肖 堯 孫小淳

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 人文學(xué)院,北京 100049)

郭守敬圭表測(cè)影推算冬至?xí)r刻的模擬測(cè)量研究

肖 堯 孫小淳

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 人文學(xué)院,北京 100049)

元朝郭守敬首創(chuàng)用四丈高表和景符進(jìn)行測(cè)影,以推算冬至?xí)r刻,所得到的冬至?xí)r刻具有很高的精度。本文通過(guò)模擬測(cè)量的方法,對(duì)郭守敬圭表測(cè)影定冬至?xí)r刻的方法及其精度進(jìn)行探究。利用北京古觀象臺(tái)的圭表進(jìn)行模擬測(cè)量,并以古法推定了2014年的冬至?xí)r刻,與郭守敬在至元年間(1277—1280)的測(cè)定相比較。對(duì)郭守敬測(cè)定的冬至?xí)r刻與模擬測(cè)量推算的冬至?xí)r刻進(jìn)行分析,探討郭守敬所推得的冬至?xí)r刻精準(zhǔn)的原因以及“授時(shí)歷議”中所載測(cè)影數(shù)據(jù)的取舍問(wèn)題。

圭表測(cè)影 郭守敬 授時(shí)歷 模擬測(cè)量 冬至?xí)r刻

在中國(guó)古代歷法中,節(jié)氣時(shí)刻的測(cè)定是十分重要的工作,而在所有節(jié)氣中,又以冬至?xí)r刻的測(cè)定最為重要,因?yàn)闅v法推算以冬至為起算點(diǎn)。元朝郭守敬制訂《授時(shí)歷》,其中推定的冬至?xí)r刻相比于過(guò)去的歷法,在精度上有很大的提高[1]?！妒跁r(shí)歷》中的冬至?xí)r刻是郭守敬使用圭表測(cè)影數(shù)據(jù),通過(guò)一套方法推算確定的。之前有關(guān)郭守敬確定冬至?xí)r刻的研究多以郭守敬圭表測(cè)影的精度為重點(diǎn),所依據(jù)的數(shù)據(jù)大多直接采用《元史·歷志》所載數(shù)據(jù)[1—5]。然而僅僅說(shuō)明測(cè)量精度的高低尚不足以對(duì)郭守敬測(cè)定冬至?xí)r刻的過(guò)程有全面的了解。郭守敬獲得精度較高的數(shù)據(jù)取決于哪些因素？郭守敬在數(shù)據(jù)使用上又有何取舍？這些問(wèn)題,有必要進(jìn)一步探討。

本文通過(guò)模擬測(cè)量對(duì)郭守敬圭表測(cè)影定冬至?xí)r刻的方法進(jìn)行研究。使用北京古觀象的“八尺”表測(cè)量2014年冬至前后若干天的正午影長(zhǎng),然后使用這些影長(zhǎng)數(shù)據(jù),以郭守敬所使用的推算方法推定2014年的冬至?xí)r刻。通過(guò)對(duì)模擬測(cè)量的精度與郭守敬在元朝至元年間測(cè)量的精度的比較,探討郭守敬圭表測(cè)影方法的合理性以及他如何處理數(shù)據(jù)和誤差。

1 圭表測(cè)影的模擬測(cè)量

《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中記載的推算冬至?xí)r刻,其平均誤差在2刻左右,這在當(dāng)時(shí)而言十分精確[3,6]。郭守敬測(cè)定冬至?xí)r刻可分為兩個(gè)環(huán)節(jié),一是圭表測(cè)影,二是使用測(cè)影數(shù)據(jù)推算冬至?xí)r刻。圭表測(cè)影是前期的基礎(chǔ)工作,測(cè)影準(zhǔn)確與否直接影響到后面的推算精度。郭守敬在測(cè)影工作中不僅改進(jìn)和新制儀器[7—9],而且改良了測(cè)影方法([10],996頁(yè)),以此來(lái)提高測(cè)影精度。

