☉江蘇省興化中學(xué) 張乃貴

春來江水綠如藍 似曾相識燕歸來*
——2016年高考江蘇數(shù)學(xué)試題評析及教學(xué)啟示

☉江蘇省興化中學(xué) 張乃貴

2016年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷難度適中，貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和方法，又考查考生進入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所必須的基本能力.試卷遵循了“多設(shè)問、緩梯度、有效增設(shè)難度”的命題思路.試題起點低、入口寬、區(qū)分度好，既給各個能力層次的學(xué)生提供充分發(fā)揮的空間，又有效區(qū)分學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).今年的試題和往年的試題有著許多一脈相承之處，延續(xù)了近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的風(fēng)格，平穩(wěn)中有變化，平和有創(chuàng)新.

一、試卷的整體統(tǒng)計分析

題號 知識 思想方法 技能、能力1 交集運算 集合 運算求解2 復(fù)數(shù)的運算、實部 轉(zhuǎn)化與化歸 運算求解3 雙曲線的方程、焦距 數(shù)形結(jié)合 運算求解4 方差的計算 統(tǒng)計 運算求解

13 平面向量的數(shù)量積 函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸分析和解決問題14 兩角和的正弦、正切公式、基本不等式轉(zhuǎn)化與化歸思想、相等與不等的轉(zhuǎn)化分析和解決問題15正（余）弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系與兩角和的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合 運算求解16直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系三種語言的轉(zhuǎn)化空間想象和推理論證17 函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積函數(shù)與方程空間想象和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題18直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸分析問題及運算求解19指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性及零點問題轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、反證法綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理5 函數(shù)的定義域、解一元二次不等式 數(shù)形結(jié)合 運算求解6流程圖 列舉 運算求解7 古典概型 從反面考慮問題、列舉 運算求解8 等差數(shù)列 轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程 運算求解9 正弦、余弦三角函數(shù) 數(shù)形結(jié)合 作圖、運算求解10 橢圓的方程、焦點、離心率的求法轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程 運算求解11 函數(shù)的周期性、分段函數(shù)、對應(yīng)法則 分類討論 運算求解12 線性規(guī)劃的可行域、x2+y2的幾何含義 數(shù)形結(jié)合 作圖

21（C）直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合 運算求解21（D）含絕對值的不等式的證明 轉(zhuǎn)化與化歸 推理論證22直線和拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合 運算求解能力及推理論證23 考查組合數(shù)及其性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合 運算求解能力和推理論證20 等比數(shù)列的通項公式、求和公式、極端原理 放縮轉(zhuǎn)化代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題21（A） 相似三角形 數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化 推理論證21（B）逆矩陣、矩陣的乘法 變換 運算求解

從統(tǒng)計結(jié)果可以看出，試卷的主要特點是：（1）重視基礎(chǔ)知識考查；（2）注重思想方法考查；（3）凸顯思維能力考查；（4）平穩(wěn)中有變化.下面就這四個特點加以具體評析.

二、重視基礎(chǔ)知識考查，突出核心知識

試卷中不少試題來源于對教材中的例題、習(xí)題進行適當(dāng)?shù)母木?、嫁接、重組，讓人覺得似曾相識，考查基本概念、基本公式和基本運算，如填空題中第1～12題，解答題中第15與16題，附加題中第21題和第22題.填空題第1～9題，僅需簡單計算即可求解，甚至不少題無需動筆，仔細觀察就能得到答案，對支撐高中數(shù)學(xué)課程中的核心知識進行了重點考查，如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、平面向量、直線與圓、立體幾何.8個C級知識點都進行了考查.

三、注重思想方法考查，突出通性通法

由于數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，試卷著重考查：（1）函數(shù)與方程思想，如第8、10、13、17、18題；（2）轉(zhuǎn)化與化歸思想，如第8、13、14、18、19題；（3）數(shù)形結(jié)合思想，如第5、9、12、18題，（4）分類討論的思想，如第11、19、20題.

試卷突出通性通法考查，淡化特殊技巧，如第6、7題考查了列舉法，第19題考查了分離變量法、換元法和反證法，第20題考查了放縮法.

