☉江蘇省張家港市沙洲中學 陳 燕

從圖形構(gòu)造的角度妙解數(shù)學問題

☉江蘇省張家港市沙洲中學 陳 燕

眾所周知，中學數(shù)學問題解決的指導思想是依賴于兩種手段，即純代數(shù)的運算方式和具備幾何含義的圖形方式.從現(xiàn)有中學知識結(jié)構(gòu)來看，解析幾何是典型的幾何問題代數(shù)化的典范，其培養(yǎng)了學生思維縝密、運算細致、考慮全面的機械化式解決方法（吳文俊語）；而函數(shù)、向量、空間幾何等章節(jié)顯然更多的是可以從圖形的角度去思考知識的本質(zhì)，這是提高學生以數(shù)解形的能力.

代數(shù)手段和幾何手段都能解決很多問題，應該說各自擁有優(yōu)缺點.筆者認為，相對而言，利用幾何的特性解決問題是學生比較喜歡的一種手段（當然代數(shù)的全面性這一典型的優(yōu)點學生還未能完全認知）.從很多問題的解決過程中，我們常?？吹綄W生不喜歡從煩瑣、復雜的代數(shù)運算中去解決問題，更喜歡從幾何圖形的角度去解決問題，因此如何引導學生分析問題的幾何圖形構(gòu)造，進而解決問題是提升思維活躍性的途徑.

一、構(gòu)造一維數(shù)軸模型

絕對值是初中數(shù)學學習的概念之一，隨著學習的深入，學生對絕對值的運用往往失去了幾何意義的層面，更多是從代數(shù)分類討論的角度去解決問題.對于簡單的問題代數(shù)和幾何相差并不大，但是多個絕對值的處理則凸顯幾何圖形的美妙.

例1 （1）（2014年重慶）若不等式|2x-1|+|x+2|＞a2++2對于任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是_______；

（2）（北約聯(lián)考）函數(shù)y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值為________.

分析：（1）從本題來看，學生的第一思路依舊是解決|2x-1|+|x+2|的最小值，筆者詢問大部分學生選擇解決最小值的基本方法是分類討論的策略，很少有學生思考絕對值最基本的幾何含義.筆者請學生思考一個層層遞進絕對值問題（如圖1）：|x-1|最小值的幾何意義理解嗎？|x-1|+|x+1|最小值的幾何意義理解嗎？|x-1|+|x|+|x+1|最小值的幾何意義理解嗎？顯然學生都能從數(shù)軸上并結(jié)合絕對值幾何意義的本質(zhì)——距離來思考問題.以|x-1|+|x|+|x+1|為例，顯然變量x可以在數(shù)軸上移動，當且僅當運動到0時，有最小值.將|2x-1|+|x+2|轉(zhuǎn)化為后，通過思考問題的幾何含義，構(gòu)造一維數(shù)軸，我們可以將問題（1）輕松的解決.

圖1

（2）對于北約聯(lián)考問題，無非是對多個絕對值不等式的處理，原理依舊是一維數(shù)軸的構(gòu)造，將原式變形為，可知一共55項，顯然在最中間的一項取到最小值.這是幾何含義本質(zhì)的處理，對于本題不可能用分類討論的方式進行解決.利用圖形構(gòu)造，巧妙地解決了這樣的問題.

二、構(gòu)造二維平面模型

不等式問題、函數(shù)零點問題、方程根的問題等，都是可以從二維平面的角度去思考，這種思考可以將問題從圖形建構(gòu)上進行處理，使得問題轉(zhuǎn)換為二維平面中的圖形模型，將問題簡化.

例2 若p∈R，|log2p|＜2時，不等式px+1＞2x恒成立，求x的取值范圍.

2直線y=px+1，顯然動直線過定點（0，1），且斜率在，4）內(nèi).本題要求的是當＜p＜4且動直線在定直線上方時，x取哪些值的問題.由圖2可知，動直線在陰影區(qū)域內(nèi)繞定點（0，1）旋轉(zhuǎn)時，為保證動直線在定直線上方，其x范圍介于A、B兩點之間，易求得x=-，Bx=，所以使不等式px+1＞2x恒成立的x的取值范圍為A-＜x＜.

圖2

三、利用三角形的構(gòu)造

三角形是幾何圖形中最基本的一種圖形，很多中學數(shù)學問題都是依賴于三角形的基本形態(tài)進行構(gòu)造、編制，對于這些問題教師要引導學生去關(guān)注、思考問題背后隱藏的圖形本質(zhì)，只有不斷思考命題者關(guān)注的圖形及圖形使用的含義，才能對構(gòu)造有深刻的理解.

例3 已知平面向量α、β（為不等的非零向量）滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是___________.

