江蘇省如皋市教師發(fā)展中心　王興富江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學　印冬建

概念教學:積跬步以至千里*

概念是反映對象的特有屬性的思維形式.它源自人們的實踐,是人們從對象的許多屬性中,抽象出來的特有屬性.由此可見,概念的獲得應是一項系統(tǒng)工程.在數(shù)學教學中,任何一個概念的教學都應該遵循概念生成的基本規(guī)律進行,我們應在實例剖析的過程中抽象概念,在辨析應用中關(guān)聯(lián)概念,使之網(wǎng)絡(luò)化.而當一些高位概念出現(xiàn)時,要迅速將一些簡單的低位概念融入進去,使之被兼容合并成為新概念(或知識)的一部分.現(xiàn)結(jié)合初中數(shù)學幾個常見代數(shù)概念的教學談?wù)劰P者對此的思考,希望能給您帶來一些啟示.

一、概念首認知:剖析實例,抽象本質(zhì)

概念來自于實踐,概念教學自然也就離不開實踐了.所以,概念教學應通過緊貼學生生活的具體事例來引入概念,適時歸納、抽象、概括,最終以規(guī)范的數(shù)學語言呈現(xiàn)出來.在人教版初中數(shù)學教材中,代數(shù)概念的教學一直與生活實例緊密聯(lián)系在一起.幾乎每一次概念教學,都會出現(xiàn)一個或多個實際問題構(gòu)成的數(shù)學情境,這些數(shù)學概念巧妙地"隱藏"其中.在對實例分析的過程中,這些概念自覺或不自覺地會顯露出來,成為課堂教學的主角.

案例1"1.2.4絕對值"教學片斷.

問題:兩輛汽車從同一處O出發(fā),分別向東、西方向行駛了10km,到達A、B兩處.它們的行駛路線相同嗎?它們行駛的路程相等嗎?

教師呈現(xiàn)問題后短暫停頓,學生讀題并思考.

教師:請大家借助數(shù)軸來描述這一問題情境.

學生作數(shù)軸,2分鐘后,教師投影學生作出的圖1(不含圖中的箭頭).

教師:兩輛汽車行駛的路線相同嗎?

學生(齊):不同!

教師:為什么?

學生1:它們行駛的方向不同.

圖1

教師:那遠近相同嗎?

學生2:相同.

教師:行駛了多遠?

學生3:10km.

教師:從哪兒到哪兒是10km?

學生4:點A到O.

教師:還有嗎?

學生5:點B到O.

教師:很好!這兩個點到原點O的距離都是10嗎?

學生(齊):是的!

教師:這個10和運動的方向有關(guān)嗎?

學生(齊):沒有!

教師:那與什么有關(guān)呢?

學生6:終點與原點的距離.

教師:是的!生活中好些問題落到數(shù)軸模型上時,只需要看表示某個數(shù)的點與原點的距離.這個"距離"就是我們今天要學習的"絕對值".

投影絕對值的概念及其表示方法.

教師:根據(jù)這里給出的概念,你能結(jié)合圖1說說|10|和|-10|的含義嗎?

學生7:|10|是數(shù)軸上表示10的點到原點的距離.

學生8:|-10|是數(shù)軸上表示-10的點到原點的距離.

教師:非常棒!根據(jù)剛才的分析,|10|和|-10|是多少呢?

學生9:10.

……

案例分析:在人教版七年級上冊《教師教學用書》中,對數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等概念提出了"注意從實際問題引入"的教學要求.案例中的"汽車行駛問題",就是教材根據(jù)這一教學需求而設(shè)計的:要刻畫汽車的運動狀態(tài),不僅需要考慮汽車的運動距離,還應考慮汽車的運動方向,這與學生的生活經(jīng)驗是一致的.教師通過遞進追問,引導學生充分剖析教材所給實例,抓住汽車運動的方向和運動的路程逐一解讀,最終拋開問題情境,以"生活中好些問題落到數(shù)軸模型上時,只需看點與原點的距離"切入主題,"這個'距離'就是我們今天要學習的'絕對值'"一語揭題.接下來,概念的抽象和應用顯得非常自然.在人教版教材中,絕對值是學生初中階段遇到的第一個較難的概念,需要從數(shù)、形兩個角度加以解讀才能真正理清其內(nèi)涵.所以,教學中,如果從一個實例還不足以清晰地抽象出概念,那么我們還可以增加一至兩個實例,給學生以更為充分的感知,從而掃清概念生成的障礙.

