☉江蘇省常熟中學 曹正清

基于試題改編重要性的初探

☉江蘇省常熟中學 曹正清

眾所周知，數(shù)學教師必備的基本素養(yǎng)是課堂教學素養(yǎng)和解題教學素養(yǎng)，這成為數(shù)學教師成長的最基本素質(zhì).對于年輕教師而言，這些素養(yǎng)足夠保障了其站穩(wěn)課堂教學的講臺，這是教師最初三年教學所必需完成的能力要求.隨著教學年齡的增加和教學經(jīng)驗積累，筆者發(fā)現(xiàn)從解題教學的角度來說，常常做別人編制的試題，甚至在校級考試或聯(lián)考組卷中東拼西湊，這樣的試卷從公平性角度來說不可保障，而且對于教師自身而言也沒有提高，久而久之教師的水平依舊停留在一個“組裝”層面，不適應(yīng)新時代不斷變革的數(shù)學教學.我們應(yīng)該做到什么樣呢？筆者認為，教師要在完成必備基本素養(yǎng)的層面上，做一些提升自己專業(yè)化素養(yǎng)的工作：

（1）解題教學層面需要做到試題改編、原創(chuàng)的嘗試和積累，這種能力的提升對于研究熱點考向、提升學生考試背景公平性、提高教師自身專業(yè)化發(fā)展大有益處；

（2）課堂教學層面關(guān)注新知教學如何更為合理的演繹、復習課教學如何才能高效簡捷，如何在課堂教學中滲透一些編制、原創(chuàng)的問題去吸引學生、引領(lǐng)教師，這些都與試題改編工作戚戚相關(guān).下文筆者從自身改編試題的一些實踐出發(fā)，談?wù)勗囶}改編的重要性.

一、面向應(yīng)試的改編

我們知道，校級考試或聯(lián)考中教師完成組卷任務(wù)時，往往最為困擾的是如何選擇一些試題背景公平的改編或原創(chuàng)試題，這種公平性很重要.對學生而言，一模一樣的問題（特別是試卷中的稍難題或壓軸題）有無做過，相差非常大，這樣在應(yīng)試中無法體現(xiàn)學生的真實水平，而且也向?qū)W生傳遞了一種不良的錯誤信息：只要我多做、多看，通過大量訓練的機械方式可以得到高分！其實這種想法是錯誤的，回想每年高考中為什么需要編制那么多改編試題或原創(chuàng)試題？不就是為了應(yīng)試的公平性嗎？因此，這是教師提升專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑.

問題1（2014年浙江理導數(shù)解答題）已知函數(shù)f（x）= x3+3|x-a|，（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在［-1，1］上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設(shè)b∈R，若［f（x）+b］2≤4對x∈［-1，1］恒成立，求3a+b的取值范圍.

分析：本題是2014年浙江理科壓軸題，主要考查了導數(shù)工具性作用下的帶參函數(shù)的討論，既有單調(diào)性的分析、最值的討論，也有值域問題的考查，是比較不可多得的一道好題.但是在一次大型應(yīng)試中，筆者認為不適合直接將這樣的問題拿來使用，因此作出了較為簡單的一種改編：

（Ⅰ）若函數(shù)（fx）在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

（Ⅱ）若函數(shù)（fx）在R上不單調(diào)時：（i）記（fx）在x∈［-1，1］上的最大值、最小值分別為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；（ii）設(shè)b∈R，若|f（x）+b|＜對?x∈［-1，1］恒成

立，求a-b的取值范圍.

因為g′（x）=x2+1＞0，所以［a，+∞）上必為增函數(shù)，又h′（x）=x2-1?x=±1時，h′（x）=0，所以h（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，（-1，1）上為減函數(shù)，（1，+∞）上為增函數(shù).

（Ⅰ）因為f（x）在R上增函數(shù)，所以h（x）在（-∞，a）為增函數(shù)，所以a≤-1.

（Ⅱ）（i）因為函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)，所以a＞-1.

當-1＜a≤1時，（fx）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，（-1，a）上為減函數(shù)，（a，+∞）上為增函數(shù)，所以m（a）=h（a）=，M（a）=max｛h（-1），g（1）｝=max｛ a+，-a｝.①當-a≥a+，即-1＜a≤時，M（a）=-a，所以M（a）-m（a）=-（a3+3a-4）.

③當a≥1時，（fx）=h（x）在［-1，1］上為減函數(shù)，所以m（a）=h（1）=a-，M（a）=h（-1）=a+，所以M（a）-m（a）=.

綜合①②③可知，

所以a-b≤a+a3+2.

令φ（a）=a3+a+2，顯然φ（a）在（-1，）上為增函數(shù)，所以，所以

所以a-b=2a≥2，所以a-b∈［2，+∞）.

說明：本題是筆者為一次大型聯(lián)考準備的改編題，作為壓軸試題，其在知識點的角度做到了非常全面：單調(diào)性、最值、值域、導數(shù)與函數(shù)的結(jié)合，從思想方法上講，分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想是壓軸問題中最為常用的數(shù)學思想，本題改編時均考慮其中，相比原題，本題對分類討論環(huán)節(jié)作出了刪減（考慮到面向高二學生），但是對單調(diào)性的考查比原題要求稍高，這樣的改編非常適合大型聯(lián)考.

