劉世興　邢　燕　劉　暢　郭永新

1. 遼寧大學(xué)物理學(xué)院， 沈陽(yáng) 110036； 2. 遼東學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

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對(duì)稱約化對(duì)完整系統(tǒng)數(shù)值積分的影響

劉世興1邢燕1劉暢1郭永新2，?

1. 遼寧大學(xué)物理學(xué)院， 沈陽(yáng) 110036； 2. 遼東學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

研究對(duì)稱約化對(duì)完整系統(tǒng)數(shù)值積分的影響。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)， 對(duì)稱約化對(duì)完整系統(tǒng)的數(shù)值積分結(jié)果沒(méi)有本質(zhì)的影響， 但是在約化后的系統(tǒng)下進(jìn)行數(shù)值積分可以有效地減少程序編寫的難度和計(jì)算時(shí)間。對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)， 可以先對(duì)其進(jìn)行對(duì)稱約化， 以獲得較少自由度的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)， 然后在約化系統(tǒng)下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算， 間接地研究原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

完整系統(tǒng)； 對(duì)稱約化； 數(shù)值積分

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）doi: 10.13209/j.0479-8023.2016.077

自20世紀(jì)末期， 對(duì)稱約化理論提出以來(lái)， 一直是幾何動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的熱門課題之一， 并廣泛應(yīng)用于力學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域， 如固體力學(xué)、流體力學(xué)、場(chǎng)論、量子力學(xué)和廣義相對(duì)論等［1］。對(duì)稱約化的主要目的是利用系統(tǒng)的對(duì)稱性消除動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的部分局部坐標(biāo)變量， 從而簡(jiǎn)化實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。對(duì)稱約化的思想最早源于 Routh［2］于 1884 年利用循環(huán)坐標(biāo)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行化簡(jiǎn)， 這種化簡(jiǎn)理論對(duì)應(yīng)于現(xiàn)代的 Lagrange 約化理論。現(xiàn)代約化理論始于 20 世紀(jì)六七十年代 Arnold［3-4］和Smale［5］的重要工作， Arnold開(kāi)展了Lie群約化方法，Smale 引入動(dòng)量映射概念。Marsden 等［6］在前人工作的基礎(chǔ)上， 利用等變動(dòng)量映射開(kāi)展辛流形上的約化理論， 使現(xiàn)代約化理論走向成熟， 并得到廣泛應(yīng)用［7-8］。目前， 完整約束力學(xué)系統(tǒng)的幾何動(dòng)力學(xué)約化理論已經(jīng)非常成熟， 大體上包括: 辛約化［9］、Poission 約化［1］和 Lagrange 約化［1，10］。對(duì)稱性約化理論在研究約束系統(tǒng)幾何動(dòng)力學(xué)及應(yīng)用以及約束系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法中發(fā)揮著非常重要的作用， 為研究約束系統(tǒng)幾何數(shù)值積分的幾何不變性質(zhì)提供了新的途徑。但是， 在現(xiàn)有的少量研究工作中， 對(duì)稱約化理論在約束力學(xué)系統(tǒng)幾何數(shù)值積分的研究中， 還沒(méi)有發(fā)揮其應(yīng)有的作用。較復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)對(duì)稱約化得到一個(gè)簡(jiǎn)單的新的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)， 系統(tǒng)方程的性質(zhì)發(fā)生了變化， 變量所代表的物理含義有時(shí)也發(fā)生改變， 那么約化系統(tǒng)與原系統(tǒng)的內(nèi)部聯(lián)系， 特別是一些重要的性質(zhì)是否能夠很好地得以保留， 對(duì)原系統(tǒng)和約化后的系統(tǒng)分別做數(shù)值積分， 對(duì)稱約化對(duì)數(shù)值積分的結(jié)果是否會(huì)受到影響？ 本文就這一問(wèn)題展開(kāi)探討， 通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)稱約化對(duì)數(shù)值積分的影響。首先， 簡(jiǎn)要介紹完整約束系統(tǒng)的辛約化理論； 然后， 簡(jiǎn)要介紹完整約束系統(tǒng)的數(shù)值積分方法， 并應(yīng)用數(shù)值積分方法計(jì)算約化前和約化后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程， 比較約化前后動(dòng)力學(xué)變量的數(shù)值結(jié)果； 最后得出結(jié)論。

1　完整約束系統(tǒng)的辛約化

完整約束力學(xué)系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 形式。定義 Hamilton 系統(tǒng)為這里是辛流形， Ω是辛 2-次型， H是定義在流形M上的Hamilton函數(shù)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示成如下形式:

這里#dH表示 Hamilton 矢量場(chǎng)。辛流形在 Lie 群G的作用下， 可以表示為或者，對(duì)任意的gG∈和xM∈， 映射φ可以局域的表示為

如果對(duì)于任意一個(gè)gG∈， Lie群G在辛流形（，）MΩ上的作用φ滿足如下等式:

則該作用gφ是辛的。

定義（辛約化）辛流形（，）MΩ的辛約化是M的子流形（或侵入子流形）N到辛流形的侵沒(méi)滿射: :πNP→， 滿足如下方程:

辛約化滿足 Marseden-Weinstein-Meyer 辛約化定理［2，6］。取點(diǎn)，xMμ*∈∈G是辛流形M和 Lie 代數(shù)上*

G的點(diǎn)， 其在對(duì)稱性Lie群G作用φ下的軌跡分別為Gx·和μO， 它們對(duì)應(yīng)的迷向群分別為xG和Gμ， 對(duì)應(yīng)的 Lie 代數(shù)分別為xG和μG， 則可以得到如下的辛約化定理。

定理設(shè)Lie群G作用在辛流形（，）MΩ上， 并且該作用有一個(gè)等變動(dòng)量映射

如果存在正則值

且存在伴隨余迷向子群

則Gμ自由而正常的作用于

上； 如果存在內(nèi)映射

和正則投影映射

則一定存在具有辛結(jié)構(gòu)?μΩ的商流形

滿足

并且存在一個(gè)侵入映射φ使得

是/MG的一個(gè)子流形。這里/MG由自然投影映射

確定。定理證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［2，6］。

2　完整約束系統(tǒng)的辛幾何算法

完整約束系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 正則方程（1）的形式， 如取 Hamilton 函數(shù)H為2n個(gè)變量（p1， …， pn； q1， …， qn）的可微函數(shù)， 并令

則方程（1）可以表示成如下坐標(biāo)形式:

這里τ是時(shí)間步長(zhǎng)， 還可以在此基礎(chǔ)上構(gòu)造具有更高精度的差分格式， 如4階辛差分格式［12］。

3　數(shù)值算例和結(jié)論

眾所周知， 平面 Kepler 問(wèn)題是典型的二體問(wèn)題， 且滿足機(jī)械能守恒和角動(dòng)量守恒。令為該二體問(wèn)題的廣義坐標(biāo)， 并取

則可以得到系統(tǒng)的Hamilton函數(shù):

從而得到系統(tǒng)的Hamilton方程:

這里， 1/，ur=r 和θ是對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，且滿足

在Lie群變化下， 方程（8）可以約化為一維諧振子的運(yùn)動(dòng)方程:

是系統(tǒng)的角動(dòng)量，

這里，

是原二體系統(tǒng)的機(jī)械能。從而得到方程（9）對(duì)應(yīng)的Hamilton方程:

取如下初始條件:

從而系統(tǒng)的總能量

總角動(dòng)量我們采用上面的辛差分格式（式（6））， 并取步長(zhǎng)h=0.001， 分別計(jì)算方程（8）和（11）， 并比較數(shù)值結(jié)果。圖1給出系統(tǒng)的總能量和能量誤差， 圖2給出系統(tǒng)的總動(dòng)量和動(dòng)量誤差。

從圖 1和 2 可以看出， 雖然在原體系框架下計(jì)算得到的總能量沒(méi)有在約化后的體系中得到的結(jié)果好， 但是總動(dòng)量的數(shù)值結(jié)果卻優(yōu)于約化體系中的數(shù)值結(jié)果。因此， 在約化前體系下和約化后體系下的數(shù)值結(jié)果并沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別。并且， 我們求得的系統(tǒng)的總能量和總動(dòng)量都在數(shù)值計(jì)算的誤差允許范圍內(nèi)， 數(shù)值結(jié)果都很好地保持了原有系統(tǒng)的守恒量。區(qū)別在于， 我們?cè)诩s化后的體系下進(jìn)行數(shù)值研究， 由于體系的自由度減少， 從而減少了編程計(jì)算的難度， 同時(shí)也減少計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)。因此， 對(duì)于完整系統(tǒng)， 無(wú)論是在原體系框架下， 還是在約化后的系統(tǒng)中， 都可以得到滿意的數(shù)值結(jié)果， 但在約化體系下， 可以獲得簡(jiǎn)潔的計(jì)算機(jī)程序， 并減少計(jì)算機(jī)工作時(shí)間。這對(duì)于復(fù)雜的完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， 對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)稱約化， 以減少動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的自由度數(shù)， 可以有效地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算， 從而在約化系統(tǒng)下間接地研究原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

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The Affection of Symmetry Reduction to the Numerical Integration for Holonomic System

LIU Shixing1， XING Yan1， LIU Chang1， GUO Yongxin2，?

1. College of Physics， Liaoning Universtiy， Shenyang 110036； 2. School of Mechatronics Engineering， Eastern Liaoning University，Dandong 118001； ? Corresponding author， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

This paper researches the effection of symmetry reduction to the numerical integration for holonomic system. Through numerical experiment， there is not essential effection for numerical integrator when system is reduced to lower dimension. But under the reduced system， it can effectively decrease the difficulty of writing program and the time of computation. So for the complicated dynamical system， it should be firstly reduced by symmetry methods and obtain the dynamical system with less degree of freedom， then the dynamical nature of system can be researched under the reduced system.

holonomic system； symmetry reduction； numerical integration

O316

國(guó)家自然科學(xué)基金（11472124， 11572145， 11301350）和遼寧省博士啟動(dòng)基金（20141050）資助

2015-10-09；

2016-03-01； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12