二、概念再解讀:辨析應用,關(guān)聯(lián)入網(wǎng)

為了讓概念很好地融入到學生的知識結(jié)構(gòu)中,辨析與應用就顯得非常重要了.數(shù)學概念是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分,它是學生學習新的數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的重要工具.因此,學習數(shù)學概念的過程也是概念發(fā)揮自身價值的過程.當學生獲得數(shù)學概念后,我們應編排適量的"隱藏"概念模型的數(shù)學問題,讓學生通過對這些"源于概念而又高于概念"的數(shù)學問題的解決,實現(xiàn)概念間的相互關(guān)聯(lián),促進其早日融入到學生的概念網(wǎng)絡(luò)中去.

案例2"反比例函數(shù)"教學片斷

在經(jīng)歷了"實例分析,本質(zhì)抽象,歸納成型"的歷程后,教師引導學生歸納出反比例函數(shù)的概念并投影.

例1下列哪些關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)?

教師:為什么?

學生2:與概念一致!

教師:哪里一致了?

學生3:形式一致.

教師:具體點!

教師:很好,只要所給關(guān)系式變形后與概念中的基本形式一致,y就是x的反比例函數(shù).那么,有哪些關(guān)系式可以轉(zhuǎn)化為基本形式呢?

學生5:xy=k.

教師:對這里的k有要求嗎?

學生6:k為常數(shù),且k≠0.

教師:看來這是個不能丟的前置條件.對此,你們有經(jīng)驗嗎?

學生(齊):有!

教師:什么地方出現(xiàn)過?

學生7:和k一樣,一次函數(shù)y=kx+b中的k,二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的a,都應是不為0的常數(shù).

教師:記得真清楚!函數(shù)看似形式不同,其內(nèi)在還是有很多相同的地方的.接下來,我們再來看這道例題,看看與前面的函數(shù)有沒有關(guān)聯(lián)?

例2已知y是x的反比例函數(shù),并且當x=2時,y=6.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

學生自主解答,3分鐘后,全班交流.

教師:"y是x的反比例函數(shù)"說明y與x應該滿足怎樣的關(guān)系式?學生8:y=(k為常數(shù),且k≠0).教師:好的!得到基本關(guān)系式后,該如何求解呢?學生9:將"x=2,y=6"直接代入,就可以求出k的值.教師:說得真好!這是什么方法?

學生10:待定系數(shù)法,求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式時就用過.

教師:看來待定系數(shù)法在反比例函數(shù)中也是適用的哦!接下來我們來一起欣賞一位同學給出的"范例".(投影,如圖2)

圖2

案例分析:與案例1一樣,反比例函數(shù)的概念同樣來自于實例的抽象歸納.與前面學習的兩個函數(shù)概念一樣,基本形式是其概念的"內(nèi)核",是學生解決數(shù)學問題的工具.例1中,教師首先給出了幾個y與x的關(guān)系式,讓學生對其辨析,從中找出"y是x的反比例函數(shù)"的關(guān)系式.通過教師的問題引導,學生不僅明晰了概念本質(zhì),還及時喚醒了一次函數(shù)、二次函數(shù)概念辨析的經(jīng)驗,為下一步"待定系數(shù)法"的解題應用埋下伏筆.接下來,例2的解答與交流,將待定系數(shù)法的適用范圍由兩種函數(shù)拓展到三種函數(shù),使新學概念在原有知識體系中找到了"生長點".顯然,學生獲得反比例函數(shù)的概念,僅是學習的起點,當這一概念與前兩種函數(shù)知識鏈接在一起時,學生獲得的知識就不再"單一"了.

三、概念終定位:去繁歸簡,融入淡出

概念不是永恒不變的,隨著知識的集聚與能力的提升,概念在人的認知結(jié)構(gòu)中的地位和作用也會發(fā)生相應的變化.在學生獲得的眾多數(shù)學概念中,有些是非常簡單的,《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(下稱《課標(2011年版)》)提出了較低的能級要求,甚至沒有提出具體的要求.這些概念往往屬于學生知識獲得過程中的"中間概念",是高一級概念生成與應用的"跳板",當學生獲得高一級概念時,這些概念將會被逐步兼容合并,其地位和作用將會被新的概念替代.

案例3一元一次方程的認知歷程.

1.初識別

人教版七年級上學期"3.1從算式到方程"中,以一個實際問題引入,讓學生初步感知了"從算式到方程是數(shù)學的進步".接下來,給出三個實際問題要求學生設(shè)未知數(shù)并列方程,這里列出的就是三個一元一次方程.據(jù)此,在充分剖析所列方程特點后,將一元一次方程帶進學生視野.接下來,將重點探究其解法和應用.

