朱海祥

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基于IFS法的分形圖形生成及優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱海祥[1]

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 教育與人文學(xué)院，江蘇 蘇州 215104）

分形圖形具有自相似性、自仿射性和無標(biāo)度性等特性，以系列壓縮仿射變換為基礎(chǔ)，輔以不同的初始函數(shù)、變量、顏色、漸變條、Xaos和三角變換等．利用IFS方法可以模擬生成許多數(shù)學(xué)分形和自然分形，在絲綢印染、藝術(shù)創(chuàng)作、廣告設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．

IFS；分形圖形；仿射變換

分形幾何研究的對(duì)象是一類不規(guī)則的、具有自相似性的幾何形體．自然界中自相似性現(xiàn)象是普遍存在的，分形幾何作為描述自然界的幾何語言，具有傳統(tǒng)歐氏幾何無法比擬的優(yōu)勢(shì)，更加趨近于客觀事物的真實(shí)屬性和復(fù)雜性態(tài)，發(fā)現(xiàn)復(fù)雜無序?qū)ο笾械囊?guī)律性，同時(shí)又與人工繪圖有較大的差異．能夠更加逼真地任意描述圖形的精細(xì)結(jié)構(gòu)，在藝術(shù)、廣告、壁紙、服裝和信息等方面有著廣泛的應(yīng)用．

分形是研究自然界復(fù)雜現(xiàn)象的一種全新思想方法．很多在歐氏空間中無法描述的現(xiàn)象，用分形理論可以得到很好的解釋[1]．分形在通常的幾何變換下具有標(biāo)度不變性，即圖形局部放大或縮小時(shí)滿足自相似性，該特性決定了分形無法用傳統(tǒng)的一維、二維、三維整數(shù)維度來刻畫．通過分形結(jié)構(gòu)分析，對(duì)復(fù)雜不規(guī)則形態(tài)提供了一種數(shù)學(xué)框，從而得以定量描述．而分形結(jié)構(gòu)分析中最具重要性的特征參數(shù)是分形維數(shù)（簡(jiǎn)稱分維）[2]．如著名的Koch曲線，用一維的長(zhǎng)度來描述是無窮大，用二維的面積來描述是0，分?jǐn)?shù)維度是1.26，介于一維和二維之間；Menger海綿用二維的面積來描述是無窮大，用三維的面積來描述是0，而實(shí)際分?jǐn)?shù)維度是2.73，介于二維和三維之間．這種自相似性都可以用圖形或函數(shù)的迭代、遞歸過程來描述，如仿射變換和復(fù)函數(shù)迭代生成法，本文主要研究基于仿射變換的分形IFS生成方法．

1分形圖形中的仿射變換

仿射變換是一種二維坐標(biāo)到二維坐標(biāo)之間的線性變換，除了滿足對(duì)于任意，，，有，條件外，變換前后須滿足，其中：，，，，，為實(shí)系數(shù)；，為未知數(shù)．復(fù)雜的仿射變換可以通過旋轉(zhuǎn)、傾斜、平移和縮放等基本子變換復(fù)合而成，圖形經(jīng)過仿射變換后，仍保持二維圖形的“平直線”和“平行性”．常見的數(shù)學(xué)經(jīng)典分形和自然分形都具有自仿射性，對(duì)于簡(jiǎn)單分形而言，通過收縮的仿射變換，即壓縮映射，可以反復(fù)生成該圖形的縮小版復(fù)制品；對(duì)于復(fù)雜的自然圖形而言，一般需要若干個(gè)仿射變換共同作用于初始圖形才能生成縮小版復(fù)制品．每個(gè)子圖都是整體圖形的一個(gè)仿射變換，因此，一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)實(shí)際上是一組仿射變換的集合[3]．

迭代函數(shù)系統(tǒng)（iterated function system，IFS）生成法認(rèn)為，幾何對(duì)象的整體和局部在仿射變換的意義下具有自相似結(jié)構(gòu)．因此，可以通過定義對(duì)象的整體并選定若干仿射變換，將整體形態(tài)變換到局部，通過反復(fù)迭代過程直至得到滿意的圖形[4]．

2基本分形圖形的IFS生成

基本的分形圖形有Cantor集、Box分形、Koch曲線、Peano曲線、謝爾賓斯基三角墊和Menger海綿等．

以常見的分形圖——謝爾賓斯基三角墊為例，通過仿射變換分析其IFS的生成過程及原理，并以此為基礎(chǔ)，引入計(jì)算機(jī)分形圖形的IFS生成規(guī)則．

