☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 蔣麗麗

例談對(duì)稱性在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué) 蔣麗麗

數(shù)學(xué)美無處不在，其中“對(duì)稱美”是數(shù)學(xué)美的一種重要存在形式.高中數(shù)學(xué)中的對(duì)稱有概念對(duì)稱、商積對(duì)稱、公式對(duì)稱、運(yùn)算對(duì)稱、圖形對(duì)稱、自身對(duì)稱、倒序?qū)ΨQ、圖像對(duì)稱等.利用對(duì)稱的原理解題時(shí)要注意巧妙的聯(lián)想，合理地構(gòu)造對(duì)稱式，把原問題與對(duì)稱的新問題整合使原問題得以解決.以對(duì)稱的視角來審視某些數(shù)學(xué)問題，不僅行之有效，而且解題過程可以給人以一種別樣的思維美感，往往能達(dá)到巧解的作用，收到事半功倍的效果.下面筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐就如何利用對(duì)稱解題談一點(diǎn)想法.

一、利用倒序后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和為定值的對(duì)稱性解題

不少式子的結(jié)構(gòu)是呈對(duì)稱性分布的，首末兩項(xiàng)和為定值，因此可以利用這個(gè)特點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱式子，可以取得意想不到的效果.

解：注意到倒序后自變量的對(duì)稱關(guān)系：

設(shè)S=（f-5）+（f-4）+…+（f0）+…+（f5）+（f6），①

倒序得S=（f6）+（f5）+…+（f1）+…+（f-4）+（f-5）.②

①+②，得2S=［（f-5）+（f6）］+［（f-4）+（f5）］+…+［（f0）+f（1）］+…+［f（5）+f（-4）］+［f（6）+f（-5）］=

所以S=（f-5）+（f-4）+…+（f0）+…+（f5）+（f6）=3.

二、利用奇偶函數(shù)圖像具有的對(duì)稱性解題

有些函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是其間包含著奇函數(shù)或偶函數(shù)，因此可以利用部分函數(shù)的奇偶性解題.

點(diǎn)評(píng)：事實(shí)上，本題根本不需要求函數(shù)的最值，只需根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱的閉區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數(shù)即可，體現(xiàn)了設(shè)而不求的整體思想.本題考查了奇函數(shù)的定義、奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性以及分離常數(shù)法等知識(shí)和方法.

三、利用某些函數(shù)具有的對(duì)稱性解題

在高中數(shù)學(xué)中還有這樣一些題：某些函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，因此可以經(jīng)常利用軸對(duì)稱圖形的特征解題.

例3 已知函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），方程f（x）-ln|x-2|=0僅有兩個(gè)根，若其中一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為______.

解析：設(shè)方程（fx）-ln|x-2|=0的兩個(gè)根分別為x1=1和x2，且可知函數(shù)y=（fx）和y=ln|x-2|僅有兩個(gè)交點(diǎn)A、B.因?yàn)椋╢2-x）=（f2+x），所以函數(shù)y=（fx）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱.函數(shù)y=ln|x|為偶函數(shù)，并且圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)y=ln|x-2|的圖像是由函數(shù)y=ln|x|的圖像向右平移兩個(gè)單位得到的，所以函數(shù)y=ln|x-2|的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=2對(duì)稱.又由

x2=3.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“若函數(shù)f（x）滿足f（a-x）=f（a+x），則其圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱”這一結(jié)論，還考查了函數(shù)圖像的平移、帶絕對(duì)值的函數(shù)圖像的作圖方法、零點(diǎn)的概念等.

四、利用多重對(duì)稱解題

在三角函數(shù)中，由誘導(dǎo)公式可知，同角的正弦與余弦，互余兩角的正弦、余弦都有一定的對(duì)稱關(guān)系，若能利用好對(duì)稱關(guān)系解題，則能開闊解題思路.

例4 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

解：設(shè)M=sin20°cos70°+sin10°sin50°，

N=cos20°sin70°+cos10°cos50°.

則M+N=（sin20°cos70°+sin10°sin50°）+（cos20°sin70° +cos10°cos50°）

=（sin20°cos70°+cos20°sin70°）+（sin10°sin50°+cos10°cos50°）

=sin90°+cos40°

=1+cos40°.①

M-N=（sin20°cos70°+sin10°sin50°）-（cos20°sin70°+cos10°cos50°）

=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+（sin10°sin50°-cos10°cos50°）

=-sin50°-cos60°.②

所以M=sin20°cos70°+sin10°sin50°=

說明：例4的解決中我們利用了三角函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，又利用了加減運(yùn)算的對(duì)稱關(guān)系，使得解題更加簡便.

五、利用圓錐曲線本身具有的對(duì)稱性解題

圓錐曲線本身就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)其對(duì)稱性可以指導(dǎo)解題思路.

例5 已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O的兩直線分別交橢圓于A、B、C、D四點(diǎn).若|F1A|+|FB1|+|F1C|+|F1D|=8，則該橢圓的離心率為_______.

解：設(shè)右焦點(diǎn)為F2，連接F2B，由橢圓具有的雙重對(duì)稱性可知，A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，所以O(shè)為線段AB的中點(diǎn).又因?yàn)镺為線段F1F2的中點(diǎn)，所以△OAF1≌△OBF2，所以|F1A|=|BF2|，則|F1A|+|F1B|=|BF2|+|BF1|=2a.同理，|F1C|+|F1D|=|DF2|+|DF1|= 2a，也即|F1A|+|FB1|+|F1C|+|F1D|=4a，由4a=8，得a=2.又因?yàn)閏2=a2-b2=4-3=1，所以橢圓的離心率e=

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義、橢圓的對(duì)稱性、離心率、a、b、c三者之間的關(guān)系以及平面幾何知識(shí)（三角形全等）、轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)和方法.

六、利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，通過加、減運(yùn)算對(duì)稱解題

有些式子的結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，可以通過加減運(yùn)算構(gòu)造對(duì)稱式.

例6 若a，b∈R+，a+b=1，求證：

由M2≤M2+N2，得

=2［（2a+1）+（2b+1）］=4（a+b）+4=8.

在推導(dǎo)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)也可以通過構(gòu)造對(duì)稱式解決：

例7 推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：以過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，（圖略）這時(shí)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）.

設(shè)M（x，y）是橢圓上的任意一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)M在橢圓上的充分必要條件是|MF1|+|MF2|=2a.

因?yàn)閨MF1|=，所以上述條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，

①×②，得［（x+c）2+y2］-［（x-c）2+y2］=2ta，

把③分別代入到④和⑤中，得

設(shè)a2-c2=b（2b＞0），則有

點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)稱式子的加減運(yùn)算成功地化簡了式子，充分利用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)和方法.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)讀者自己完成.

由此可見，對(duì)稱式在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用還是非常廣泛的，只要我們多總結(jié)、多觀察、多反思，定能拓寬解題思路，提高解題能力.