分析：近年來，向量成為應試考查的熱點.很多學生對于向量小題極為懼怕，總找不到美妙、簡潔的解法，筆者認為這與其并不了解向量的特點相關(guān).向量是具備代數(shù)和幾何雙重性質(zhì)的知識，是兩者互通的工具性橋梁.但從思維考查和區(qū)分的角度來說，勢必將向量的幾何特性發(fā)揮出來才是問題解決的關(guān)鍵.由α、β、β-α可知，容易建構(gòu)三角形，夾角為120°必定與三角形內(nèi)角有關(guān)，故|α|的取值轉(zhuǎn)變?yōu)橛萌切沃械恼叶ɡ砘蛴嘞叶ɡ砬蠼?如圖3可知，將上述建構(gòu)△OAB，∠OBA=60°，利用正弦定理得，因此，0＜

圖3

例4 設向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-，＜a-c，bc＞=60°，則|c|的最大值等于_______.

圖4

分析：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c夾角是60°，以四點共圓來建構(gòu)圖形.如圖4，設則∠ACB=60°，可知C的軌跡是優(yōu)弧A（B上一動點，顯然當C為優(yōu)弧A（B的中點時取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得，在△ABC中，由正弦定理得

四、利用圓的構(gòu)造

圓是幾何圖形中對稱性最完美的曲線，是中學生最早接觸的曲線之一，也是學生掌握幾何性質(zhì)較為熟練的幾何圖形.用圓的特性解決很多代數(shù)問題，是培養(yǎng)學生數(shù)學轉(zhuǎn)換能力、提高幾何思維的有效手段.

例5 設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

（1）求a的值；

分析：本題為2014年高考安徽真題，第（1）問來源于課本.為了準確了解該題的答題情況，筆者調(diào)查了一個班的學生.同學普遍感覺：看起來簡單，好像容易下手，最后卻栽在這道題上.調(diào)查結(jié)果如下：（班級學生共60人）

解法一 解法二 解法三 其他方法 得分人數(shù) 24 20 10 5 0～2 3～6 7～10 10以上12 10 8 30比例% 40 33 17 8 20 17 13 50

解答題第一題一般難度不大，屬于考查基礎(chǔ)知識與基本技能部分.可本題得分卻不太理想，究其原因：解法一中，有六位學生將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成正弦得a=6cosB后，再怎么走，沒了方向.解法二中，有三位學生在得出后，面對sin3α無所適從.解法三中，有兩位學生在得出cosA=2cos2B-1后，感覺使用余弦定理，計算量太大，不敢繼續(xù)了.先看看上述學生從代數(shù)角度應該正確的解決思路：

解法一：sinA=sin2B?sinA=2sinBcosB?a=6cosB；

解法三：cosA=cos2B?cosA=2cos2B-1 ①，cosA=，代入①，得

至此，發(fā)現(xiàn)學生基本上都是圍繞正余弦定理展開的，說明學生基礎(chǔ)知識比較扎實，但思路不夠?qū)?，思維比較固化.如能突破正余弦定理的思維禁錮，發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系，把符合圓特征的命題通過構(gòu)造圓來解決，問題將變得異常簡單.下面結(jié)合圓的常見特征，舉例說明用構(gòu)造圓的方法解決問題的策略.

構(gòu)造優(yōu)解：構(gòu)造圓，如圖5，延長CA至D，使AD=AB=1?∠ADB=∠ABD?∠BAC= 2∠ADB?∠CBA=∠BDA，作△ABD的外接圓，因為∠CBA=∠BDA，所以CB為圓的切線.所以CB2=CA·CD=12?a=2.

圖5

總之，從幾何角度思考數(shù)學問題，往往讓我們對于問題的教學來得更為直觀和清晰.學生也必將喜歡從幾何角度去思考問題，能讓其從抽象的問題背后得到一種思考的快樂和學習的興趣.筆者認為，對于這樣的問題可以引導學生做好兩方面的思考：

（1）問題處理的時候，首先從幾何角度去想一想，問題可能會涉及基本圖形，無非是常見的如三角形、圓、橢圓，上升到空間問題也無非是柱、錐、臺、球，從問題更高的視角想一想命題者想考什么，這樣的教學能讓優(yōu)秀的學生站在更高的視角上思考問題，那么稍難的問題比較容易得到簡潔的途徑.

（2）對幾何模型和代數(shù)條件的總結(jié)，常見的利用圖形構(gòu)造解決的問題需要總結(jié)一些幾何模型的特點，以及需要了解一些常見的代數(shù)式在幾何構(gòu)造中的含義，諸如向量基本條件（a-b）·（a-c）=0如何構(gòu)造等，多思考、多歸納才能有效地解決更多的復雜問題.

1.方厚石.向量教學詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學通訊，2014（1）.

2.李蘭云.運用整體思想求數(shù)列［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2009（10）.

3.王志平，李興民.各類解析函數(shù)構(gòu)造的統(tǒng)一公式［J］.華南師范大學學報，2007（8）.