趙由由，閆亞軍

（1.安徽新華學(xué)院，安徽合肥230088；2.安徽大學(xué)藝術(shù)與傳媒學(xué)院，安徽合肥230011）

空間解析幾何柱面的3D動(dòng)畫表現(xiàn)

趙由由1，閆亞軍2

（1.安徽新華學(xué)院，安徽合肥230088；2.安徽大學(xué)藝術(shù)與傳媒學(xué)院，安徽合肥230011）

空間解析幾何與3D動(dòng)畫是兩個(gè)完全不同的學(xué)科，對(duì)空間解析幾何圖形在3D動(dòng)畫中表現(xiàn)的研究，是一個(gè)新的嘗試.柱面母線移動(dòng)應(yīng)用3D動(dòng)畫常規(guī)技術(shù)不能以動(dòng)態(tài)化視覺圖形表現(xiàn)出來；3D動(dòng)畫沒有曲線方程，不能精確繪制雙曲線等準(zhǔn)曲線，進(jìn)而使這種柱面難以表現(xiàn).通過對(duì)兩個(gè)學(xué)科的比較分析，深度挖掘3D動(dòng)畫技術(shù)，采取3D動(dòng)畫模型庫中的模型直接創(chuàng)建柱面、手工繪制準(zhǔn)曲線、表達(dá)式表示準(zhǔn)曲線的柱面表現(xiàn)這三種方法，將柱面在3D動(dòng)畫中表現(xiàn)出來，使得空間解析幾何中的圖形變得真實(shí)、藝術(shù)和富有生命.

空間解析幾何；柱面；3D動(dòng)畫；表現(xiàn)

1　引言

空間解析幾何是用代數(shù)的方法解決空間幾何的問題，它建立在坐標(biāo)系下的數(shù)與形的相互結(jié)合上[1].柱面是由一條平行于某一定方向的動(dòng)態(tài)直線沿著空間一條定曲線移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面，其中動(dòng)直線為母線，定曲線為準(zhǔn)曲線，定方向?yàn)槟妇€方向.柱面在建筑、軍事、游戲等諸多領(lǐng)域有著較廣泛的應(yīng)用[2].

三維簡稱3D動(dòng)畫是隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的流行而興起的一門技術(shù)，它是用3D圖形的形式表現(xiàn)真實(shí)世界和虛擬世界，是在虛擬環(huán)境中用各種可視要素仿真現(xiàn)實(shí)對(duì)象和創(chuàng)建虛擬對(duì)象來影響人的視覺. 3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)是進(jìn)行3D動(dòng)畫制作的環(huán)境，它屬于計(jì)算機(jī)輔助工程設(shè)計(jì)范疇[3]，更多的表現(xiàn)為視覺藝術(shù)學(xué)科，該技術(shù)已應(yīng)用到眾多行業(yè).

空間解析幾何與3D動(dòng)畫是兩個(gè)完全不同的學(xué)科[4]，前者表現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，后者則更多的表現(xiàn)在視覺藝術(shù)方面，對(duì)空間解析幾何圖形在3D動(dòng)畫中表現(xiàn)的研究，在國內(nèi)外有少數(shù)人對(duì)“Matlab等現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件表現(xiàn)解析幾何圖形動(dòng)畫”[5]等進(jìn)行研究之外，使用3D動(dòng)畫這種藝術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)來表現(xiàn)空間解析幾何圖形的，目前還是一個(gè)新的嘗試；柱面母線移動(dòng)這種理論性視覺圖形，應(yīng)用3D動(dòng)畫常規(guī)技術(shù)不能將其以動(dòng)態(tài)化圖形視覺形式表現(xiàn)出來；3D動(dòng)畫沒有曲線方程，對(duì)于雙曲線等為準(zhǔn)曲線的一些柱面，不能繪制其按方程要求的準(zhǔn)曲線，進(jìn)而使這種柱面難以表現(xiàn).“空間解析幾何柱面的3D動(dòng)畫表現(xiàn)”，以柱面作為空間解析幾何的圖形，對(duì)這兩個(gè)學(xué)科進(jìn)行比較分析，找出它們的代數(shù)與幾何特點(diǎn)，深度挖掘3D動(dòng)畫技術(shù)，將柱面在3D動(dòng)畫中表現(xiàn)出來，實(shí)現(xiàn)空間解析幾何的圖形具有了3D動(dòng)畫的視覺藝術(shù)效果[6].

