☉江蘇省海安縣曲塘高級(jí)中學(xué) 周 強(qiáng)

解題教學(xué)需要教什么

☉江蘇省海安縣曲塘高級(jí)中學(xué) 周 強(qiáng)

筆者一直在思考，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的深入，如何培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解能力和運(yùn)用能力？從當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，我們對(duì)于數(shù)學(xué)雙基的教學(xué)都是非常扎實(shí)的，比如在高三復(fù)習(xí)階段中，還有哪些學(xué)生不會(huì)使用錯(cuò)位相減法求等差等比數(shù)列的和？還有哪個(gè)學(xué)生不明白判別式法的本質(zhì)？還有哪些學(xué)生對(duì)橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程不理解？但是這些還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以讓學(xué)生取得好成績(jī).那么今天的解題教學(xué)到底還需要教些什么呢？那應(yīng)該從學(xué)生缺失哪些來分析：

（1）筆者認(rèn)為，學(xué)生首先缺失的是問題的分解能力，單一的基本知識(shí)和基本技能，學(xué)生掌握得比較熟練，比如解決函數(shù)值域（fx）=這樣的單一知識(shí)點(diǎn)，高三學(xué)生比較熟練和理解，但是解決綜合性問題，有多個(gè)知識(shí)整合在一起的問題，學(xué)生知識(shí)使用的熟練程度大打折扣，表現(xiàn)為問題的剖析能力明顯下降，無法厘清問題的入手角度，不會(huì)將復(fù)雜的問題分步厘清思緒來解決，這使得很多學(xué)生在提高問題解決過程中難以邁過的一道坎，這是教學(xué)首先需要教會(huì)學(xué)生的.

（2）筆者認(rèn)為，學(xué)生的解題技巧是不足的、思想方法運(yùn)用是無意識(shí)的，這兩點(diǎn)決定了學(xué)生解決問題的高度是不可能站在系統(tǒng)的高度上去看待問題，往往都僅僅是盲目的、無意識(shí)的，即使偶有解決也是盲目誤打誤撞的，沒有體系的行進(jìn)，是學(xué)習(xí)最大的障礙.技巧是很多大學(xué)教授反對(duì)的，但是卻偏偏在中學(xué)數(shù)學(xué)中存在著，近年來有減少的趨勢(shì)，但是學(xué)習(xí)中還不能避開技巧談學(xué)習(xí)，這一點(diǎn)有待改善，思想方法是大學(xué)教授推崇的，但是對(duì)于中學(xué)生而言離開問題空談思想方法，又有多少學(xué)生能領(lǐng)悟到、參悟透呢？這些筆者認(rèn)為是教學(xué)需要教會(huì)學(xué)生的；

（3）近年來，從各省高考命題來看，愈來愈多的小題呈現(xiàn)一種特殊化的思想，小題需要小做，需要反思以往問題解決過程中那些陳舊的、落后的解題思想，將先進(jìn)的、有針對(duì)性的解決思想融入教學(xué)之中，成為解題教學(xué)需要教會(huì)學(xué)生的關(guān)鍵.

一、教剖析試題，教分步解決

從復(fù)習(xí)教學(xué)中的問題呈現(xiàn)來看，很多問題最基本的特征是知識(shí)使用的綜合性和整合性，這也是高考問題最基本的特征之一.要解決問題首先必須要學(xué)會(huì)剖析試題，要從試題結(jié)構(gòu)和考點(diǎn)去分析，層層遞進(jìn)的思考問題為什么這么編制？然后分步思考如何解決.筆者認(rèn)為現(xiàn)在的試題不再是單一知識(shí)點(diǎn)，而是多種知識(shí)點(diǎn)的混合考查成為主流，從條件入手，逐一解剖自然能達(dá)到問題分析的正確道路上.

問題1 在數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*，其中λ＞0）.

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn；

對(duì)導(dǎo)向籌備業(yè)務(wù)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的工作內(nèi)容、要求、時(shí)間等進(jìn)行梳理，對(duì)導(dǎo)向圖紙審核、安裝驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)等進(jìn)行歸納，將有效確保廣佛線西朗至燕崗段導(dǎo)向系統(tǒng)順利完成工程設(shè)計(jì)、安裝施工，達(dá)到高效、節(jié)能籌備新線導(dǎo)向系統(tǒng)的目的，也能夠?qū)ξ磥韽V州地鐵線網(wǎng)大發(fā)展時(shí)期導(dǎo)向系統(tǒng)籌備工作起到促進(jìn)和參考作用。

（Ⅲ）證明存在k∈N*，使得對(duì)任意n∈N*均成立.

分析：本題關(guān)鍵是先求出｛an｝的通項(xiàng)公式，其一，類似“已知a1，且an+1=λan+b（λ≠1），求通項(xiàng)公式”的類型需要熟練掌握，通過類比聯(lián)系分析an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n的遞推關(guān)系時(shí)候采用類似的解決方法，就容易想到兩邊同除以λn+1使得遞推關(guān)系容易變?yōu)?，這樣設(shè)，就可以得到了b=b+1的

n+1n關(guān)系的等差數(shù)列｛bn｝，且b1=0，則bn=n-1從而獲得an=（n-1）λn+2n的通項(xiàng)公式.其二，第（Ⅱ）題方法較為常規(guī)，庖丁解牛為錯(cuò)位相減法求和.其三，第（Ⅲ）題就利用基本聯(lián)系，令，憑經(jīng)驗(yàn)猜想到c是最大的，后面只要證明

1cn＜c（1n＞1）就可以了，用分析法比較合適.

