●陳衛(wèi)英

(通州區(qū)興仁中學(xué)　江蘇南通　226371)

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抓本質(zhì)拓思路求透徹*

●陳衛(wèi)英

(通州區(qū)興仁中學(xué)江蘇南通226371)

對(duì)于幾何證明題，很多學(xué)生感到頭疼，特別是要添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題更是無(wú)從下手.文章結(jié)合教學(xué)實(shí)際中的一例說(shuō)明如何抓住問(wèn)題本質(zhì)，注重一題多解、一題多變的思考，不斷積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而生成問(wèn)題解決的通性通法.

問(wèn)題解決；本質(zhì)；思路；透徹；通法

對(duì)于幾何證明題，很多學(xué)生往往感覺(jué)比較頭疼，特別是要添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題更是無(wú)從下手.若能基于題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)、可能用到的思想方法有效整合，抓住問(wèn)題本質(zhì)，注重一題多解、一題多變的思考，力求“做一題，會(huì)一片”，徹底弄通搞透，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，自然會(huì)生成問(wèn)題解決的通性通法.下面僅以一例加以說(shuō)明，供參考.

1　證法展示

題目如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)MN∥AC，D為BC邊上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE，∠ABC=45°,求證：AD=DE.

圖1 圖2

證法1如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH⊥MN于點(diǎn)H.由∠BAC=90°，∠ABC=45°，MN∥AC，可知

∠ABC=∠NBC=45°，

根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知

DF=DH.

而由“等角的余角相等”又可知

∠DAF=∠DEH，

根據(jù)“AAS”得

△DAF≌△DEH，

從而

AD=DE.

證法2如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交MN于點(diǎn)F.同證法1可得

∠DAB=∠DEF，∠ABC=∠C=∠NBC=45°，

圖3

故

∠BFD=45°，BD=DF，

根據(jù)“AAS”或“ASA”得

△DAB≌△DEF，

從而

AD=DE.

證法3如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交AB于點(diǎn)F.易知∠DBF=45°，故

DB=DF，∠AFD=∠EBD=135°，

由“等角的余角相等”可知

∠DAF=∠DEB，

或由“同角的余角相等”可得

∠ADF=∠EDB，

根據(jù)“AAS”或“ASA”得

△DAF≌△DEB，

從而

AD=DE.

圖4　　　　　　　　　　　圖5

證法4如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交AF于點(diǎn)G. 可知△ABF,△DGF都是等腰直角三角形，因此

FB=FA,FD=FG，

故

AG=BD.由于DE⊥AD，AF⊥BC，根據(jù)“等角的余角相等”可知

∠DAG=∠EDB，

再由∠AGD=∠DBE=135°，可得

△DAG≌△EDB，

從而

AD=DE.

證法5如圖6，設(shè)AB,DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AD交MN于點(diǎn)G，在BN上取一點(diǎn)H使BH=BF，聯(lián)結(jié)DH.易知

∠FBD=∠HBD=45°，

由“SAS”得

△DBF≌△DBH，

從而

DF=DH，∠BFD=∠BHD.

由“等角的補(bǔ)角相等”可知

∠AFD=∠DHG，

而由“同角的余角相等”可得

∠AFD=∠DGH，

因此

∠DHG=∠DGH，

故

DH=DG=DF，

根據(jù)“ASA”得

△DAF≌△DEG，

從而

AD=DE.

圖6　　　　　　　　　　　　圖7

證法6如圖7，在BN上取點(diǎn)G使BG=BA，聯(lián)結(jié)DG.易知

∠ABD=∠GBD=45°,

由“SAS”得

△ABD≌△GBD，

從而

DA=DG，∠DAB=∠DGB.

由“等角的余角相等”可知

∠DAB=∠DEB，

從而

∠DEB=∠DGB，

得

DE=DG，

于是

AD=DE.

