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        公式變形,巧解最值

        2016-09-05 09:59:19周婷婷
        初中生世界 2016年29期
        關(guān)鍵詞:變形金剛式子最值

        周婷婷

        公式變形,巧解最值

        周婷婷

        看過“變形金剛”系列電影的小朋友,一定羨慕電影里的變形金剛,變成機(jī)器人時(shí)可以打仗,打不過時(shí)還可以瞬間變成汽車逃跑.在《整式乘法》中,我們學(xué)習(xí)了兩數(shù)和、差的完全平方公式.這兩個(gè)公式的不僅可以正向、逆向應(yīng)用,還應(yīng)注意它們的一種變形,利用這種變形求解一些最值問題時(shí),干凈利落,值得一學(xué).

        一、完全平方公式的兩個(gè)變形

        完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2,

        把這兩個(gè)式子相加、相減,分別得到下面的結(jié)果:

        二、利用公式求最大值

        例1已知兩個(gè)自然數(shù)的和為8,求這兩個(gè)自然數(shù)a與b乘積的最大值.

        解:根據(jù)已知a+b=8,則由變式②得顯然,當(dāng)(a-b)2最小時(shí),ab的最大值為16,這時(shí)a=b=4.

        注意本題結(jié)果的幾何意義:周長一定的矩形,當(dāng)它是正方形時(shí),面積最大.

        三、利用公式求最小值

        例2已知x+y=4,求x2+y2的最小值.

        而(x-y)2≥0,∴x2+y2≥8,故當(dāng)且僅當(dāng)(x-y)2=0即x=y=2時(shí),x2+y2有最小值8.

        請您把例1和例2比較一下,看看有何異同?

        四、利用公式同時(shí)求最大值與最小值

        例4已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足條件x+y+z= 5,xy+yz+zx=3,求z的最大值和最小值.

        解:∵x+y+z=5,∴x+y=5-z,于是由xy+ yz+zx=3得12=4(xy+yz+zx)=4xy+4z(x+y),而由變式②可得,xy=[(x+y)2-(x-y)2],

        ∴代入上式得

        12=(x+y)2-(x-y)2+4z(x+y)

        =(5-z)2-(x-y)2+4z(5-z)

        ≤4z(5-z)+(5-z)2

        =-3z2+10z+25,

        ∵(Ⅱ)無解,

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