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        千里之堤 毀于蟻穴
        ——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)該忽視的小錯(cuò)誤

        2016-09-05 09:59:10祁艷波
        初中生世界 2016年29期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)錯(cuò)角等量內(nèi)角

        祁艷波

        千里之堤毀于蟻穴
        ——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)該忽視的小錯(cuò)誤

        祁艷波

        同學(xué)們,我們知道數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,反過(guò)來(lái)又應(yīng)用于生活.初中數(shù)學(xué)主要包括代數(shù)和幾何兩部分,代數(shù)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是計(jì)算部分,而幾何的錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在說(shuō)理論證部分.對(duì)于幾何部分,不少學(xué)生反映:某某題目我會(huì)做,但是過(guò)程我不會(huì)寫,或者說(shuō)我寫了不知道對(duì)不對(duì).這些都充分反映了同學(xué)們對(duì)幾何部分理論的掌握情況.不少學(xué)生在做幾何說(shuō)理論證時(shí),把已知條件全部寫出來(lái),然后就得出結(jié)論,這種解答問(wèn)題的方式是不對(duì)的.那我們?cè)撊绾巫霾拍苓_(dá)到我們想要的結(jié)果呢?下面我們一起來(lái)看看在蘇科版七年級(jí)(下)第12章《證明》中容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤.

        1.對(duì)命題與非命題識(shí)別中的錯(cuò)誤

        例1給出下列語(yǔ)句:(1)三角形的外角和為360°;(2)好香的茉莉花呀?。?)在△ABC中,若AB=AC,那么△ABC是等腰三角形,你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎?(4)不許和陌生人說(shuō)話.其中是命題的有_________(填序號(hào)).

        【分析】命題表示判斷,不能既肯定又否定,因此命題一定是陳述句,不能是疑問(wèn)句、感嘆句或祈使句,也不能是畫圖語(yǔ)句或猜測(cè),題中只有(1)表示判斷,是命題.

        【錯(cuò)解】(1)(2)(3)(4)

        【正解】(1).

        2.命題改寫中的錯(cuò)誤

        例2將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式.

        對(duì)頂角相等.

        【分析】在改寫命題時(shí),不能簡(jiǎn)單地把條件部分、結(jié)論部分分別填在“如果”“那么”的后面,要適當(dāng)?shù)卦鰷p詞語(yǔ),在不改變意思的前提下,保證整體句子敘述的通暢.

        【錯(cuò)解】如果對(duì)頂角,那么相等.

        【正解】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么這兩個(gè)角相等.

        3.證明中推理不嚴(yán)密導(dǎo)致的錯(cuò)誤

        例3如圖1,已知AB∥CD,∠B=40°,∠D=40°,求證:BC∥DE.

        圖1

        【分析】證明中的推理過(guò)程不能“想當(dāng)然”,每一步推理都要有根據(jù).這些根據(jù),可以是已知條件,也可以是定義、定理或公理.推理過(guò)程要嚴(yán)密,不能跳步.

        【錯(cuò)解】因?yàn)椤螧=40°,∠D=40°(已知),

        所以∠B=∠D(等量代換),

        所以BC∥DE(同位角相等,兩直線平行).

        【正解】∵AB∥CD(已知),

        ∴∠B=∠C=40°(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

        ∵∠D=40°(已知),

        ∴∠C=∠D(等量代換).

        ∴BC∥DE(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

        4.要看清條件寫理由

        例4填寫推理依據(jù):

        如圖2,∵∠D=∠C,

        ∴DE∥BC(),

        ∴∠E=∠B().

        圖2

        【分析】由∠D=∠C,得到DE∥BC,應(yīng)填平行線的判定條件,即“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”.再由DE∥BC,得到∠E=∠B,應(yīng)填平行線的性質(zhì),即“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”.

        【錯(cuò)解】?jī)芍本€平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.

        【正解】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.

        【點(diǎn)評(píng)】由角的數(shù)量關(guān)系(相等或互補(bǔ))得到兩直線的位置關(guān)系(平行),根據(jù)的是平行線的判定方法;而由兩直線的位置關(guān)系(平行)得到角的數(shù)量關(guān)系(相等或互補(bǔ)),根據(jù)的是平行線的性質(zhì),填寫理由時(shí)不可混淆.