根據(jù)《元史·天文志》中的記載,郭守敬對(duì)圭表測(cè)影工作的改進(jìn)可以歸為三處：一是改八尺表為四丈高表([10],996頁(yè)),使影長(zhǎng)變化更加明顯,便于觀察,同時(shí)在影長(zhǎng)讀數(shù)精度不變的情況下提高了測(cè)量相對(duì)精度；二是變過(guò)去的測(cè)日體上邊影為測(cè)日體中心影,更為準(zhǔn)確?！对贰ぬ煳闹尽份d：“舊法一表端測(cè)晷,所得者日體上邊之景。今以橫梁取之,實(shí)得中景,不容有毫末之差”([10],997頁(yè))；三是創(chuàng)制景符([10],997頁(yè))通過(guò)小孔成像使虛影區(qū)同比例縮小,解決虛影讀數(shù)誤差過(guò)大的問(wèn)題,提高影長(zhǎng)讀數(shù)的精度。為了更好地認(rèn)識(shí)郭守敬圭表測(cè)影的過(guò)程和效果,我們采用模擬測(cè)量的方法探究郭守敬的圭表測(cè)影工作。

1.1 使用八尺表進(jìn)行的模擬實(shí)測(cè)

郭守敬測(cè)影使用了四丈高表和景符([11],320頁(yè))。由于條件所限,模擬觀測(cè)使用的是北京古觀象臺(tái)八尺銅圭表*此圭表石座為明代實(shí)物,其上銅表為1983年在明代石座上復(fù)原的元郭守敬八尺銅表。和北京古觀象臺(tái)復(fù)原的景符([12],134頁(yè))。其中,八尺銅表頂端由兩龍爪擎一橫梁(梁直徑0.06景表尺,1景表尺=24.525厘米[13]),梁心距圭面垂直距離應(yīng)為8景表尺,我們實(shí)測(cè)為7.995景表尺,下面的計(jì)算都以后者為準(zhǔn)。橫梁垂直投影與圭表刻度零位線重合,所以橫梁在圭面上投影位置即為影長(zhǎng)。圖1和圖2分別為復(fù)原的“八尺”銅表和景符。我們?cè)诒本┕庞^象臺(tái)測(cè)量了2014年冬至前后約半個(gè)月每天正午的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)。

圖1 北京古觀象臺(tái)八尺圭表

圖2 北京古觀象臺(tái)復(fù)原景符

測(cè)影工作從2014年12月5日開(kāi)始,到2015年1月7日結(jié)束。每日在北京觀象臺(tái)地方時(shí)正午時(shí)刻測(cè)量表影長(zhǎng)度。通過(guò)觀察表影在圭面上的位置判斷何時(shí)為古觀象臺(tái)正午時(shí)刻,當(dāng)表影與圭面南北邊平行時(shí),即為古觀象臺(tái)正午。由于太陽(yáng)真時(shí)與太陽(yáng)平時(shí)的差值每日稍有不同,觀象臺(tái)每日正午對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間都不相同,同時(shí)我們的每次測(cè)量需要用時(shí)10秒左右(這個(gè)時(shí)間內(nèi)表影長(zhǎng)度的變化可忽略),可能造成記錄的觀象臺(tái)正午時(shí)刻有一些誤差。測(cè)量時(shí)將景符正放于圭面的南北中軸線上,正午時(shí)會(huì)看到太陽(yáng)光透過(guò)景符小孔在圭面上成米粒大小的光斑(太陽(yáng)倒像),這時(shí)在圭面南北中軸線上移動(dòng)景符,使橫梁影出現(xiàn)在光斑中,當(dāng)橫梁影平分光斑時(shí),讀橫梁影的上下沿所在刻度。實(shí)測(cè)中使用讀橫梁上下沿影長(zhǎng)的方法,原因是實(shí)測(cè)中光斑內(nèi)的橫梁影的中心位置不易讀準(zhǔn),只能憑感覺(jué)判斷。相比之下,讀上下沿影長(zhǎng)數(shù)值更加準(zhǔn)確,讀數(shù)時(shí)的虛影影響更小,僅0.2毫米左右的誤差(見(jiàn)圖3、圖4)。

圖3 表端橫梁通過(guò)景符形成的影像

圖4 使用景符讀取影長(zhǎng)示意圖,A區(qū)域?yàn)闄M梁陰影

從2014年12月5日起,除12月9日天陰未有觀測(cè)數(shù)據(jù),共測(cè)得33組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表1。