四、凸顯思維能力考查，突出創(chuàng)新意識

今年的試題，在考查基礎(chǔ)知識和通性通法的同時，對學(xué)生的能力有較高要求，很多試題在“能力立意”方面做足了文章，著力考查學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)潛能、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.設(shè)置應(yīng)用性和探究性試題，考查學(xué)生的知識遷移能力和綜合運用所學(xué)知識分析問題與解決問題的能力.

如第18、19、20題各有3問，在難度的設(shè)置上，入口寬，深入難，各個小題的難度逐漸遞增，第（1）、（2）問大多學(xué)生可以解決，考查基礎(chǔ)知識、基本技能，第（3）問對學(xué)生的能力要求較高，為綜合能力較強的優(yōu)秀學(xué)生提供創(chuàng)造性解決問題的空間，考查學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力，確保試卷的區(qū)分度，從而選拔優(yōu)秀人才.

試題注重解法的多樣性和不同解法效率的差異性.大多數(shù)試題入口寬、方法多，不同思維層次的學(xué)生可以選擇不同的方法來解決，所花費的時間也不相同，以此來甄別他們的思維，考查思維變通性、靈活性、深刻性.

如第7題正面的情形比較多，宜從反面思考；第9題既可以畫函數(shù)的圖像，又可以解簡單的三角方程；第10題對條件∠BFC=90°的轉(zhuǎn)化，可以用勾股定理（對焦點F聯(lián)想，根據(jù)對稱性利用焦半徑公式），也可以用斜率的乘積為-1，或者用數(shù)量積為0，還可以用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，來建立求離心率的方程；第13題可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法來解決，也可以利用極化恒等式a·b=［（a+b）2-（a-b）2］，關(guān)鍵是尋找已知與所求之間的關(guān)系，設(shè)出中間變量來聯(lián)系已知與未知；第14題是向量最值問題，題中涉及3個變量、兩種三角函數(shù).解決問題的基本思路是運用化歸思想，設(shè)法減少變量，統(tǒng)一函數(shù)名稱，再利用基本不等式或?qū)?shù).也可以根據(jù)課本中的結(jié)論，在斜三角形中tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC加速解決問題.

五、平穩(wěn)中有變化，平和中有創(chuàng)新

盡管每年高考試題呈現(xiàn)的形式總在變化之中，但背后的思想方法是不變的.

如第13題是平面向量的多個數(shù)量積問題，與2012年第9題、2014年第12題相似，是江蘇的特色試題.

第13、14題敘述簡潔，與2015年相比較難度有所下降，解答時無需巧思，只要熟練運用常規(guī)方法即可求解，運算也不十分復(fù)雜.

第18題是直線與圓的解析幾何問題，沒有沿襲2014、2015年繼續(xù)考橢圓，試題運算量得到有效控制，留給考生較充分的思考問題時間.第（3）問設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），將向量式，轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)的等式，由點P、Q都在已知的圓上，得到兩個方程，統(tǒng)一變量，利用兩個圓的位置關(guān)系來解決問題，這和2013年第17題所用的方法完全相同，考查了解析幾何的精髓用坐標(biāo)法解決問題，以及由數(shù)（方程）想形、見形思數(shù)的思維習(xí)慣.

第19題是指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題，第（1）問中的第①小問，暗示了第（2）問中的結(jié)論ab=1，用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)零點存在定理來證明，這和2013年第20題類似.

第20題是以數(shù)列為背景的新定義型問題，考查學(xué)生的閱讀理解能力，題目做足了鋪墊，第（2）問不但為解決第（3）問提供了結(jié)論，也暗示了解決的方法.此題和2014年第20題類似，都是新定義型數(shù)列題，都是數(shù)列的前n項和為Sn與數(shù)列的項an之間的轉(zhuǎn)化.體現(xiàn)化繁為簡，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)研究的方法.現(xiàn)給出第（3）問不同于標(biāo)準(zhǔn)答案的另一種解法.

