義,略.

反射光分布測(cè)量裝置如圖2所示[9]。激光輻照在樣品表面，通過改變激光入射方向入射角度，利用半圓陣列分布的光電探測(cè)器收集散射光，實(shí)現(xiàn)各路信號(hào)的光電轉(zhuǎn)換，利用數(shù)據(jù)采集記錄探測(cè)陣列的輸出信號(hào)。利用所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)不同材料粗糙表面、不同入射角度粗糙表面及同一材料不同表面粗糙度的BRDF特性開展了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，測(cè)試的散射光強(qiáng)分布用歸一化值進(jìn)行表征[10]。

設(shè)計(jì)意圖:在給出定義之后,安排一組含30°、45°的特殊直角三角形的三邊比值,讓學(xué)生理解勾股分割點(diǎn),同時(shí)又復(fù)習(xí)一下特殊直角三角形.這里我們改編了考題第一問相關(guān)數(shù)據(jù),主要考慮是削枝強(qiáng)干,把學(xué)生思維聚焦在新定義上.

(二)尺規(guī)作圖,作"勾股分割點(diǎn)"

問題3:如圖6,閱讀以下作圖語句:①在AB取一點(diǎn)C,作CE⊥AB,取CE=CA;

②連接BE,作BE的垂直平分線,交AB于點(diǎn)D.

圖6

圖7

圖8

設(shè)計(jì)意圖:通過閱讀作圖語句,理解作法之后,連接DE,可以將三條線段AC、CD、BD集中在直角三角形CDE中,利用勾股定理得出它們之間的平方關(guān)系,從而確認(rèn)C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn).根據(jù)學(xué)生的理解水平,還可以設(shè)計(jì)相關(guān)追問,比如還有其他的作法嗎?以下提供一種不同的作法:如圖7,作CE垂直AB,取CE=CB,連接AE,作AE的垂直平分線交CE于M,在CB上截取CD=CM,則點(diǎn)C、D是線段AB的勾股分割點(diǎn).

(三)變式思考,成果擴(kuò)大

問題4:(改編自考題的第三問)如圖2,在△ABC中, FG是中位線,點(diǎn)D、E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC> DE≥BD,連接AD、AE,分別交FG于點(diǎn)M、N,點(diǎn)M、N會(huì)是線段FG的勾股分割點(diǎn)嗎?為什么?

成果擴(kuò)大:如圖8,在△ABC中,點(diǎn)D、E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC>DE≥BD,若點(diǎn)F是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過F作FG//BC,交AD、AE于點(diǎn)M、N,則M、N是否還是線段FG的勾股分割點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖:在原考題第二問的基顧上,將問題的思考從特殊到一般,學(xué)生根據(jù)相似三角形所帶來的比例式,用類似的推理方式"成果擴(kuò)大",獲得解答.

(四)引入等邊三角形,鼓勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)難題

問題5:(改編自考題第四問)條件呈現(xiàn)同"考題第四問",限于篇幅,略去.

①求證:S△ACM+S△BEN=S△DMN;

③試探究S△AMF、S△BEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖:通過增設(shè)3個(gè)小問,把原考題的第四問中幾個(gè)難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)分散開來,引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)突破,實(shí)現(xiàn)最終問題的求解.事實(shí)上,洞察問題結(jié)構(gòu)或本質(zhì)看清之后,還可提出很多類似的問題,比如MN=AM;或者提問題的一些逆向思考題,比如已知AM=BN,求證:H為DN的中點(diǎn)等.

三、教后反思

1.深刻理解中考試題是開發(fā)"一題一課"的前提

開發(fā)"一題一課"需要考慮教學(xué)容量的問題,不少同行在復(fù)習(xí)課時(shí)為了追求所謂的教學(xué)容量,所以預(yù)設(shè)、選擇了多道中考綜合題,以便體現(xiàn)大容量的習(xí)題教學(xué).然而這種多道綜合題出現(xiàn)在同一節(jié)課中的教學(xué)努力常常得不償失,突出表現(xiàn)在很多基礎(chǔ)一般的學(xué)生往往跟不上教學(xué)進(jìn)程,出現(xiàn)教師灌輸、學(xué)生簡單記錄的低效學(xué)習(xí),如果學(xué)生課后沒有跟進(jìn)消化理解,則該課幾乎無效.所以開設(shè)一題一課就是要將容量降下來,但又不是單純地減少題量這么簡單,而是在教師深入理解考題的基礎(chǔ)上讓課堂內(nèi)容從形式上走向簡約,簡約并不簡單,如從上面的課例來看,增加了很多鋪墊問題、變式思考、成果擴(kuò)大,使得所謂例題變?yōu)橐坏?然而系列變式、追問卻使例題生長、擴(kuò)張,追求"由一題、會(huì)一類、通一片"的效果.

2."一題一課"的變式需要圍繞考題主干有序展開

"一題一課"的努力就是圍繞考題進(jìn)行系列變式、恰當(dāng)追問.然而我們也見到有些習(xí)題課堂上的變式與追問常常脫離考題的主干方向,走向旁枝末節(jié),這是需要避免的.比如,上文中的考題的幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都針對(duì)著原考題的4個(gè)小問展開教學(xué),而沒有離開考題做其他角度的設(shè)問,這也保證了課堂主題的聚焦.這里還可提及命題領(lǐng)域的一個(gè)概念,即所謂"內(nèi)容效度",也就是指教學(xué)目標(biāo)中針對(duì)的是一道考題展開教學(xué),而不能離開考題而開展大量的旁枝內(nèi)容.比如,在一次聽課中,某教師執(zhí)教二次函數(shù)章末復(fù)習(xí)課,結(jié)果有大半節(jié)課在一道二次函數(shù)綜合題上花時(shí)間,而這道二次函數(shù)綜合題主要難點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)上,而是綜合了平面幾何的一些難點(diǎn)在題中,使得學(xué)生的主要困難和解題教學(xué)時(shí)間都花在幾何難點(diǎn)上,這里就是教學(xué)內(nèi)容的效度出現(xiàn)了問題.

1.趙萍萍."一題一課":復(fù)習(xí)課走向簡約的嘗試---以2014年廣東省中考第23題教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(2).

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2008.

3.鮑建生,顧泠沅,等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué), 2003(1,2,3).

4.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量,為學(xué)生謀取長期利益[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(2).

②求證:AM=BN;