2.1分形圖形中的仿射變換

2.2分形圖形的計(jì)算機(jī)生成原理

Apophysis分形軟件繪制各種分形圖形的步驟為：（1）隨機(jī)選擇一個(gè)位置后，隨機(jī)選擇一個(gè)變換作用在該位置上，生成一個(gè)新的位置；（2）再隨機(jī)選擇一個(gè)變換作用在新的位置上，重復(fù)若干次后，得到第1個(gè)點(diǎn)；（3）隨機(jī)選擇一個(gè)變換作用在第1個(gè)點(diǎn)上，反復(fù)進(jìn)行，可生成一個(gè)點(diǎn)序列，最后再回到（1）重復(fù)這個(gè)過程，即可根據(jù)所選擇的仿射變換生成對(duì)應(yīng)的分形圖形．要注意的是初始仿射變換的個(gè)數(shù)必須大于或等于2，同時(shí)可利用非線性函數(shù)等內(nèi)置算法作用于已生成的圖形，以期得到更絢麗的分形圖形．

2.3分形圖形的IFS碼

相對(duì)于謝爾賓斯基三角墊來說，可以利用Apophysis來生成更復(fù)雜的分形圖形，當(dāng)然也需要選擇更多更復(fù)雜的仿射變換．為了直觀清楚地認(rèn)識(shí)這些壓縮性的仿射變換，可根據(jù)各個(gè)變換的系數(shù)和概率值，生成該分形圖形的IFS碼．以Box分形為例，圖2a中Box分形由13個(gè)壓縮仿射變換生成，相應(yīng)壓縮變換見圖2b．

a　5×5型Box分形 b　變換示意圖

通過分析Box分形中包含的13個(gè)仿射變換，可以生成該分形的IFS碼（見表2）．其它分形也可以通過類似的方法生成對(duì)應(yīng)的IFS碼．

表2　55型Box分形的IFS碼

表2　55型Box分形的IFS碼

變換系數(shù)概率變換系數(shù)概率 abcdefabcdef 10.2000.2000.07780.2000.20.80.40.077 20.2000.20.400.07790.2000.20.20.60.077 30.2000.20.800.077100.2000.20.60.60.077 40.2000.20.20.20.077110.2000.200.80.077 50.2000.20.60.20.077120.2000.20.40.80.077 60.2000.200.40.077130.2000.20.80.80.077 70.2000.20.40.40.077

同樣也可改變仿射變換的個(gè)數(shù)和系數(shù)，生成各種變形的Box分形，創(chuàng)造出更漂亮的圖形．

2.4常見自然分形圖形的生成方法

除了經(jīng)典的數(shù)學(xué)分形外，利用Apophysis軟件還可以生成樹葉、花草和山脈等自然分形．要生成這些圖形，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)與之對(duì)應(yīng)的幾個(gè)壓縮仿射變換，即目標(biāo)圖形可分解為若干部分，而每部分通過一個(gè)仿射映射（即沿各個(gè)方向的放大率不同）與整體重合[5]．應(yīng)用IFS系統(tǒng)的吸引子模擬自然景物，生成的圖像形態(tài)特征是由壓縮映射族和伴隨概率集共同決定的[6]．以圖3a中生成的蕨葉為例，分析其生成過程中所需要的各種仿射變換，整個(gè)蕨葉可以看成由左下角的小葉子、右下角的小葉子、中間的葉莖和其它的葉片4部分組成．由于蕨葉都是具有自相似、自仿射的圖形，因此4部分可分別通過對(duì)蕨葉進(jìn)行壓縮仿射變換而得到．在Apophysis中用變換三角形表示仿射變換（見圖3b），圖3b中上面的變換是將整體稍微縮小后順時(shí)針偏移小的角度（記為變換1）；左下角的變換是將整體縮小并逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)左右（記為變換2）；右下角的變換是將整體縮小后垂直翻轉(zhuǎn)并逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)左右（記為變換3）；下面的變換是將整體方向上縮短，方向上收縮為一點(diǎn)（記為變換4）．這樣經(jīng)過反復(fù)的隨機(jī)迭代后，即可生成圖3a中對(duì)應(yīng)的蕨葉．在實(shí)際創(chuàng)作過程中，一般要對(duì)初步生成的分形圖形進(jìn)行位置、大小和旋轉(zhuǎn)上的微調(diào)，以期生成更漂亮而逼真的圖形．最終分形蕨葉對(duì)應(yīng)的４個(gè)仿射變換的IFS碼見表3，這里要特別注意的是最后一列概率值，與表２中各個(gè)變換等概率值不同，由于4個(gè)仿射變換的三角形面積不一樣，上面的變換最大，需要出現(xiàn)的次數(shù)更多，下面的變換最小，需要出現(xiàn)的次數(shù)較少，因此需進(jìn)一步調(diào)整Weight值，改變選擇各個(gè)變換概率的大小，這樣才能生成比較完整的分形，否則會(huì)出現(xiàn)太過稀疏的分形蕨葉．對(duì)于一般的圖形，通過合理地選擇仿射變換系數(shù)，也能取得較好的模擬效果，但仿射變換系數(shù)的選擇仍然是一個(gè)值得探討的問題[7]．