表1 使用北京古觀象臺(tái)八尺表測(cè)影數(shù)據(jù)表

續(xù)表1

在北京古觀象臺(tái)測(cè)量之后,我們又前往登封告成的古觀象臺(tái),利用四丈高表進(jìn)行了初步的測(cè)量。發(fā)現(xiàn)在使用景符的情況下,八尺圭表和四丈高表的測(cè)量效果相差不大,即兩者在影長(zhǎng)測(cè)量精度上是相當(dāng)?shù)?因此使用八尺表所做的模擬實(shí)測(cè),大致上可以反映出四丈高表的測(cè)量水平。同時(shí),登封告成四丈高表的測(cè)量工作由當(dāng)?shù)氐牟軙舾M(jìn),待有更完整的數(shù)據(jù)時(shí)可以做進(jìn)一步的研究。

1.2 模擬實(shí)測(cè)影長(zhǎng)的精度

將實(shí)測(cè)影長(zhǎng)數(shù)據(jù)與理論推算影長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,就可分析實(shí)測(cè)影長(zhǎng)的精度。崔石竹、李東生曾做過(guò)類似的研究([14],332—341頁(yè)),但最后結(jié)果與我們所得的有所不同。利用《2014年中國(guó)天文年歷》所載的每日力學(xué)時(shí)0h的視赤緯和大氣蒙氣差,用貝塞爾內(nèi)插法(北京古觀象臺(tái)圭表處地理經(jīng)度λ東經(jīng)116°26′2.8″,地理緯度φ北緯39°54′19.3″,海拔40米)求出某日日中天(日中天時(shí)間為我們實(shí)測(cè)的地方正午時(shí),換算為力學(xué)時(shí))的太陽(yáng)視赤緯δ,利用公式

α=90°-φ+δ

求出太陽(yáng)中天時(shí)地平高度α,再加蒙氣正R0,得太陽(yáng)實(shí)際地平高度為α1=α+R0。圭表高為7.995尺,于是影長(zhǎng)的理論值為

S=7.995×cotα1

現(xiàn)將33組數(shù)據(jù)的理論影長(zhǎng)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)影長(zhǎng)結(jié)果列于表2進(jìn)行分析(理論影長(zhǎng)數(shù)據(jù)使用的大氣蒙氣差均為未修正大氣蒙氣差)。

表2 北京古觀象臺(tái)八尺表測(cè)影數(shù)據(jù)與理論值比較表

在實(shí)測(cè)的33天中,有4天的光強(qiáng)很弱(在表2中用加粗標(biāo)記),辨別橫梁影的位置已相當(dāng)困難,偶然誤差增大,故在數(shù)據(jù)分析中剔除這4組數(shù)據(jù),只分析剩余的29組。實(shí)測(cè)地方正午時(shí)與理論地方正午時(shí)相差30秒左右,這應(yīng)該是判別表影正北位置時(shí)的人為誤差,但只要在正午時(shí)前后1分鐘以內(nèi),太陽(yáng)高度角變化和太陽(yáng)視赤經(jīng)變化對(duì)影長(zhǎng)的影響都可忽略不計(jì)*在正午時(shí)刻前后1分鐘以內(nèi),太陽(yáng)高度角變化小于2″,太陽(yáng)視赤經(jīng)變化小于2.5′,這兩者引起的影長(zhǎng)變化小于0.01毫米,因此對(duì)測(cè)量而言可以忽略。。

對(duì)29組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到：29組數(shù)據(jù)的理論影長(zhǎng)值與測(cè)量影長(zhǎng)值之差(理論影長(zhǎng)值-測(cè)量影長(zhǎng)值),正值9個(gè),負(fù)值20個(gè),由于數(shù)據(jù)樣本不大,因此不好作為判別是否存在某種系統(tǒng)誤差的依據(jù)。29組數(shù)據(jù)的理論影長(zhǎng)值與測(cè)量影長(zhǎng)值差值的平均值為-0.0012景表尺(約-0.3毫米),絕對(duì)值最大的差值為2014年12月22日的-0.0082景表尺(約2毫米),29組理論影長(zhǎng)值與測(cè)量影長(zhǎng)值差值的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0043景表尺(約1.1毫米)。表明理論影長(zhǎng)值與測(cè)量影長(zhǎng)值的平均偏離程度為0.0043景表尺,相對(duì)誤差水平約為0.03%?？紤]到樣本數(shù)據(jù)較少,以最大誤差值做估計(jì),冬至前后的影長(zhǎng)實(shí)測(cè)誤差在0.0082景表尺左右,即誤差水平在2毫米左右,相對(duì)誤差水平在0.05%左右。

