☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 郝紅云

例析分段函數(shù)中的熱點(diǎn)題型

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 郝紅云

所謂“分段函數(shù)”是指在函數(shù)定義域內(nèi)，自變量x的區(qū)間分為多段，不同的區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的法則，具有這種特點(diǎn)的函數(shù)叫作分段函數(shù).分段函數(shù)的求解中，首先不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)來進(jìn)行求解；分段函數(shù)的書寫，與其他函數(shù)有所區(qū)分，在書寫時(shí)使用花括號(hào)，將各段函數(shù)采用上下并排的方式并列寫在一起，并注明各段函數(shù)的自變量x的取值范圍.分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，實(shí)際是求解連續(xù)的區(qū)間的定義域.值域的求解與定義域相似.分段函數(shù)的圖像首先對(duì)函數(shù)的自變量進(jìn)行分析，確定自變量的區(qū)間，按照相應(yīng)的區(qū)間，分段畫出函數(shù)的圖像；分段函數(shù)的函數(shù)值求解的過程中，首先也要對(duì)函數(shù)的自變量進(jìn)行分析，確定自變量的區(qū)間，然后探究這一區(qū)間函數(shù)的表達(dá)式，按照表達(dá)式進(jìn)行函數(shù)值的求解，直至求解出函數(shù)值，完成分段函數(shù)的求解.

分段函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，涉及求分段函數(shù)的函數(shù)值、最值、奇偶性、單調(diào)性等問題，解答這些問題中滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法.筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劮侄魏瘮?shù)中的熱點(diǎn)題型.

題型一——作出分段函數(shù)的圖像

此類題型就是根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出每段上的圖像，有的可以考慮圖像變換得到.

例1 作出y=|x2-2x-3|和y=x2-2|x|-3的圖像，并說明這兩個(gè)圖像可由y=x2-2x-3的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到.

解析：在不同的平面直角坐標(biāo)系下，分別作出y=|x2-2x-3|與y=x2-2|x|-3的圖像.

事實(shí)上，y=|x2-2x-3|=可分段畫出圖像，如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

通過觀察圖像可知，y=|x2-2x-3|的圖像可由y=x2-2x-3的圖像經(jīng)過下列變換得到：保持y=x2-2x-3的圖像在x軸上方的部分不變，x軸下方的圖像沿x軸翻折上去即可.y=x2-2|x|-3的圖像可由y=x2-2x-3的圖像經(jīng)過下列變換得到：保持y=x2-2x-3的圖像在y軸右側(cè)的部分不變，原左側(cè)的圖像換成將y軸右邊的圖像沿y軸翻折而成的圖像即可.

思考：對(duì)于一般的函數(shù)y=f（x），如何通過變換得到y(tǒng)=|f（x）|及y=f（|x|）的圖像？方法是類似的.

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)有幾段，其圖像就由幾條曲線組成，作圖的關(guān)鍵是根據(jù)定義域的不同，分別由表達(dá)式作出其圖像.作圖時(shí)，一要注意每段自變量的取值范圍；二要注意間斷函數(shù)的圖像中每段的端點(diǎn)的虛實(shí).

題型二——求分段函數(shù)中參數(shù)的范圍

分段函數(shù)的參數(shù)的取值范圍的求解，首先分析自變量所處的區(qū)間，然后根據(jù)所在定義域代入相應(yīng)的解析式，畫出相應(yīng)的圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合去解.

解析：當(dāng)x＞0時(shí)，（fx）=（fx-1），即當(dāng)x＞0時(shí)，（fx）的圖像與（fx-1）的圖像相同，而（fx-1）的圖像可由（fx）的圖像向右平移1個(gè)單位得到，可先作出（fx）在x≤0時(shí)的圖像，如圖3；再將它向右平移1個(gè)單位，如圖4；?。╢x-1）在x＞0時(shí)的圖像即能得到（fx）在（0，1］上的圖像，如圖5.

圖3

圖4

圖5

重復(fù)上面圖像平移、選取的步驟就可得到f（x）在x＞0的圖像，如圖6.

圖6

圖7

方程f（x）=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖像與直線y=x+a有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn).觀察圖像發(fā)現(xiàn)直線AD、CF的斜率為1，通過直線平移觀察可得，只有當(dāng)直線y=x+a在直線L1與L2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)才滿足要求，如圖7，從而可得3≤a＜4.

點(diǎn)評(píng)：此類分段函數(shù)的特點(diǎn)是一段是具體函數(shù)，另一段反映圖像變換.由圖像變換來獲得圖像，一般要經(jīng)歷圖像變換和圖像選取兩個(gè)步驟.本題中當(dāng)x＞0時(shí)f（x）= f（x-1），由作圖可知，f（x）在（-1，+∞）上是周期為1的周期函數(shù).

題型三——求分段函數(shù)的定義域和值域

文章對(duì)定義域與值域的概念進(jìn)行解析.在進(jìn)行分段函數(shù)定義域與值域的求解時(shí)，需畫出函數(shù)圖像，通過清晰的圖像來理清思路，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題.

函數(shù)的定義域與值域的求解方法相似，在進(jìn)行求解的過程中，都要考慮自變量x的區(qū)間范圍，定義域是在分段函數(shù)求解后，將求解的數(shù)值取并集，值域同上.分段函數(shù)的值域的求解是近年來的高考熱點(diǎn).

解析：作出函數(shù)圖像，如圖8所示.利用“數(shù)形結(jié)合”易知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），值域?yàn)椋?1，3］.

