牛英煜，王　榮

(大連交通大學(xué),遼寧 大連　116028)

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格點(diǎn)法模擬靜電場(chǎng)電勢(shì)分布

牛英煜，王榮

(大連交通大學(xué),遼寧 大連116028)

利用格點(diǎn)法模擬靜電場(chǎng)在二維平面內(nèi)的電勢(shì)分布.具體描繪了點(diǎn)-點(diǎn)、點(diǎn)-線、線-線，以及同心圓環(huán)的靜電場(chǎng)等勢(shì)線分布情況，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。同時(shí)還分析了同心圓環(huán)產(chǎn)生的電勢(shì)與同軸圓柱面產(chǎn)生的電勢(shì)的區(qū)別。

格點(diǎn)法； 電勢(shì)； 點(diǎn)電荷； 線狀電荷

電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)及電勢(shì)分布是大學(xué)物理的基礎(chǔ)內(nèi)容。但由于靜電場(chǎng)分布無(wú)法直接探測(cè)，因此實(shí)驗(yàn)上常用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬描繪靜電場(chǎng)電勢(shì)分布。理論上，通常利用場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式，通過(guò)積分求得電場(chǎng)解析式，利用該解析式描繪靜電場(chǎng)分布[1，2]。

格點(diǎn)法是根據(jù)一定的數(shù)值方法，將連續(xù)的空間離散成有限的單元。該方法被廣泛地用于力學(xué)、原子與分子物理、化學(xué)物理等方面[3，4]。本文利用格點(diǎn)法，將二維平面等間隔離散為10 000個(gè)點(diǎn)，利用公式

(1)

計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)電荷在各格點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，再利用電勢(shì)疊加原理，將各點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，從而得到各格點(diǎn)的電勢(shì)分布。最后利用Origin軟件，等間隔畫出等勢(shì)線。由于等勢(shì)線的疏密與電場(chǎng)強(qiáng)度相關(guān)，因此根據(jù)等勢(shì)線分布還能反映出場(chǎng)強(qiáng)分布情況。

1　點(diǎn)電荷電勢(shì)分布

圖1為利用格點(diǎn)法，并借助Origin作圖軟件描繪的點(diǎn)電荷電勢(shì)分布圖。圖中的“+”號(hào)與“-”號(hào)分別代表點(diǎn)電荷的正負(fù)，每個(gè)點(diǎn)電荷所帶電量都相同。從圖1中可以看出，由于每?jī)蓷l鄰近等勢(shì)線間的電勢(shì)差都是相等的，所以越靠近點(diǎn)電荷處，電勢(shì)線分布越密。對(duì)于緊鄰點(diǎn)電荷附近處的各格點(diǎn)，由于其位置與點(diǎn)電荷距離較小(r→0)，這些格點(diǎn)位置所對(duì)應(yīng)的電勢(shì)遠(yuǎn)大于離點(diǎn)電荷相對(duì)較遠(yuǎn)的其它格點(diǎn)的電勢(shì)。

圖1　點(diǎn)電荷等勢(shì)線分布

因此緊鄰點(diǎn)電荷附近處的電勢(shì)線非常密集，電勢(shì)線分布無(wú)法區(qū)分。本文沒(méi)有描繪出緊鄰點(diǎn)電荷附近的電勢(shì)線分布。

圖1分別描繪了2、4、5、8個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)線分布情況。圖1(c)中，當(dāng)四個(gè)點(diǎn)電荷為“+-+-”分布時(shí)，雖然正電荷與負(fù)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)正負(fù)不同，但各點(diǎn)電荷產(chǎn)生的等勢(shì)線形狀相同，并呈對(duì)稱分布。圖1(d)中，當(dāng)四個(gè)點(diǎn)電荷為“--++”分布時(shí)，兩個(gè)正電荷與兩個(gè)負(fù)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)線分為上下兩個(gè)圖形，每個(gè)圖形的形狀都與圖1(b)相似；上下兩個(gè)圖形呈對(duì)稱分布，其對(duì)稱形狀與圖1(a)相似。也就是說(shuō)，圖1(d)同時(shí)具有圖1(a)與圖1(b)的特點(diǎn)。當(dāng)五個(gè)點(diǎn)電荷呈直線分布時(shí)，其產(chǎn)生的等勢(shì)線與圖2中的直線電荷分布相似。當(dāng)八個(gè)點(diǎn)電荷呈環(huán)狀分布時(shí)，其圓環(huán)內(nèi)可產(chǎn)生閉合的八邊形及圓形等勢(shì)線，其分布與圖4中的環(huán)狀分布相似。從圖1(e)與1(f)可以看出，當(dāng)點(diǎn)電荷分布較密時(shí)，其產(chǎn)生的等勢(shì)線與線狀電荷相似，當(dāng)密度足夠大時(shí)，即可產(chǎn)生與線狀電荷相同的等勢(shì)線。利用此方法來(lái)描繪線狀電荷分布。