二、教思想方法，教解題技巧

1.教思想方法

思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須要教的，沒有思想方法，數(shù)學(xué)問題的解決往往煩瑣不已，無法站在系統(tǒng)的高度去審視一個(gè)問題.如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的詩(shī)句描述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”將中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的問題解決思想——代數(shù)和幾何清晰地羅列了，成為中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決最基本的思想.例如：

問題2 已知函數(shù)f（x）＝x-［x］，其中［x］表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).若關(guān)于x的方程f（x）＝kx＋k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.

分析：本題是典型的代數(shù)問題圖形化，即數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).本題研究的是方程的實(shí)根，即函數(shù)的零點(diǎn)，解決函數(shù)f（x）=g（x）零點(diǎn)最普遍的轉(zhuǎn)化是將其分解為兩個(gè)不同函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想分析兩個(gè)不同函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).這里要注意的是，函數(shù)f（x）＝x-［x］是高斯函數(shù)的小數(shù)部分，教學(xué)要注意介紹.如下圖所示，滿足題意的直線l應(yīng)位于直線l1，l2之間，或位于直線l3，l4之間（其中包括直線l1，l4，不包括直線l2，l3），結(jié)合圖像可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

2.教解題技巧

很多人反對(duì)教技巧，但是筆者認(rèn)為一定的技巧還是需要的.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)依賴的正是雙基，即基本知識(shí)和基本技能.離開了基本解題技巧，學(xué)生是無法懂得數(shù)學(xué)解題的本質(zhì).這里所說的技巧，當(dāng)然是比較基本的，如簡(jiǎn)單的數(shù)列裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減，函數(shù)中的兩階迭代等.

問題3 設(shè)數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列，則a1+|a2|+a3+|a4|=____________.

分析：對(duì)本題的思考，首先是看最基本的知識(shí)梳理，即有關(guān)等比數(shù)列中最基本的概念“首項(xiàng)”，“公比”，“等比數(shù)列”，命題者設(shè)計(jì)了一個(gè)小小的障礙a1+|a2|+a3+|a4|=，里面涉及了絕對(duì)值，這些常規(guī)知識(shí)的運(yùn)用和絕對(duì)值技巧最基本的處理，成為解決問題的關(guān)鍵.由題意知，a1=1，a2=-2，a3=4，a4=-8，所以a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.

三、教特殊解法，教解題反思

解題若都是一味的正面進(jìn)行，那么任何一個(gè)人都不可能在有限的時(shí)間內(nèi)取得高效.這里要求教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生小題小做，特殊想法解決，在不斷解題背后更利用解題反思進(jìn)行自我辨析和思考.

問題4 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若2f′（x）＞f（x）對(duì)任意的x∈R成立，則3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關(guān)系為___________.（填“＜”、“=”、“＞”）

分析：本題多數(shù)學(xué)生會(huì)嘗試構(gòu)造法解決，教師在教學(xué)中也會(huì)這么使用，但是其實(shí)際的應(yīng)試解題效果并不好.筆者詢問很多學(xué)生，考試你會(huì)用嗎？學(xué)生都紛紛搖頭.看看構(gòu)造法解決問題：

構(gòu)造法：考慮到選項(xiàng)中的數(shù)值，將其變形為3（f2ln2），比較大小，比較容易構(gòu)造，則g（′x）=，又對(duì)任意的x∈R時(shí)，2f′（x）＞（fx）成立，因此2f′（2lnx）-（f2lnx）＞0，故g（′x）＞0成立，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).又2＜3，故g（2）＜g（3）?，即，本題的函數(shù)也可構(gòu)造g（x）=.但是筆者認(rèn)為，上述方法的嚴(yán)密性很好，根據(jù)實(shí)際情形更應(yīng)該反思利用特殊的解法進(jìn)行滲透：應(yīng)試而言，利用特殊值法是比較輕快而正確的.考慮到2f′（x）＞（fx），不妨令（fx）=ex，則對(duì)任意的x∈R，顯然f（x）滿足題意.因此3f（2ln2）=3e2ln2=3·4=12＜2f（2ln3）=2e2ln3=2·9=18，快捷簡(jiǎn)便.有了這樣的特殊方法，解題反思，教學(xué)才有不斷的進(jìn)步空間.

題海無涯，要在題海中直掛云帆濟(jì)滄海，必須做到舉一反三，融會(huì)貫通.很多問題的解法都是有相互地促進(jìn)的，而不是孤立的.筆者認(rèn)為，首先必須以扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基為鋪墊，進(jìn)而解題思維不再是單向性的，而是多向性.如果能在解題過程中獲得樂趣，產(chǎn)生靈感、悟出解題的正確思路和方法，并且要靈活自如地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去解題，這才是真正的成功教會(huì)學(xué)生解題.

1.吳明華.“問題引領(lǐng)，重心前移”之課堂詮釋［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2008（Z1）.

2.朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論［M］.上海：文匯出版社，2001.