        5.要正確理解“等量代換”的含義

        例5下列推理:(1)∵∠1=∠2,∠2= ∠3,∴∠1=∠3;(2)∵a∥b,b∥c,∴a∥c;(3)∵∠1=∠2,∴∠1=∠2;(4)∵∠1+∠2=90°,∠2=∠3,∴∠1+∠3=90°.其中以“等量代換”為推理依據(jù)的有()

        A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

        【分析】“等量代換”的含義是相等的量可以相互代替,它考查的是量與量之間的數(shù)量關(guān)系.(2)中其實(shí)是平行的傳遞性,不是數(shù)量關(guān)系,而是位置關(guān)系.(3)是由等式的性質(zhì)得到的.(1)(4)是以等量代換為依據(jù)得到的.

        【錯(cuò)解】D.

        【正解】B.

        6.未掌握反例的概念,導(dǎo)致所舉反例不能說(shuō)明命題為假而產(chǎn)生的錯(cuò)誤

        例6判斷命題“如果ab>0,那么a>0”的真假,若是假命題,請(qǐng)舉出一個(gè)反例說(shuō)明.

        【分析】反例即為滿足命題條件,但不滿足命題結(jié)論的例子.不要誤認(rèn)為就是逆命題,而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

        【錯(cuò)解】如果a>0,那么ab>0.

        【正解】是假命題.例如a=-1,b=-1時(shí),ab=1>0,但a=-1<0.

        7.要看清原命題還是逆命題

        【分析】本小題是要找出逆命題是真命題的命題,要看清題中的要求.

        【錯(cuò)解】(2).

        【正解】(1)(3).

        8.證明中的循環(huán)論證問(wèn)題

        循環(huán)論證就是用來(lái)證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來(lái)證明的邏輯錯(cuò)誤.比如說(shuō):一個(gè)瘦子問(wèn)胖子:“你為什么長(zhǎng)得胖?”胖子回答:“因?yàn)槲页缘枚?”瘦子又問(wèn)胖子:“你為什么吃得多?”胖子回答:“因?yàn)槲议L(zhǎng)得胖.”通過(guò)這個(gè)例子我們能很容易理解什么是“循環(huán)論證”.

        例8如圖3△ABC,求證:∠A+∠B+ ∠C=180°.

        【錯(cuò)解1】延長(zhǎng)BC到D,

        ∵∠ACD是△ABC的外角,

        ∴∠ACD=∠A+∠B(三角形一外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和),

        ∵∠ACB+∠ACD=180°(補(bǔ)角的定義),

        ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).

        圖3

        【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中,這是學(xué)生提供的一種證明方法.這種方法看似很好,在添加輔助線時(shí)并不是很復(fù)雜,但是這位同學(xué)犯了典型的“循環(huán)論證”錯(cuò)誤.“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”,這個(gè)定理是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理證明的,這很明顯是個(gè)“循環(huán)論證”.

        【錯(cuò)解2】過(guò)A作AD⊥BC,

        (如圖4)∵AD⊥BC(已作),

        ∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定義),

        ∴∠BAD+∠B=90°,∠CAD+∠C=90°(直角三角形兩個(gè)銳角互余),

        ∴∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=180°(等式的性質(zhì)),

        即:∠BAC+∠B+∠C=180°.

        圖4

        【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中,這種方法也是學(xué)生提供的一種證明方法,但是在上一題的講解后,已經(jīng)有學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤了.

        【錯(cuò)解3】利用四邊形內(nèi)角和是360°,

        ∵四邊形的內(nèi)角和是360°,

        四邊形可以分成兩個(gè)三角形,

        ∴三角形內(nèi)角和是180°.

        【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中,在證明的時(shí)候?qū)W生利用了四邊形的內(nèi)角和為360°,有學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的,所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

        【正解】如圖5,作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB,

        圖5

        ∵CE∥AB(已作),

        ∴∠1=∠B(兩直線平行,同位角相等),

        ∠2=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

        ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義),

        ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).

        (作者單位:江蘇省連云港市海頭中心校)

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