2 以圭表測(cè)影數(shù)據(jù)定冬至?xí)r刻

在中國(guó)古代,圭表測(cè)影很早就被用作判斷節(jié)氣的方法([15],363頁(yè))。在劉宋祖沖之之前,古人尚不能通過(guò)圭表測(cè)影得到準(zhǔn)確的冬至點(diǎn)時(shí)刻[1]。用圭表測(cè)影的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)來(lái)推算冬至點(diǎn)時(shí)刻,始于劉宋祖沖之([16],313頁(yè))。《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中就有“紀(jì)元以后諸歷,為法加詳,大抵不出沖之之法”([10],1122頁(yè))的說(shuō)法。這套方法假設(shè)的前提是：在冬至點(diǎn)前后,影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化是對(duì)稱的,即：當(dāng)冬至前后兩個(gè)時(shí)刻距冬至?xí)r刻相等時(shí)間,這兩個(gè)時(shí)刻的表影長(zhǎng)度相等。這樣,祖沖之的這套方法實(shí)質(zhì)上就是尋找冬至前后影長(zhǎng)相等的兩個(gè)時(shí)刻,之后確定這兩個(gè)時(shí)刻的中間點(diǎn)時(shí)刻,定其為冬至?xí)r刻。下面用數(shù)學(xué)化的方式進(jìn)行說(shuō)明,設(shè)A為冬至前某日,B和C(=B+1)為冬至后相鄰兩日；F為冬至后某日,D和E(=D+1)為冬至前相鄰兩日。a、b、c、d、e,f分別表示相應(yīng)日正午的影長(zhǎng)值。O點(diǎn)為冬至?xí)r刻,相距O點(diǎn)相等時(shí)間的A與A’,F與F’的影長(zhǎng)相等,O點(diǎn)時(shí)刻即為A與A’,F與F’時(shí)刻的中點(diǎn)時(shí)刻。具體有6種情況,如圖5所示,圖中O點(diǎn)為冬至?xí)r刻點(diǎn),OA=OA’,OF=OF’,a’=a,f’=f。

圖5 郭守敬推算冬至?xí)r刻算法的6種情形示意圖

陳美東將這套推算至日方法歸為以下兩式([2],301頁(yè))：

李勇最近對(duì)上述方法進(jìn)行過(guò)全面的解讀,指出了這套確定節(jié)氣時(shí)刻方法的近似性質(zhì)[3]。本文則從這套推算方法本身精度的角度進(jìn)行分析。

2.1 按郭守敬推算方法根據(jù)模擬測(cè)量數(shù)據(jù)求得的2014年冬至?xí)r刻

在實(shí)測(cè)的29組數(shù)據(jù)中,冬至日前后1—2天內(nèi)的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)未使用,原因是冬至日前后1—2天內(nèi)的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)變化很小,與觀測(cè)的誤差接近,使用這部分影長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行除法運(yùn)算會(huì)使結(jié)果出現(xiàn)顯著偏差(故12月20日至12月23日這4天的數(shù)據(jù)未使用)?，F(xiàn)將選取日期組合和推算冬至?xí)r刻列于表3(所有結(jié)果都為12月22日X刻,故日期不列)。