本研究以海南11家高星級酒店為研究對象，從酒店經(jīng)營者的角度出發(fā)，探討社交媒體營銷對高星級酒店的影響。根據(jù)采訪數(shù)據(jù)顯示，酒店經(jīng)營者普遍認為社交媒體的出現(xiàn)和發(fā)展是互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟發(fā)展的必然產(chǎn)物，將社交媒體納入到酒店營銷體系里能為酒店的經(jīng)營帶來極大的好處。大多數(shù)受訪者認為社交媒體平臺在酒店和消費者之間創(chuàng)造了一種紐帶關(guān)系。而這種紐帶關(guān)系又為將來的購買關(guān)系打下了堅實的基礎(chǔ)。如果紐帶關(guān)系和購買關(guān)系能夠一直保持良性循環(huán)，那么酒店顧客將有可能成為“意見領(lǐng)袖”，自愿為酒店代言，幫助酒店銷售其產(chǎn)品。

設(shè)A=C∩CUD，B=D∩CUC，則A∩B=?，SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，SC+SC∩D-2SD=SA-2SB，所以，要證明SC+SC∩D≥2SD，即要證明SA≥2SB.

因為SC≥SD，所以SA≥SB.

①若B=?，則SB=0，所以SA≥2SB.

②若B≠?，由SA≥SB，可知A≠?，設(shè)A中最大元素為k，B中最大元素為l，

若l≥k+1，則由第（2）問的結(jié)論知SA＜ak+1≤al≤SB，矛盾.所以l＜k+1，即l≤k.

因為A∩B=?，所以k≠l，所以k≥l+1.

所以SB≤a1+a2+…+al=1+3+32+…+3l-1=≤≤，即S＞2S.AB

綜上所述，SA≥2SB，因此SC+SC∩D≥2SD.

2016年江蘇高考試題和2013、2014年有諸多相似之處，不考“偏、怪、繁、難”的題目.既重視基礎(chǔ)知識的考查，又凸顯數(shù)學(xué)思想、思維能力的考查；既有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，又有利于選拔人才，發(fā)揮了正確的導(dǎo)向作用.

六、教學(xué)啟示

1.回歸課本，夯實基礎(chǔ)

由于不少高考試題是由課本中的題目改編而來，考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，因此復(fù)習(xí)中要回歸課本.對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)不是簡單的記憶和機械的訓(xùn)練，要強調(diào)基礎(chǔ)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，對于基礎(chǔ)知識不能滿足于教師講清楚，更重要的是激勵學(xué)生主動參與知識的構(gòu)建過程，在過程中積累基本活動經(jīng)驗.引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，充分挖掘基本概念、公式、原理、定理等背后隱藏的思想方法，領(lǐng)悟知識之間內(nèi)在的聯(lián)系，洞察數(shù)學(xué)本質(zhì).努力處理好高考題與課本題、難題與容易題之間的辯證關(guān)系，采用變式教學(xué)充分揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，難題的講解要幫助學(xué)生搭建好思路的框架，將難題分解成若干個容易題和課本中的知識點，讓學(xué)生明白難題的解決離不開數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)思想方法來鏈接難題與容易題，將容易題發(fā)展成難題.

培養(yǎng)學(xué)生用基本概念和基本思想方法思考問題良好的解題習(xí)慣.仔細閱讀題目，根據(jù)題目中的條件展開豐富的聯(lián)想，擬定解題計劃，形成解決問題的策略，實現(xiàn)解題計劃，讓學(xué)生學(xué)會解題時需謀定而后動，培養(yǎng)解題的方向感和目標(biāo)感.解題后，進行反思，對問題的本質(zhì)深入探求，對不同的方法比較歸納，對問題引申拓展.

2.研讀考綱，明確方向

認真研究《考試說明》和往年的高考試題.通過研究明確高考數(shù)學(xué)命題的方向，明確知識要求、能力要求.將高考中要考查的內(nèi)容逐一列出，制定詳細的復(fù)習(xí)計劃，做到循序漸進、螺旋上升，突出重點，分散難點.