2　空間解析幾何與3D動(dòng)畫之間的比較分析

空間解析幾何主要解決的是根據(jù)空間圖形歸納出該圖形的代數(shù)方程，或者根據(jù)代數(shù)方程描繪出空間圖形，它是解決代數(shù)表示圖形以及圖形歸納代數(shù)這種雙向數(shù)學(xué)問題的學(xué)科.這里的空間圖形一般要滿足一定的規(guī)律與條件，繪制的圖形不生動(dòng)，不精細(xì)，而代數(shù)又以相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系作為支持，其中直角坐標(biāo)系是最常用的坐標(biāo)系.例如，柱面是平行母線方向的母線沿著準(zhǔn)曲線運(yùn)動(dòng)所形成的曲面，這里的母線方向、準(zhǔn)曲線是有規(guī)律條件的，不同的規(guī)律條件帶來柱面圖形、方程的差異.如將母線方向定為Z軸方向，準(zhǔn)曲線方程為，那么得到的柱面是橢圓柱面，其柱面方程為而將準(zhǔn)曲線方程改為=1，z=0或y2=2px，z=0，則得到雙曲柱面或拋物柱面，它的柱面方程就要改寫為=1和y2=2px了.如果給定柱面方程，我們就可以在直角坐標(biāo)系下繪制相應(yīng)柱面的圖形[7].

在3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，能夠設(shè)計(jì)出各種形式的立體幾何體造型，稱其為模型，模型的產(chǎn)生需要通過建模技術(shù).模型大多以實(shí)體顯示，圖形精細(xì)而真實(shí)，如長方體、球體等，在這些模型中很多沒有什么規(guī)律可循，也不能用代數(shù)來描述規(guī)律.在模型的代數(shù)表示上，3D動(dòng)畫有多種坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系主要用來確定整個(gè)模型的位置、比例、方向以及模型其它屬性值等，當(dāng)模型進(jìn)行精確顯示時(shí)，一般使用坐標(biāo)的具體參數(shù)值，如長方體的長、寬、高值，而變量，常規(guī)情況下沒有人使用，對(duì)于空間解析幾何含未知量的代數(shù)方程，3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)中根本就沒有.要對(duì)具有一定規(guī)律屬性的模型，需要對(duì)3D動(dòng)畫技術(shù)進(jìn)行深度挖掘，采取程序表達(dá)式方式進(jìn)行描述.3D動(dòng)畫中的代數(shù)反映模型，其代數(shù)都是定量.如直線，在代數(shù)幾何上是無限長、無粗細(xì)的，但在3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，它是有長度和粗細(xì)的，再如直線的移動(dòng)形成的曲面，在幾何中，兩相鄰線為無厚度密不可分的，而在3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，線的移動(dòng)造成兩相鄰線之間有一定的距離.3D動(dòng)畫除了空間幾何圖形之外，還有燈光、色彩、時(shí)間等賦予幾何圖形之上的各種屬性，并利用鏡頭視角顯示它們，正因?yàn)檫@種圖形上的各種屬性和視角，使得空間幾何圖形在視覺表現(xiàn)上具有了生命.

由此，空間解析幾何與3D動(dòng)畫具有許多相同之處，它們都具有繪制圖形的功能，都能反映空間幾何的造型，都建立在坐標(biāo)系下，能用代數(shù)表現(xiàn)幾何圖形.空間解析幾何主要解決的是如何用方程表示圖形和如何用代數(shù)描繪圖形，但對(duì)圖形僅用幾條線勾畫甚或不進(jìn)行繪制.而3D動(dòng)畫的圖形繪制即建模，以真實(shí)實(shí)體的形式顯示出來，再對(duì)模型施加多種視覺元素，使得圖形很生動(dòng).在代數(shù)表示方面，3D動(dòng)畫的坐標(biāo)系與空間解析幾何是兩個(gè)完全不同的概念，3D動(dòng)畫是沒有方程式的，只能用定量值，但存在表達(dá)式、腳本語言等高深代數(shù)技術(shù).