表3 推算冬至?xí)r刻選取日期組合與推算冬至?xí)r刻表

續(xù)表3

以取平均值的方式定冬至?xí)r刻,6種情況分別得到6個(gè)平均值：26.16刻、24.82刻、27.99刻、27.09刻、26.90刻、24.15刻。根據(jù)《2014年中國(guó)天文年歷》,2014年的冬至?xí)r刻為北京時(shí)間12月22日7時(shí)3分1秒,換算成北京古觀象臺(tái)地方平時(shí)為12月22日6時(shí)48分45秒,即12月22日28.40刻。6個(gè)平均值與其最大的差值為第六種情況的4.25刻(61.2分鐘),最小的差值為第三種情況的0.41刻(約5.9分鐘),6個(gè)平均值的均值為26.185刻,與真冬至?xí)r刻相差2.215刻(約31.9分鐘)。

通過(guò)實(shí)測(cè)影長(zhǎng)推算的冬至?xí)r刻表明：使用郭守敬推算冬至?xí)r刻的方法,利用2014年冬至前后半個(gè)月的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)得到的冬至?xí)r刻平均誤差在2刻左右。這個(gè)結(jié)果同郭守敬時(shí)誤差相當(dāng),說(shuō)明郭守敬推算冬至?xí)r刻的方法在如今取前后半個(gè)月測(cè)影數(shù)據(jù)的范圍內(nèi),依舊可以得到不錯(cuò)精度的冬至?xí)r刻。

2.2 郭守敬以圭表測(cè)影數(shù)據(jù)推算冬至?xí)r刻方法的合理性分析

郭守敬使用的冬至?xí)r刻推算的方法中,影響最終結(jié)果的因素主要有兩個(gè),一是圭表測(cè)影的精度,二是推算方法的精度。圭表測(cè)影的精度已經(jīng)通過(guò)模擬測(cè)量進(jìn)行了探析,下面對(duì)冬至?xí)r刻推算方法的精度進(jìn)行分析。

郭守敬的這套冬至?xí)r刻推算方法若要行之有效,需要滿足三個(gè)條件。第一個(gè)條件是一日內(nèi)的影長(zhǎng)線性變化；第二個(gè)條件是相鄰兩日的影長(zhǎng)變化量相等；第三個(gè)條件是影長(zhǎng)在冬至點(diǎn)前后對(duì)稱變化。這其中,6種情況的推算方法都必須滿足第一個(gè)和第三個(gè)條件,且第一種、第三種、第四種和第六種情況的推算方法還需要滿足第二個(gè)條件。下面就對(duì)這三個(gè)條件進(jìn)行分析。

第一個(gè)條件為一日內(nèi)的影長(zhǎng)線性變化。以現(xiàn)今知識(shí)來(lái)看,一日內(nèi)的影長(zhǎng)并不線性變化,影長(zhǎng)等價(jià)于太陽(yáng)地平高度角的余切值,就一日內(nèi)的影長(zhǎng)變化而言,其變化與線性變化十分接近,所以此條件與實(shí)際情況基本符合。

第二個(gè)條件為相鄰兩日的影長(zhǎng)變化量相等。以現(xiàn)今知識(shí)來(lái)看,相鄰兩日的影長(zhǎng)變化量并不相等,以八尺表為例,冬至前后15天范圍內(nèi)相鄰兩日的影長(zhǎng)變化量差值在1毫米左右,當(dāng)一日的影長(zhǎng)變化量遠(yuǎn)大于1毫米時(shí),第二個(gè)條件引起的誤差可忽略。