在復(fù)習(xí)時，既要做到全面復(fù)習(xí)，又要突出重點內(nèi)容.如附加題的第22題?？碱}型是拋物線、離散型隨機變量及其分布和空間向量與立體幾何，這些內(nèi)容都必須復(fù)習(xí).對于重點內(nèi)容分小專題逐個突破.小專題教學(xué)在數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)下，在大的觀念指引下，開展變式教學(xué)，著力幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展學(xué)生的變通能力，達到融會貫通.每一個小專題的教學(xué)力求解決一類重點、熱點、難點問題，讓學(xué)生經(jīng)歷一個系統(tǒng)的梳理過程，歸納、概括的過程，聚焦問題、解決問題的過程.通過小專題教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會透過問題表象看清問題本質(zhì)，研究問題的深層結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)深層相似，提升分析問題與解決問題的能力，注重用普遍聯(lián)系的觀點來看問題，既見樹木更見森林.用同一種方法解決更多的問題，實現(xiàn)更廣泛的遷移.把抽象、概括的知識和方法運用到具體的問題情境之中，從具體的問題情境中抽象、概括出知識、方法和解決問題的策略，通過具體與抽象多次的來來往往，實現(xiàn)從抽象到具體，從具體到抽象，螺旋上升，形成數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.同時重視一題多解，注意比較各種解法的優(yōu)劣，弄明白哪種方法是解決這個問題的最佳方法，在比較中實現(xiàn)優(yōu)化，發(fā)展思維的深刻性.

3.規(guī)范答題，嚴謹表達

表達與交流是最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，書面表達是把自己的思維成果寫出來與他人分享與交流，這種表達要符合數(shù)學(xué)表達的規(guī)范.

（1）引入新的變量（字母）時要交待其指代.如在解答今年高考實際應(yīng)用問題第17題時，設(shè)出變量（字母）要指明變量的含義，同時要寫出變量的取值范圍（函數(shù)的定義域），求出的值還要注明單位，最后作答.

（2）解答題的推理依據(jù)是課本中出現(xiàn)的基本概念、公理、原理、定義、定理，所以務(wù)必要記清這些基本知識.如在解答今年高考立體幾何題（第16題）時，題目中條件“直三棱柱ABC-A1B1C1中”涉及直三棱柱的定義（側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱），因此，依據(jù)定義不能直接推出側(cè)面與底面垂直或側(cè)棱與底面三角形的邊垂直.

（3）使用課本中定理要具體寫出其適用的條件.如在解答今年高考立體幾何題（第16題）第（1）問時，使用直線與平面平行的判定定理，要具體寫出定理使用的三個條件：①證明線線平行，②寫出一條線在平面外，③寫出另一條線在平面內(nèi).

再如解答今年高考函數(shù)綜合題（第19題）第（2）問時，使用函數(shù)零點存在定理，要具體寫出定理使用的三個條件：①證明存在閉區(qū)間端點值；②證明在閉區(qū)間端點的函數(shù)值異號；③寫出函數(shù)在這個閉區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的.

（4）數(shù)學(xué)的運算往往表現(xiàn)為數(shù)學(xué)推理，推理要有依據(jù)，要養(yǎng)成言必有據(jù)理性的嚴密的思維習(xí)慣.如解答15題時，利用同角三角函數(shù)關(guān)系涉及開平方運算，對正負要進行取舍，這就必須研究角的取值范圍，角的取值范圍是運算結(jié)果正負取舍的依據(jù).

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)近幾年官方公布的高考數(shù)學(xué)參考答案，領(lǐng)悟規(guī)范表達的要求.教師要身體力行，規(guī)范解題.多讓學(xué)生板演解題過程，并按評分標(biāo)準(zhǔn)進行集體評判，有效強化學(xué)生答題的自我規(guī)范意識、自我監(jiān)控意識.平時訓(xùn)練中要培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，善于關(guān)注學(xué)習(xí)細節(jié)，學(xué)會準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)概念、原理，規(guī)范書寫算法、數(shù)學(xué)符號、推理等.好的想法依賴規(guī)范表達，規(guī)范意識缺失直接導(dǎo)致失分，所以要重視培養(yǎng)學(xué)生解題的規(guī)范意識.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點課題“高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實踐研究”（B-a/2013/02/033）的研究成果之一.