點(diǎn)評(píng)：在分段函數(shù)的定義域與值域求解中，主要是分析各段函數(shù)共同擁有的區(qū)間，根據(jù)共有的區(qū)間進(jìn)行求解.

圖8

題型四——求分段函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式遵循“求誰設(shè)誰”的原則，首先要設(shè)置自變量的區(qū)間，求哪個(gè)區(qū)間的解析式，自變量x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，然后代入已知區(qū)間的解析式，利用奇偶性解出f（x）.

解析：設(shè)x＜0，則-x＞0.

因?yàn)椋╢x）是偶函數(shù)，

點(diǎn)評(píng)：求分段函數(shù)的解析式時(shí)，分別求出定義域內(nèi)各段對(duì)應(yīng)的解析式，將所求的定義域內(nèi)的函數(shù)解析式組合在一起，完成分段函數(shù)解析式的求解.在進(jìn)行求解的過程中，注意自變量的設(shè)置情況，遵循“求誰設(shè)誰”的原則，還有注意考慮所有的區(qū)間，保證求解解析式時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)漏的狀況.

題型五——分段函數(shù)的單調(diào)性判斷

分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：分別求出各段函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，多個(gè)區(qū)間用“，”相連.仍可借助圖像判斷其單調(diào)區(qū)間，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

例5 寫出函數(shù)（fx）=|1+2x|+|2-x|的單調(diào)區(qū)間.

當(dāng)x≥2時(shí)，（fx）=（1+2x）+［-（2-x）］=3x-1；

圖9

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中必須掌握判斷方法.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先對(duì)各段的分函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，然后根據(jù)各段函數(shù)的情況，來判斷區(qū)間分界點(diǎn)函數(shù)值的關(guān)系，確定分段函數(shù)的單調(diào)性.假若每一段函數(shù)單調(diào)性一致，分界點(diǎn)處函數(shù)值一致，說明分段函數(shù)符合單調(diào)性性質(zhì)，則在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增或遞減，反之，不符合單調(diào)性的定義，則說明函數(shù)的單調(diào)性不一致，就要對(duì)各段函數(shù)分段說明其單調(diào)性.

題型六——分段函數(shù)中的不等式問題

分段函數(shù)中通常會(huì)涉及不等式問題，解決此類問題也是分段討論，得到相應(yīng)的解析式，列出不等式求解.

解析：在（f（fx））≤3中，令（fx）=t?（ft）≤3.由（ft）≤3

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)與不等式是高考的常考點(diǎn)，難度不大，尤其是在解不等式時(shí)又伴隨著參數(shù)，在求解這類問題時(shí)，注意應(yīng)用分類討論和數(shù)形結(jié)合這兩個(gè)思想，使不等式的求解過程簡化.

題型七——分段函數(shù)中方程和零點(diǎn)的問題

這類題型一般考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例7 已知（fx）是定義在［1，+∞）上的函數(shù)，且（fx）=則函數(shù)y=2x（fx）-3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________.

解法一：由例1可知，先作出（fx）在1≤x＜2上的圖像，再將它的橫坐標(biāo)伸長原來的2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，再選取x≥2的部分，可得（fx）在2≤x＜4上的圖像.如此反復(fù)，可得（fx）在x≥2的圖像，如圖10.

圖10

函數(shù)y=2x（fx）-3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程（fx）=的根的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=（fx）與y=的圖像在（1，2015）上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖11.

圖11

P切PQ而線段PQ與函數(shù)y=的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，由一般性可知在圖像變換的每一段上兩個(gè)圖像只有一個(gè)交點(diǎn).

圖12

函數(shù)y=2x（fx）-3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程g（x）=的根的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y= g（x）與y=圖像在（1，2015）上交點(diǎn)的個(gè)數(shù).結(jié)合上述圖像易得，函數(shù)y=2x（fx）-3的零點(diǎn)為x=，令，所以函數(shù)y=2xf（x）-3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.

點(diǎn)評(píng)：解法一與解法二對(duì)比可知，解法二明顯更符合命題者的意圖，更易操作，而解法一操作時(shí)由圖像不能直接判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此時(shí)需從代數(shù)角度尋求解決方案.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在新課標(biāo)教材中，這是一個(gè)基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，其中含參問題更是高考熱點(diǎn).

題型八——分段函數(shù)中的應(yīng)用問題

例8 如圖13，動(dòng)點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A處出發(fā)順次經(jīng)過B，C，D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，y表示PA的長度，求y關(guān)于x的表達(dá)式.

圖13

解析：如圖13所示，當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=x；

當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△PDA求出PA=

當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4-x.

點(diǎn)評(píng)：前段對(duì)高考分段函數(shù)中的各個(gè)考查重點(diǎn)進(jìn)行討論，這里探討實(shí)際問題中分段函數(shù)的模型，應(yīng)該了解這也屬于高考數(shù)學(xué)考查分段函數(shù)的重點(diǎn).

分段函數(shù)作為高考的熱點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)該加強(qiáng)注意力.同時(shí)分段函數(shù)作為練習(xí)和模擬題中的?？?，其涉及多方面的內(nèi)容，在進(jìn)行每部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，根據(jù)內(nèi)容的特點(diǎn)，來具體學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)中要綜合運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想、建模思想，才能讓問題迎刃而解，事半功倍.通過以上各類題型的分析，不難得到分段函數(shù)在考查中的一種解題的重要途徑是：函數(shù)圖形會(huì)使分段函數(shù)的求解過程更加清晰化，在分段函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形，將分段函數(shù)明顯地表現(xiàn)在圖像中，再結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論等函數(shù)思想求解分段函數(shù)，提升學(xué)習(xí)的效果.