第三個(gè)條件為影長(zhǎng)在冬至點(diǎn)前后對(duì)稱變化。可以理解為距冬至點(diǎn)相等時(shí)間的兩個(gè)時(shí)刻影長(zhǎng)相等。以現(xiàn)代天文學(xué)知識(shí)來(lái)看,當(dāng)冬至點(diǎn)與近日點(diǎn)位置一致時(shí),可近似認(rèn)為冬至點(diǎn)前后的影長(zhǎng)對(duì)稱變化。因?yàn)榻拯c(diǎn)前后的地球公轉(zhuǎn)速率可近似認(rèn)為對(duì)稱變化,這使得距近日點(diǎn)相等時(shí)間的兩個(gè)時(shí)刻的太陽(yáng)高度角大致相等,因此影長(zhǎng)大致相等。通過(guò)《中國(guó)天文年歷》得到2013年、2014年和2015年冬至點(diǎn)與地球近日點(diǎn)分別相差14°3′、13°32′和11°59′(誤差在2′以內(nèi))；再利用Skymap Pro 11.0軟件回推得到1278年、1279年和1280年冬至點(diǎn)與地球近日點(diǎn)分別相差9′、1°26′和-30′(誤差在5′以內(nèi))?？梢钥闯?在郭守敬年代,冬至點(diǎn)與近日點(diǎn)更加靠近,則此條件與實(shí)際情況更加符合,所以郭守敬時(shí)期這套方法推算冬至?xí)r刻更為準(zhǔn)確。有關(guān)此點(diǎn)我們可以通過(guò)使用理論影長(zhǎng)值,按郭守敬法推得的冬至?xí)r刻的誤差變化加以說(shuō)明。圖6和圖7分別表示1279年和2014年的情況。影長(zhǎng)數(shù)據(jù)都采用冬至前后3—60天的理論影長(zhǎng)值。圖中標(biāo)有“一”“二”“三”“四”“五”和“六”的曲線,分別表示上述郭守敬使用的6種推算情況推得的冬至?xí)r刻誤差隨所取影長(zhǎng)所在日距冬至?xí)r刻的日數(shù)的變化趨勢(shì)。

圖6 1279年取表影日期距冬至日天數(shù)與推算方法精度關(guān)系

圖7 2014年取表影日期距冬至日天數(shù)與推算方法精度關(guān)系

從圖6看1279年的情況,當(dāng)所取表影日期距冬至前后為15天以內(nèi)時(shí),按理論影長(zhǎng)推算得到冬至?xí)r刻的誤差整體上隨天數(shù)增加而減小,到15天以外,誤差基本固定在1刻左右。這表明,這套冬至推算方法在1279年時(shí)取表影日期距冬至天數(shù)在15天以上時(shí)有很好的準(zhǔn)確度。從圖7看2014年的情況,誤差最小的部分在取表影日期距冬至前后11天左右,其誤差在3刻左右,隨著取表影日期距冬至天數(shù)的增加,其誤差逐漸增大,在取表影日期距冬至60天左右時(shí),誤差已經(jīng)達(dá)到20刻(288分鐘)以上。這表明這套冬至推算方法在2014年時(shí)隨著取表影日期距冬至天數(shù)(11天以上)的增加誤差將越來(lái)越大。

基于以上分析,我們認(rèn)為《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中所載的高精度冬至?xí)r刻不僅得益于郭守敬準(zhǔn)確的圭表測(cè)影數(shù)據(jù),而且得益于當(dāng)時(shí)冬至點(diǎn)與地球近日點(diǎn)比較接近,冬至點(diǎn)前后影長(zhǎng)變化比較對(duì)稱的實(shí)際情況,使得他使用的方法可以比較好地適用。以《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中的取表影日期來(lái)看,其中有不少取表影日期距冬至30天以上的日期組合,但推算結(jié)果誤差也不大。如果換成2014年,誤差就會(huì)很大。因此我們?cè)?014年做模擬測(cè)量時(shí),只測(cè)量了冬至15天以內(nèi)的影長(zhǎng),而15天以外的數(shù)據(jù),因?yàn)橥扑惴椒ū旧砭彤a(chǎn)生了很大誤差,再對(duì)其分析相對(duì)就失去了意義。

2.3 《授時(shí)歷》中選取哪些測(cè)影數(shù)據(jù)推算冬至?xí)r刻？

在《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中共有3年的推算冬至?xí)r刻的53條測(cè)影數(shù)據(jù)。現(xiàn)將《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中的冬至推算選取日期組合,及其所用推算情況和推算結(jié)果列于表4(“授時(shí)歷議”中原文雖未明指使用了哪種推算情況,但根據(jù)其所選日期組合即可判斷其所用推算情況)。

表4 1277—1279年冬至推算日期組合及冬至?xí)r刻表

續(xù)表4

表4中1278年1278.06.19、1279.06.09、1279.06.10三天的數(shù)據(jù)使用第一種推算方法得到的結(jié)果為51.88刻(表中用加粗標(biāo)記),與所記載的1278年冬至?xí)r刻58刻明顯不合,推測(cè)為1278.06.19的數(shù)據(jù)“五月二十八日庚戌,景一丈一尺七寸八分”([10],1126頁(yè))抄錄錯(cuò)誤,若改為一丈一尺七寸七分,最后的結(jié)果為58.13刻,則較為合理。