2　點(diǎn)-線與線-線電荷等勢(shì)線分布

為了描繪線狀電荷分布，我們將線電荷上的點(diǎn)離散為等距離的點(diǎn)電荷，再用格點(diǎn)法算出各格點(diǎn)的電勢(shì)。表格1為直線形狀分布的電荷離散為密度不同的點(diǎn)時(shí)，格點(diǎn)法算出的電荷周圍各點(diǎn)的電勢(shì)。

表1　直線形狀電荷電勢(shì)計(jì)算結(jié)果

表格1中，直線形狀電荷長(zhǎng)度為10米，其所帶電量為10-9庫(kù)侖。U1、U2與U3分別為距離直線中間與兩端點(diǎn)4米處的電勢(shì)值(如圖2所示)，計(jì)算中取無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。此三點(diǎn)的理論公式為[5]。

(2)

(3)

(4)

從計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)直線上的電荷離散的點(diǎn)數(shù)越多，其計(jì)算結(jié)果與理論值越接近。當(dāng)散離點(diǎn)數(shù)為1萬(wàn)個(gè)點(diǎn)與10萬(wàn)個(gè)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算結(jié)果完全相同，同時(shí)與理論結(jié)果也一致。從表格1可以看出，線狀電荷電勢(shì)隨離散點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度也增加。當(dāng)離散的點(diǎn)數(shù)增加，而計(jì)算結(jié)果不變時(shí)，表明此離散點(diǎn)數(shù)的計(jì)算結(jié)果即為準(zhǔn)確值。

圖2　直線形電荷等勢(shì)線分布

圖2中的等勢(shì)線為線狀電荷離散為1萬(wàn)個(gè)點(diǎn)時(shí)，格點(diǎn)法計(jì)算的結(jié)果。從圖中可以看出，直線形電荷，在電荷附近處，直線兩端處的等勢(shì)線間距較小，分布較密，表明此處的場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)。直線中間對(duì)應(yīng)的等勢(shì)線間距較大，分布較疏。離直線較遠(yuǎn)處，等勢(shì)線趨于同心圓。

圖3為利用格點(diǎn)法描繪的點(diǎn)-線與線-線電荷等勢(shì)線分布情況圖。其中，線電荷離散為1萬(wàn)個(gè)點(diǎn)電荷。圖中的點(diǎn)與線所帶電量相同。圖3(a)中，受負(fù)點(diǎn)電荷影響，其對(duì)應(yīng)的正直線形狀電荷附近的等勢(shì)線呈現(xiàn)中間細(xì)，兩邊粗的啞鈴形狀。圖3(b)中，受正點(diǎn)電荷的影響，正直線形狀電荷附近,

圖3　點(diǎn)-線與線-線電荷等勢(shì)分布

部分等勢(shì)線出現(xiàn)小幅震蕩。圖3(c)與(d)的等勢(shì)線分布情況與圖1(a)與(b)中的點(diǎn)電荷等勢(shì)線分布情況相似。

3　同心圓環(huán)形狀電荷等勢(shì)線分布

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，常用兩同心圓環(huán)間的穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬同軸圓柱面間靜電場(chǎng)電勢(shì)分布，這容易使學(xué)生誤以為模擬的是同心圓環(huán)間靜電場(chǎng)電勢(shì)分布。同心圓環(huán)與同軸圓柱面間的等勢(shì)線分布是否相同呢？?jī)蓚€(gè)帶等量異號(hào)同軸圓柱面間的等勢(shì)線分布，其大小可由公式[6]。

(5)