二、面向教學的改編

課堂教學中也需要試題改編，若僅僅是以數(shù)學問題就題論題式的解決，筆者認為這樣的教學既低效又容易產(chǎn)生“疲憊感”！在很多大型教學論壇中，我們常常發(fā)現(xiàn)學生在討論：我們的老師就是把答案念一念，這我都會！每次難點的問題總是說就是這么做的！也不講講還會有什么類似的問題！太沒意思了！因此，筆者認為在面向課堂教學（特別是試題分析或復習教學）時，我們應(yīng)該做一些試題的改編和原創(chuàng)，讓學生從錯誤問題中來，反思自己的解決方式，進而進入新的問題去思考知識的多樣性.

問題2（2013年江蘇）設(shè)｛an｝是首項為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項和.記，其中c為實數(shù).

（Ⅰ）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；

（Ⅱ）若｛bn｝是等差數(shù)列，證明：c=0.

分析：本題考查了等差數(shù)列的基本知識和基本性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列進行證明.應(yīng)該說，本題對于數(shù)列基本性的整合還是相當不錯的，在一次作業(yè)中學生對本題進行了處理，教師將其進行了簡單的分析和講評，此時學生對于問題的思考停留在基本思考層面，教師進一步給出類似原創(chuàng)試題：

原創(chuàng)：已知正項等比數(shù)列｛an｝，首項為a1，公比為q，Sn為｛a｝的前n項和，并且滿足6S，S，3S成等差數(shù)列，且

n396設(shè)bn=（an）3.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）證明｛bn｝中任意三項均不能成等差數(shù)列.

設(shè)計思路：本題考查了等比數(shù)列基本知識，設(shè)計第一小題主要考查讓所有學生掌握等比數(shù)列基本知識和運用，第二小問與高考問題靠攏，主要是作為區(qū)分學生間的不同層次.

396得到S9=6S3+3S6，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=分兩種情況討論：

（i）當q=1時，9a1=18a1+18a1，得a1=0，不成立（因為等比數(shù)列的項不會為0）.

（Ⅱ）要證明第二小題，首先我們要解決bn的通項公式，由已知條件及第（Ⅰ）題的結(jié)果可得：bn=（a1qn-1）3=· （q3）n-1=4n-1，要證明｛bn｝中任意三項均不能成等差數(shù)列，直接從正面證是很難下手的，顯然，用“反證法”簡單明了，不失一般性.所以，我們不妨設(shè)bm，bn，bt三項成等差數(shù)列（其中m＞n＞t≥1，m，n，t∈N*），則2bn=bm+bt，然后將bn的通項公式代入，化簡得2·4n=4m+4（t其中m＞n＞t≥1），關(guān)鍵是如何處理“2·4n=4m+4t”這個等式？

思考：2·4n=4m+4t等式中含有“m，n，t”三個未知數(shù)，并且是超越方程，中學生很難一下子進行求解.應(yīng)對這樣的問題，很顯然需要從整除性或奇偶性的角度去思考.

方法1：兩邊同時除以4t得到2·4n-t=4m-t+1（m＞n＞t≥1），因為n-t，m-t∈N*，所以4n-t為偶數(shù)，故左邊一定為偶數(shù).同理4m-t也為偶數(shù)，故右邊一定為奇數(shù)，而奇偶必不相等.因此上式不能成立.說明假設(shè)不成立，也就證明了第（Ⅱ）小題.

方法2：兩邊同時除以4n得到2=4m-n+4t-n，雖然m-n∈ N*，但是t-n＜0，即4t-n∈（0，1），此時再用奇偶性去證明，顯然已經(jīng)行不通.所以，我們一定要另辟蹊徑.仔細觀察一下，右邊是一個定值2，所以可以嘗試用范圍來解決.由于m-n∈N*，故4m-n≥4，而4t-n＞0，故等式的右邊顯然恒大于4，因此等式不可能成立.

進一步創(chuàng)編：（1）若數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn，試證明：對?m，n，t∈N*，Tm，Tn，Tt均不能成等差數(shù)列.

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn，探究：是否存在數(shù)列｛Tn｝中的三項能成等差數(shù)列？

上述兩個問題有興趣的讀者進一步思考.

從應(yīng)試公平性的角度進行的試題創(chuàng)編和課堂教學中問題提升的角度進行的創(chuàng)編，筆者發(fā)現(xiàn)學生對于問題思考的深入性明顯強于原題.從教師的角度來說，我們也明顯提高了自身對于熱點考向的深思考.從中期來看，改編和原創(chuàng)對于教學的重要性是不言而喻的，尤其對于應(yīng)試的公平性而言必不可少，從遠期目標來看，除去教師必備的兩種基本素養(yǎng)之外，提高對于數(shù)學問題創(chuàng)編的能力是有助于教師專業(yè)化素養(yǎng)的提高.

1.吳成海.高中數(shù)學創(chuàng)新教育應(yīng)著力于創(chuàng)新思維培養(yǎng)［J］.新課程（教育學術(shù)），2013（8）.

2.王建鵬.一道試題的析題展示［J］.福建中學數(shù)學，2013（9）.

3.殷長征.利用“差中差”速解數(shù)列高考題［J］.福建中學數(shù)學，2012（11）.