表3 分形蕨葉的IFS碼

3自然分形圖形的優(yōu)化設(shè)計(jì)

利用IFS可以模擬生成許多自然分形，其中最關(guān)鍵的是確定仿射變換的系數(shù)或IFS碼．為了設(shè)計(jì)出更具藝術(shù)效果的分形圖形，除了利用Apophysis仿射變換功能外，還可以選擇非線性函數(shù)、對(duì)數(shù)密度顯示與結(jié)構(gòu)著色等Apophysis中內(nèi)置的算法．在通曉這些功能的數(shù)學(xué)理論背景后，可以進(jìn)行更廣泛的藝術(shù)創(chuàng)作，這樣設(shè)計(jì)出的分形圖形更具實(shí)用價(jià)值．

以分形花為例（見圖4），分析其形成過程中的各項(xiàng)功能選擇和設(shè)置．圖4中的分形花共包含4個(gè)變換三角形，每個(gè)變換三角形由不同的初始函數(shù)、仿射變換和顏色漸變等共同作用，結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于分形花的不同部分．變換三角形對(duì)應(yīng)于花瓣；變換三角形對(duì)應(yīng)于花叢；變換三角形對(duì)應(yīng)于花蕾；變換三角形也對(duì)應(yīng)于花叢．初始函數(shù)包括pre_blue，julian，separation，bubble等，其中bubble函數(shù)為

同時(shí)通過三角變換的反復(fù)作用，形成該分形花的IFS碼（見表4）．

表4　分形花的IFS碼

IFS方法程序編寫簡(jiǎn)單，但I(xiàn)FS碼的取得比較復(fù)雜．該方法不僅可用于分形植物的繪圖，而且還可以用于圖像壓縮領(lǐng)域[8]．

4結(jié)語

分形圖形具有自相似性和自仿射性等性質(zhì)，以壓縮仿射變換組為基礎(chǔ)，輔以不同的初始函數(shù)及其變量、顏色漸變條和三角變換等．利用IFS方法可以模擬生成許多數(shù)學(xué)分形和自然分形，這時(shí)生成的分形圖形往往比較單調(diào)，需要數(shù)學(xué)和藝術(shù)上的進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化，才能形成絢麗的分形圖形，并能在絲綢印染、廣告設(shè)計(jì)和藝術(shù)創(chuàng)作上得到廣泛的應(yīng)用．

[1] 孫洪泉．分形幾何及其分形插值研究[J]．河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002（1）：56-60

[2] 王東升，湯鴻霄，欒兆坤．分形理論及其研究方法[J]．環(huán)境科學(xué)學(xué)報(bào)，2001（S1）：10-16

[3] 潘陸益．IFS分形圖擬仿射變換模型及其實(shí)現(xiàn)[J]．計(jì)算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用，2008（1）：83-86

[4] 朱華，姬翠翠．分形理論及其應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2011：101

[5] 文志英，井竹君．分形幾何和分維數(shù)簡(jiǎn)介[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995（4）：20-29

[6] 章立亮．迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS隨機(jī)分形的生成方法[J]．計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2008（15）：3947-3950

[7] 翟俊海，劉振鵬．基于IFS的圖形模擬方法[J]．河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004（1）：87-90

[8] 趙慧蘭．基于分形幾何學(xué)的植物圖像計(jì)算機(jī)模擬[J]．浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007（3）：299-302

Based on IFS method of fractal pattern generation and optimization design

ZHU Hai-xiang

（School of Education and HumanitiesSuzhou Vocational University，Suzhou 215104，China）

Fractal graphics has self-similarity，self-affine and scale-free feature．Based on a series of compressed affine transformation，and complementary with different initial functions，variables，change colors，edit the gradient and Xaos，triangle，etc，by the IFS method，simulate many mathematical fractal and fractal nature．In the silk printing，art making and advertising design，and other fields，it has been widely used．

IFS；fractal graphics；affine transformation

O189.3

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.007

2016-01-07

江蘇省絲綢織繡產(chǎn)品功能檢測(cè)試驗(yàn)基地建設(shè)項(xiàng)目——分形圖形的IFS生成法及其在絲綢紋樣上的應(yīng)用；蘇州市職業(yè)大學(xué)青年基金項(xiàng)目（2014SZDQ02）——基于J集和M集的分形圖形生成及其在絲綢紋樣上的應(yīng)用

朱海祥（1981-），男，江蘇海安人，講師，碩士，從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)應(yīng)用研究．E-mail：895887941@qq.com

1007-9831（2016）04-0028-04