2.再認知

人教版七年級下學期"8.2消元"中,明確了"消去'二元'中的'一元',方程組就轉(zhuǎn)化為了一元一次方程".解法探究過程中,教材安排學生進行了消元嘗試,向?qū)W生明確消元的一般步驟,同時也將消元的成果定格,使一元一次方程再度回到學生的眼前.

3.三明晰

人教版八年級上學期"15.3分式方程"中,再次出現(xiàn)"一元一次方程".通過去分母,可以將分式方程轉(zhuǎn)化為學生已經(jīng)熟悉的一元一次方程.所以,解分式方程的過程中,一元一次方程是一個繞不開的"坎",學生仍然要讓七年級上學期獲得的概念及解法再度"回歸".

4.終定格

人教版八年級下學期"19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式"中,將以x為未知數(shù)的一元一次方程定格為"ax+b=0 (a≠0)",這是符號化的一元一次方程.在學生經(jīng)歷多次概念及解法的應用后,這里通過"符號"將概念進一步抽象,實現(xiàn)了認知的再提升,為以符號的形式給出一元二次方程的概念提前鋪墊.

5.漸淡出

人教版九年級上學期"21.2一元二次方程的解法"中,配方和因式分解的目標都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.與分式方程一樣,一元一次方程是一元二次方程解法分析的起點和歸屬,任何一個有解的一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.至此,一元一次方程的概念和解法已經(jīng)徹底融入學生已有的知識網(wǎng)絡(luò)之中,被其他復雜的方程(組)所合并兼容.

案例分析:任何一個數(shù)學概念的獲得,都會經(jīng)歷"陌生-熟悉-淡'忘'"的過程.作為最基礎(chǔ)的方程,一元一次方程的概念學習也不例外.《課標(2011年版)》中并未對其概念教學提出明確要求.因此,我們一般認為它是一個"中間概念",主要服務(wù)于其他概念的學習.從上面的分析看,教材正是按照這樣的思路設(shè)計的.初中階段的六個學期教學,每一個學期都會有它的"身影",概念教學要求不高,"了解"即可,但又不可缺失,每一次出現(xiàn)都在學生獲得新知的節(jié)點上,過了這一節(jié)點,它又默默"潛入"到學生解決問題的過程之中,不顯山不露水.最終,隨著學生對方程認知的不斷深入,高位的方程概念將會把一元一次方程的概念兼容,使之逐漸淡出學生的視野.

概念的形成是一個復雜的過程,影響學生獲得概念的因素有很多,知識能力的基礎(chǔ)、引入情境的創(chuàng)設(shè)、辨析應用的安排等都會對概念的"網(wǎng)絡(luò)化"產(chǎn)生"正反雙向"的干擾.所以,身在一線的我們應關(guān)注概念自身的特點,找準概念引入的"起點"、抽象的"難點"和應用的"拐點",將概念教學置于學生數(shù)學學習的全程之中,進行"長程教學",讓學生經(jīng)歷完整的概念學習及應用過程,在抽象歸納中感知概念的本質(zhì)---獲得概念,在辨析固化中體驗概念的價值---用好概念,在兼容合并中實現(xiàn)概念的"升華"---淡化概念.這就是我們追求的概念教學,學生以"厚積"實現(xiàn)"薄發(fā)",其知識不斷聚集,能力同步形成,個人的數(shù)學素養(yǎng)同樣在不斷提升.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

2.劉衍鋒.淺析一元二次方程的解法及應用[J].中學數(shù)學(下),2012(12).

3.朱映紅.情境創(chuàng)設(shè)再認識:值得重視的"超經(jīng)驗" ---李庾南老師"二元一次方程組"起始課賞析[J].中學數(shù)學(下),2015(8).

4.孫道斌.在體驗、對比、交流中建構(gòu)反比例函數(shù)概念---"§5.1反比例函數(shù)"課堂實錄與點評[J].中國數(shù)學教育(初中版),2014(7).

5.林群.義務(wù)教育教科書.數(shù)學(七年級上冊)[M].北京:人民教育出版社,2012.

6.林群.義務(wù)教育教科書教師教學用書.數(shù)學(七年級上冊)[M].北京:人民教育出版社,2012.

*本文為江蘇省教育科學"十二五"規(guī)劃立項課題《農(nóng)村初中復式分組教學的實踐與研究》(E-c/2015/24)的研究成果.