3　柱面在3D動(dòng)畫中的表現(xiàn)

從柱面的靜態(tài)與直線移動(dòng)這兩種圖形特征著手分析，柱面在3D動(dòng)畫中的表現(xiàn)，實(shí)際上是對(duì)柱面的圖形特征進(jìn)行直觀與藝術(shù)化顯示，即柱面的直接靜態(tài)實(shí)體顯示和以一條線移動(dòng)逐漸形成柱面的過程顯示.為了提高其藝術(shù)觀賞性，一般還對(duì)柱面顯示添加材質(zhì)特效等視覺元素.

由于3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)系統(tǒng)具有對(duì)空間對(duì)象進(jìn)行鏡頭視角調(diào)節(jié)功能，柱面的準(zhǔn)曲線可以直接放在世界坐標(biāo)系的XY平面即地平面上，母線使用平行Z軸即垂直地平面的圓柱體，其高度與底面半徑的比例設(shè)置大些.如果柱面是非直柱面，則對(duì)圓柱體按母線方向進(jìn)行傾斜等操作.柱面在3D動(dòng)畫中的表現(xiàn)，可采取模型庫中的模型編輯創(chuàng)建、手工繪制準(zhǔn)曲線、表達(dá)式表示準(zhǔn)曲線三種方法進(jìn)行研究，進(jìn)而完成的所有柱面的表現(xiàn).

3.1模型庫中的模型直接創(chuàng)建柱面的表現(xiàn)

這種柱面的顯示，實(shí)際上就是立體幾何體，例如直圓柱面，從模型庫選中圓柱體模型直接創(chuàng)建即可得到.對(duì)于準(zhǔn)曲線圓的半徑值，在模型圓柱體中通過半徑參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié).如果母線方向與準(zhǔn)曲線面成某夾角，那么，可以對(duì)模型圓柱體施加傾斜等編輯命令.如圖1所示，是3D動(dòng)畫中的圓柱面.

圖1　模型圓柱面

模型庫模型顯示，對(duì)圓、橢圓、長方形等準(zhǔn)曲線，能按準(zhǔn)曲線方程直接制作出柱面，對(duì)一些如雙曲線、拋物線等作為準(zhǔn)曲線在模型庫中沒有的柱面，可以依照視覺進(jìn)行手工制作出柱面，但不能嚴(yán)格按照準(zhǔn)曲線方程進(jìn)行柱面制作.

3.2手工繪制準(zhǔn)曲線的柱面表現(xiàn)

這種準(zhǔn)曲線很多情況下無規(guī)律性可言，完全依據(jù)個(gè)人的設(shè)計(jì)理念，它們都具備一定造型與應(yīng)用價(jià)值，如今有很多建筑裝飾中用這種設(shè)計(jì)方法.例如，以3dsmax作為3D動(dòng)畫設(shè)計(jì)環(huán)境，在頂視圖手工繪制二維圖形“心型”，取名“xinxing”作為準(zhǔn)曲線.這時(shí)柱面的表現(xiàn)可以采取如下方法：

方法一，對(duì)“xinxing”附加建模工具制作出柱面，如在“xinxing”上使用Extrude或loft工具即可得到柱面；

方法二，應(yīng)用母線在準(zhǔn)曲線“心型”上的移動(dòng)形成靜態(tài)柱面.(1)在頂視圖創(chuàng)建圓柱體，名為“zhixian”，半徑0.5，高為300，高分段數(shù)改為1；(2)并將“zhixian”約束到“xinxing”上實(shí)現(xiàn)沿路徑移動(dòng)動(dòng)畫；(3)執(zhí)行快照復(fù)制若干“zhixian”到“xinxing”上形成非動(dòng)畫柱面.

上述柱面的顯示都是靜態(tài)圖形，如果要進(jìn)行母線在準(zhǔn)曲線“心型”上移動(dòng)而逐漸形成柱面這種動(dòng)態(tài)視覺表現(xiàn)，常規(guī)方法做不出來的.但可以使用方法三.