證法7如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DG.易知

∠ABF=∠GBF=45°，

BF垂直平分AG，故

DA=DG，

因此

∠DAF=∠DGF，

從而

∠DAB=∠DGB，

同證法6可得

AD=DE.

圖8　　　　　　　　　　　　圖9

證法8如圖9，取AE中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OB,OD，可知

OA=OE=OB=OD，

因此點(diǎn)A,D,B,E共圓,故

∠AED=∠ABC=45°,

從而

∠EAD=∠AED=45°，

于是

AD=DE.

證法9如圖10，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G. 由于DE⊥AD，AF⊥BC，根據(jù)“同角的余角相等”可知

∠DAF=∠EDG，

可得

△ADF∽△DEG，

從而

易知

AF=BF，BG=EG，BF=BD+DF，

從而

因此BD·EG+DF·EG=BD·DF+BG·DF.

又DF·EG=BG·DF,得

BD·EG=BD·DF，

從而

EG=DF，

即△ADF∽△DEG的相似比為1，故AD=DE.

圖10　　　　　　　　　　　　圖11

聯(lián)立方程組解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a+b,b)，因此

OE=DF=a，OD=AF=b，

由三角形全等或勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式都可證得AD=DE.

2　解題思考

2.1對(duì)于一題多解的思考

證法1～6都是構(gòu)造了全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；證法7構(gòu)造了等腰三角形，利用等角對(duì)等邊；證法8構(gòu)造了三角形的外接圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等；證法9構(gòu)造了“K型”這個(gè)基本圖形，利用相似三角形的性質(zhì);證法10則是建立了平面直角坐標(biāo)系，利用解析法解決問(wèn)題.從本質(zhì)上來(lái)講，可以說(shuō)除了證法6、證法7和軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)外,其余8種證法中都有旋轉(zhuǎn)的影子，如證法1可以看成是△ADF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEH，證法2可以看成是△DAB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，證法5可以看成是△BDE繞線(xiàn)段AE的中點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△GAD,等等.值得一提的是，此題多數(shù)學(xué)生初始的解題思路是構(gòu)造“K型”這個(gè)基本圖形，看似△ADF≌△DEG，但缺少“邊相等”這一關(guān)鍵條件，不得不半途而廢.這時(shí)比較熟悉的“K型”這一很多人認(rèn)可的“通法”似乎遇到了瓶頸，而事實(shí)上△ADF∽△DEG是很容易證明的，利用相似巧妙地由相似三角形邊之間的比得到EG=DF，從而相似比為1，即恰好是全等，AD和DE作為對(duì)應(yīng)邊自然相等了.

2.2對(duì)于一題多變的思考

變式1(變點(diǎn))其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)D在如圖12所示的位置時(shí)結(jié)論成立嗎？其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC或線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上(如圖13，圖14)時(shí)結(jié)論成立嗎？

圖12　　　　　　　　　　　　圖13

圖12中過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH⊥MN于點(diǎn)H，根據(jù)證法1可順利解決，類(lèi)似地也可根據(jù)以上其他多種證法完成，圖13、圖14也是如此.

圖14　　　　　　　　　　　　圖15

變式2(變角)如圖15，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，線(xiàn)段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD與DE的數(shù)量關(guān)系(用含α的三角函數(shù)表示)．

此時(shí)只是將全等變成了相似，而證法仍然類(lèi)似，有興趣的讀者可以一試．

當(dāng)然，還可以“變線(xiàn)”，如2014年黑龍江省齊齊哈爾市數(shù)學(xué)中考第26題就相當(dāng)于將此題中直線(xiàn)MN變成與BC平行的直線(xiàn)，方法還是類(lèi)似．

因此，無(wú)論哪種證法，無(wú)論題目如何改變，只要抓住其本質(zhì)，必會(huì)脈脈相通.

*收文日期：2016-03-02；2016-04-26

陳衛(wèi)英，(1976-)，女，江蘇通州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-12-3