陳卓
解二元一次方程組的技巧
陳卓
解方程(組)的能力是初中生計算能力的重要體現(xiàn)之一.不同的方程(組)都有通用的方法,而解二元一次方程組的關鍵在于消元,化“二元”為“一元”,將“陌生”的二元一次方程組轉化為熟悉的一元一次方程,從而求解.同學們在掌握代入消元、加減消元法的同時,還要注意觀察和分析方程組中各方程的結構特點,開拓新思路,采用一些特殊方法,簡捷求解,從而提高和培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力,下面舉例說明:
【分析】此題常規(guī)解法是先化簡再加減消元,雖能達到目的,但是比較麻煩,觀察發(fā)現(xiàn)方程①與方程②中有相同的代數(shù)式4x+6y,所以把方程②代入方程①中,從而解出x的值進而求出y的值,則快人一步!
【點評】解方程組時,有時可根據(jù)題目的特點整體代入,從而達到簡化運算的目的,當然不是所有的題目都能像本題一樣直接整體代入,有時須通過仔細觀察,抓住方程組的特點,先將它作一些處理,然后再整體代入.
【分析】若先去分母,再化簡求解,則十分麻煩,觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程中都含有、,分別將其看作一個整體,將方程①與方程②進行整體加減消元,則簡單明快.
【分析】對于這樣系數(shù)較大的方程組,采取常規(guī)的解法,煩瑣難算且易錯!觀察發(fā)現(xiàn)方程組的左邊未知數(shù)的系數(shù)為輪換對稱式,分別將兩個方程整體相加、減,可構造一個簡單方程組,從而簡化計算過程.
【分析】按常規(guī)方法是尋找系數(shù)x或y的最小公倍數(shù),再消元,運算量大,觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程的常數(shù)項相同,所以兩式相減消去常數(shù)項,再代入消元可獲巧解.
簡解:①-②得2x=3y……③,將③代入①,解得57y=1,解得y=,再將y=代入③,得x=.
例5某人買13塊橡皮、5支鉛筆、9根直尺共用12.8元,若買2塊橡皮、4支鉛筆、3根直尺共用4.7元,求買橡皮、鉛筆、直尺各一樣需多少元?
【分析】設橡皮、鉛筆、直尺的單價各為x、y、z元,根據(jù)題意只能列2個方程,不能求出x、y、z的值,將x+y+z看作一個整體,將每一個方程都構造含有x+y+z的式子,從而可整體求出.
③-④×4,即得x+y+z=2,故買橡皮、鉛筆、直尺各一樣需2元.
五、增設輔元法
【分析】所謂增設輔元法,就是在解題過程中,把含某個(或某些)字母的式子作為一個整體,用一新的字母表示,從而把一個較為復雜的式子化簡,把原題化為較簡單的基本問題,達到化難為易的目的.當方程組中出現(xiàn)“比”的形式或“連比”的形式,通常采用增設輔元法,以簡化運算.
所以4m+3m+4m=11,m=1,所以原方程
總之,在解二元一次方程組時,一定要分析題目的特點,靈活運用技巧,才能簡化解題過程,化繁為簡,提高正確率.
江蘇省南師附中江寧分校)