方法三，采取方法二中的(1)、(2)步驟，(3)編寫并運(yùn)行MaxScript程序：克隆運(yùn)動(dòng)的“zhixian”若干個(gè)（200），對(duì)克隆的直線分別在不同時(shí)刻i處增加關(guān)鍵幀，并將它們已有的末關(guān)鍵幀（100）刪除，其語句：

for i=1 to 100 by 0.5 do(xzhixian=copy$zhixian; select xzhixian;at time i(addnewkey xzhixian.Position. Controlleri;selectkeysxzhixian.position.Controller 100;deletekeys xzhixian.Position.Controller#selection))

如果母線方向與準(zhǔn)曲線面成一定角度，當(dāng)“zhixian”創(chuàng)建完成后，對(duì)其進(jìn)行角度調(diào)整，然后使用上述方法即可.如圖2所示，是手繪準(zhǔn)曲線“心型”多種方法的柱面表現(xiàn).

圖2　手繪準(zhǔn)曲線“心型”的柱面

3.3準(zhǔn)曲線為表達(dá)式的柱面表現(xiàn)

三準(zhǔn)動(dòng)畫是沒有代數(shù)方程的，而柱面準(zhǔn)曲線的規(guī)律性一般以方程式來體現(xiàn)，對(duì)于這種柱面，可以先對(duì)準(zhǔn)曲線方程進(jìn)行改造，將方程轉(zhuǎn)換成以時(shí)間為變量的表達(dá)式，再使用非常規(guī)方法實(shí)現(xiàn)柱面的顯示.例如準(zhǔn)曲線是XY平面上雙曲線（a=4，b=3），繪制該雙曲柱面.首先將方程=1修改成表達(dá)式x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4，z=0，然后采取下列方法：

方法一：(1)在頂視圖創(chuàng)建圓柱體“zhixian”，radio:1，height:50作為母線，并復(fù)制三個(gè)共四條直線，其名分別為“zhixian01”、“zhixian02”、“zhixian03”，前兩個(gè)移至雙曲線頂點(diǎn)[4，0，0]點(diǎn)，后兩個(gè)移到[－4，0，0]；(2)對(duì)四條直線的位置分別設(shè)置表達(dá)式控制器，其表達(dá)式分別為[x,y,0]、[x,-y,0]、[-x,y,0]、[-x,-y, 0]其中x=4+0.002*T，y=3*sqrt(x*x-16)/4；(3)再對(duì)該四直線執(zhí)行快照復(fù)制，即得到靜態(tài)的雙曲柱面.

方法二，表現(xiàn)直母線移動(dòng)效果的動(dòng)態(tài)雙曲柱面.在MaxScript下編寫并運(yùn)行程序：

animate on;for i in 0 to 100 do(xx=4+0. 2*I;yy=3*sqrt(xx*xx-16)/4;zxys=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,yy,0];zxyx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[xx,-yy,0];zxzs=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,yy,0];zxzx=cylinder height:40 radius:0.5 pos:[-xx,-yy,0];if i1then(attime (i-1)(zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);

at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on; zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on));else(at time 0 (zxys.visibility=off;zxyx.visibility=off;zxzs.visibility=off;zxzx.visibility=off);at time i(zxys.visibility=on;zxyx.visibility=on;zxzs.visibility=on;zxzx.visibility=on)))

圖3　表達(dá)式形式的雙曲柱面

4　總結(jié)

通過實(shí)現(xiàn)3D動(dòng)畫模型庫模型柱面的表現(xiàn)、手繪準(zhǔn)曲線柱面的表現(xiàn)、準(zhǔn)曲線方程轉(zhuǎn)換成表達(dá)式柱面的表現(xiàn)，各種柱面在3D動(dòng)畫中不僅能以靜態(tài)圖形顯示出來，還能將理論性柱面母線移動(dòng)圖形以動(dòng)態(tài)化圖形視覺形式表現(xiàn)出來，如果再對(duì)這些圖形附加上材質(zhì)等視覺元素，使得空間解析幾何中的簡單靜態(tài)圖形變得真實(shí)精細(xì)而生動(dòng)，使得空間解析幾何這種數(shù)學(xué)理論具有了藝術(shù)生命.

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1673-260X（2016）03-0044-03

2015-12-28