需要指出,“授時(shí)歷議”給出的上述數(shù)據(jù)組合并不是所有可能的組合,而是經(jīng)過(guò)篩選的。試看“授時(shí)歷議”中關(guān)于推算1278年(至元十五年戊寅歲)冬至?xí)r刻和推算1279年(至元十六年己卯歲)冬至?xí)r刻的兩段記載：

推十五年戊寅歲冬至

十一月十二日辛卯,景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰,景七丈六尺三寸一厘五毫；閏十一月十五日甲子,景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑,景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅,景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相減為實(shí),以辛卯、壬辰景相減為法,除之,亦得戊申日未初三刻?；蛴眉鬃印⒁页缶跋鄿p,推之,亦合。若用辛卯、乙丑景相減為實(shí),用乙丑、丙寅景相減,除之,并同。此取至前后十六七日景。([10],1125頁(yè))

推十六年己卯歲冬至

十月十八日壬辰,景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳,景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午,景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申,景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉,景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔,景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥,景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相減,癸巳、甲午景相減,如前推之,亦同。若以壬申、癸酉景相減為法,推之亦同。此取至前后十八九日景。若用癸巳與甲戌景相減,以壬辰、癸巳景相減,推之,或癸巳、甲午景相減,推之,或用甲戌、癸酉景相減,推之,或甲戌、乙亥景相減,推之,或以壬辰、乙亥景相減,用壬辰、癸巳景相減,推之并同。此取至前后二十日景。([10],1128—1129頁(yè))

其中推1278年(至元十五年戊寅歲)冬至的這一段給出了5天的測(cè)影數(shù)據(jù),分別是1278年11月27日,1278年11月28日,1278年12月30日,1278年12月31日和1279年1月1日,這5天的數(shù)據(jù)可以有7種推算組合,而“授時(shí)歷議”中只給出了3種推算組合,另外4種推算組合沒(méi)有給出；推1279年(至元十六年己卯歲)冬至的這一段給出了7天的測(cè)影數(shù)據(jù),分別是1279年11月23日,1279年11月24日,1279年11月25日,1280年1月2日,1280年1月3日,1280年1月4日和1280年1月5日,這7天的數(shù)據(jù)可以有13種推算組合,而“授時(shí)歷議”中只給出了7種推算組合,另外6種推算組合沒(méi)有給出。將上述日期組合、推算情況和結(jié)果,與“授時(shí)歷議”所載冬至?xí)r刻誤差列于表5。

表5 《授時(shí)歷》推算冬至?xí)r刻所載日期組合和未載日期組合表

續(xù)表4

從表5發(fā)現(xiàn),“授時(shí)歷議”中所選取的10種推算影長(zhǎng)組合的計(jì)算結(jié)果都在最后所載的冬至?xí)r刻后一刻以內(nèi),而未使用的10種推算影長(zhǎng)組合中僅有3種計(jì)算結(jié)果在所載的冬至?xí)r刻后一刻以內(nèi),另外7種推算影長(zhǎng)組合的結(jié)果皆不在冬至?xí)r刻后一刻以內(nèi)。我們發(fā)現(xiàn),《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中所載的日期組合得到的冬至?xí)r刻都在所載冬至?xí)r刻后一刻以內(nèi),這說(shuō)明郭守敬使用“后一刻以內(nèi)”的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷推算的冬至?xí)r刻是否“正確”,進(jìn)而篩選出“正確”的數(shù)據(jù)組合。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)郭守敬圭表測(cè)影方法的模擬測(cè)量,表明八尺表與景符的配合使用已經(jīng)能達(dá)到很高的測(cè)影精度。使用八尺表和景符的情況下其測(cè)影精度已達(dá)2毫米左右,相對(duì)誤差水平在0.05%左右。