得到。上式中選取外圓柱面為電勢(shì)零點(diǎn)，UA為兩圓柱面間電勢(shì)差，RA為內(nèi)圓柱面半徑，RB為外圓柱面半徑，r為兩圓柱面間任意一點(diǎn)到軸線距離。我們利用格點(diǎn)法模擬了兩同心圓環(huán)間的等勢(shì)線分布情況，并與同軸圓柱面間電勢(shì)分布情況進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)為同心圓環(huán)間的電勢(shì)分布，圖4(b)為同軸圓柱面間的電勢(shì)分布。其中，內(nèi)外圓柱面半徑分別為1cm與5cm，兩圓柱面間的電勢(shì)差UA為10V，半徑與電勢(shì)差的取值與大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)?zāi)M靜電場(chǎng)的儀器參數(shù)基本相同。理論計(jì)算可得同軸圓柱面間的電勢(shì)差為

(6)

上式中Q為單位長(zhǎng)度，內(nèi)外圓柱面上分別所帶的電量。當(dāng)電勢(shì)差UA為10V時(shí)，由公式(6)可得電量Q為3.455×10-10C。圖4(a)中的內(nèi)外圓環(huán)半徑也分別為1cm與5cm,所帶電量也為3.455×10-10庫(kù)侖，圓環(huán)上電荷離散為1萬(wàn)個(gè)點(diǎn)，選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。

圖4　同心圓環(huán)與同軸圓柱面等勢(shì)線分布

圖4(a)中每?jī)蓷l等勢(shì)線間的電勢(shì)差為0.60V，當(dāng)距離圓心r為4.1cm處，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)為-0.10V，當(dāng)距離圓心r為1.3cm處，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)為4.10V，兩等勢(shì)線間電勢(shì)差為4.2V.圖4(b)中，當(dāng)距離圓心r為4.1cm處，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)為1.23V，當(dāng)距離圓心r為1.3cm處，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)為8.37V，兩等勢(shì)線間電勢(shì)差為7.14V。從圖4(a)與圖4(b)可以看出，同軸圓柱面與同心圓環(huán)產(chǎn)生的電勢(shì)變化范圍不同；兩圖中隨半徑r變小，等勢(shì)線分布變密，其中同心圓環(huán)等勢(shì)線變密速度更快。

4　結(jié)　　論

利用格點(diǎn)法模擬了靜電場(chǎng)等勢(shì)線的分布，并利用離散的方法，模擬了直線形電荷及同心圓環(huán)形電荷的等勢(shì)線。模擬結(jié)果表明，對(duì)于線狀電荷，當(dāng)離散的點(diǎn)數(shù)足夠多時(shí)，即可得到準(zhǔn)確的電勢(shì)分布；同心圓環(huán)與同軸圓柱面間的等勢(shì)線分布情況雖然相似，但并不完全相同。

從以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，利用格點(diǎn)法描繪靜電場(chǎng)電勢(shì)，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，而且適用于描繪二維平面內(nèi)，各種分布情況的點(diǎn)電荷與線狀電荷的電勢(shì)。希望利用該方法描繪的電勢(shì)線能為學(xué)生更好的學(xué)習(xí)、理解靜電場(chǎng)起到一定的幫助作用。

[1]畢升，葉紅軍.基于MATLAB的靜電場(chǎng)模擬[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2013，26(4)：89-91.

[2]陳偉，易志俊，丁益民.利用MATLAB模擬點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線和等勢(shì)面[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014，27(3)：94-96.

[3]江俊勤.用格點(diǎn)法研究一個(gè)有趣的熱傳導(dǎo)問(wèn)題[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25(5)：53-56.

[4]鄒秀芬.對(duì)流擴(kuò)散方程的格點(diǎn)模型[J].計(jì)算物理，1996，13(3)：310-314.

[5]張孝林.大學(xué)物理(新版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2006：176.

[6]籍延坤，牛英煜.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2013：135.

Describing Electrostatic Field by Lattice Method

NIU Ying-yu,WANG Rong

(Dalian Jiaotong University,Liaoning Dalian 116028)

Theelectricpotentialofelectrostaticfieldisdescribedbylatticemethodintwodimensions.Thedistributionofequipotentiallinesinelectrostaticfieldforpoint-point,point-line,line-line,andconcentricringsaredescribed,andthecalculatedresultsarecomparedwiththeoreticalvalue.Thedifferentbetweenthetwoelectricpotentiallinesforconcentricringsandcentriccylindersisinvestigated.

latticemethod；electricpotential；pointcharge；linecharge

2016-04-13

遼寧省普通高等學(xué)校本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(UPRP20140719)

1007-2934(2016)04-0042-04

O4-33

ADOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.004.014