周婷婷

公式變形，巧解最值

周婷婷

看過(guò)“變形金剛”系列電影的小朋友，一定羨慕電影里的變形金剛，變成機(jī)器人時(shí)可以打仗，打不過(guò)時(shí)還可以瞬間變成汽車(chē)逃跑.在《整式乘法》中，我們學(xué)習(xí)了兩數(shù)和、差的完全平方公式.這兩個(gè)公式的不僅可以正向、逆向應(yīng)用，還應(yīng)注意它們的一種變形，利用這種變形求解一些最值問(wèn)題時(shí)，干凈利落，值得一學(xué).

一、完全平方公式的兩個(gè)變形

完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2，

把這兩個(gè)式子相加、相減，分別得到下面的結(jié)果：

二、利用公式求最大值

例1已知兩個(gè)自然數(shù)的和為8，求這兩個(gè)自然數(shù)a與b乘積的最大值.

解：根據(jù)已知a+b=8，則由變式②得顯然，當(dāng)（a-b）2最小時(shí)，ab的最大值為16，這時(shí)a=b=4.

注意本題結(jié)果的幾何意義：周長(zhǎng)一定的矩形，當(dāng)它是正方形時(shí)，面積最大.

三、利用公式求最小值

例2已知x+y=4，求x2+y2的最小值.

而（x-y）2≥0，∴x2+y2≥8，故當(dāng)且僅當(dāng)（x-y）2=0即x=y=2時(shí)，x2+y2有最小值8.

請(qǐng)您把例1和例2比較一下，看看有何異同？

四、利用公式同時(shí)求最大值與最小值

例4已知實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足條件x+y+z= 5，xy+yz+zx=3，求z的最大值和最小值.

解：∵x+y+z=5，∴x+y=5-z，于是由xy+ yz+zx=3得12=4（xy+yz+zx）=4xy+4z（x+y），而由變式②可得，xy=［（x+y）2-（x-y）2］，

∴代入上式得

12=（x+y）2-（x-y）2+4z（x+y）

=（5-z）2-（x-y）2+4z（5-z）

≤4z（5-z）+（5-z）2

=-3z2+10z+25，

∵（Ⅱ）無(wú)解，