郭守敬以圭表測(cè)影數(shù)據(jù)推算冬至?xí)r刻的方法,在計(jì)算上可以直接得到冬至日和冬至?xí)r刻,并且將選取的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)類型拓展為6種。本文通過(guò)數(shù)據(jù)分析和圖表展示表明：整體上,6種推算情況中的第二種和第五種推算情況推得的冬至?xí)r刻與真冬至?xí)r刻的接近程度最好,其原因是第二種和第五種推算情況要求的假設(shè)條件比其他四種推算情況少一條。同時(shí),我們利用模擬觀測(cè)的29組數(shù)據(jù)推算2014年冬至?xí)r刻平均誤差為2.215刻,而郭守敬時(shí)期實(shí)測(cè)推算冬至?xí)r刻與真冬至?xí)r刻平均誤差水平在2.5刻以內(nèi)。需要注意的是,“授時(shí)歷議”所載的冬至測(cè)影數(shù)據(jù)選取的日期距冬至日數(shù)有多有少,最多達(dá)178天,若以同樣的選取方式進(jìn)行日期選擇用以推算2014年冬至?xí)r刻,則誤差將遠(yuǎn)大于2.5刻,這是由于2014年冬至點(diǎn)離太陽(yáng)近地點(diǎn)較遠(yuǎn)的緣故。郭守敬當(dāng)年兩者很接近,因此即使以冬至前后60天的數(shù)據(jù)進(jìn)行推算,其誤差也在3刻以內(nèi),而2014年以冬至前后60天的數(shù)據(jù)進(jìn)行推算,誤差會(huì)達(dá)到20刻以上。所以,郭守敬推算冬至?xí)r刻的精準(zhǔn)不僅僅得益于他對(duì)影長(zhǎng)的精確測(cè)量,也得益于當(dāng)時(shí)冬至點(diǎn)正好與太陽(yáng)近地點(diǎn)接近的有利條件,可以說(shuō)是有相當(dāng)大的“運(yùn)氣”成份。

最后對(duì)《元史·歷志》“授時(shí)歷議”中所載的影長(zhǎng)數(shù)據(jù)和冬至?xí)r刻進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)《授時(shí)歷》推算冬至?xí)r刻,并不是采用了影長(zhǎng)數(shù)據(jù)所能提供的所有可能推算組合,而是有所取舍。郭守敬只選擇冬至?xí)r刻在“后一刻以內(nèi)”的推算組合,對(duì)于超出這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”的組合,則完全不提,人為選擇的傾向很明顯。

致 謝 本文的實(shí)測(cè)工作中,北京古觀象臺(tái)肖軍臺(tái)長(zhǎng)提供了測(cè)影場(chǎng)地和儀器,特此感謝。

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A Simulative Study of Guo Shoujing’s Determination of the Winter Solstice using a Gnomon

XIAO Yao SUN Xiaochun

(School of Humanities, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In the beginning of the Yuan Dynasty, for the determination of the moment of Winter Solstice, Guo Shoujing constructed the 40-chi-high gnomon and shadow definer, which increased the accuracy considerably. This paper studies Guo Shoujing’s method of determining Winter Solstice and its accuracy by means of simulative measurement. Using the 8-chi-high gnomon at Beijing Ancient Observatory, we measured the noon shadow lengths for a period of 33 days around the winter solstice day of 2014. Applying Guo Shoujing’s method, we are able to determine the moment of Winter Solstice of 2014. Comparing our simulative result for 2014 with Guo Shoujing’s result of 1277—1279, we analyze the reason why Guo Shoujing could obtain high accuracy in his determination of Winter Solstice. We discover that, for calculation, Guo Shoujing had been very selective in using the original data of gnomon measurement in order to produce the desired results for theShoushili.

Gnomon shadow measurement, Guo Shoujing,Shoushili, Simulative measurement, Winter Solstice

2016- 05- 18；

2016- 08- 20

肖堯,1990年生,江蘇儀征人,中國(guó)科學(xué)院大學(xué)2016級(jí)科學(xué)技術(shù)史專業(yè)博士研究生,研究方向?yàn)樘煳膶W(xué)史；孫小淳,1964年生,江蘇溧陽(yáng)人,中國(guó)科學(xué)院大學(xué)教授,研究方向天文學(xué)史。

N092∶P1- 092

A

1673- 1441(2016)04- 0397- 16