郭　言，薛　郁**，施　映，李瑞鑫，何紅弟

(1.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧　530004；2.上海海事大學(xué)物流研究中心和上海航運(yùn)物流信息工程研究中心，上海　200135)

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交通擁堵的平均場(chǎng)延遲反饋控制方法*

郭言1，薛郁1**，施映1，李瑞鑫1，何紅弟2

(1.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧530004；2.上海海事大學(xué)物流研究中心和上海航運(yùn)物流信息工程研究中心，上海200135)

【目的】在優(yōu)化速度模型的基礎(chǔ)上，引入平均場(chǎng)延遲反饋控制方法抑制交通的擁堵?！痉椒ā繉?dāng)前車受到的所有其它車的作用用一個(gè)平均場(chǎng)力來(lái)代替，將延遲耦合作為延遲反饋控制項(xiàng)，在交通流演化過程中，通過開-關(guān)(on-off)加載控制以抑制交通的擁堵；通過線性穩(wěn)定性分析得出穩(wěn)定性條件；最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證控制方法的有效性?！窘Y(jié)果】穩(wěn)定性分析得出交通流在控制作用下趨于穩(wěn)定，數(shù)值模擬分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)擁堵交通流在施加控制后，車間距-速度相圖中的交通滯后曲線區(qū)域縮小，以此判斷交通擁堵得以緩解。【結(jié)論】交通流平均場(chǎng)延遲反饋控制方法可以有效地抑制交通擁堵，控制增益越大，交通擁堵緩解程度越好，而且該反饋控制在智能交通(ITS)中易于實(shí)現(xiàn)。

優(yōu)化速度模型平均場(chǎng)理論延遲反饋控制方案穩(wěn)定性條件數(shù)值模擬交通滯后

0　引言

【研究意義】隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、城市化進(jìn)程的加快，交通干線不斷拓展，汽車數(shù)量年年遞增，所引發(fā)的交通擁堵也日趨嚴(yán)重，而且擁堵時(shí)的車輛排放給環(huán)境帶來(lái)嚴(yán)重污染。交通擁堵問題早在1933年就引起有關(guān)學(xué)者的重視和研究。在交通過程中會(huì)出現(xiàn)暢行、時(shí)停時(shí)走、寬運(yùn)動(dòng)堵塞等交通現(xiàn)象，而且這些交通現(xiàn)象顯現(xiàn)出分形、長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)、自相似性等特性?！厩叭搜芯窟M(jìn)展】為解決交通擁堵問題，近年來(lái)人們提出許多交通流模型，例如宏觀的流體力學(xué)模型，介觀的動(dòng)理學(xué)模型以及微觀的跟馳模型和元胞自動(dòng)機(jī)模型等[1-3]。經(jīng)典的交通流跟馳模型有優(yōu)化速度模型[4]、廣義力模型[5]和耦合映像模型[6-8]等等。在這些模型當(dāng)中，優(yōu)化速度模型被廣泛地應(yīng)用于交通擁堵，并且能夠解釋交通流動(dòng)力學(xué)演化過程中交通擁堵的形成；耦合映像模型為優(yōu)化速度模型的離散形式。1999年Konishi等[6]在耦合映像模型上提出延遲反饋控制方法，在開放邊界瓶頸的噪聲作用下，交通系統(tǒng)在該控制方法下能夠較好地運(yùn)行；2011年Ge等[9]提出改進(jìn)的優(yōu)化速度模型，該模型涉及到當(dāng)前車輛與前車的車間距離；2013年Zhou等[10]使用耦合映像模型的延遲反饋控制方法研究其對(duì)交通系統(tǒng)的控制作用，結(jié)果表明該方法對(duì)交通過程中出現(xiàn)的聚集堵塞有較好的抑制作用。因此，在優(yōu)化速度模型或耦合映像模型上采用的控制方法能夠有效地抑制交通擁堵[11-12]。在最近幾年，反饋控制方法也被廣泛應(yīng)用于交通流宏觀模型[13-17]:2015年Ge等[13]在格子流體力學(xué)模型中提出反饋控制方法，該方法應(yīng)用t時(shí)刻第j格子和第j+1格子的流量差作為反饋控制信號(hào)來(lái)控制交通流擁堵；Redhu等[14]應(yīng)用下游的第j+1格子的t時(shí)刻和t-τ時(shí)刻的流量差作為控制交通擁堵的延遲反饋控制策略?！颈狙芯壳腥朦c(diǎn)】智能交通系統(tǒng)可在整體上掌握道路交通信息，監(jiān)控整條道路上車輛的相互作用。隨著智能交通系統(tǒng)的快速發(fā)展，有必要從整體上對(duì)交通擁堵進(jìn)行控制，而在非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的控制中，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)相互作用往往引入平均場(chǎng)耦合理論進(jìn)行反饋控制。類似地，本研究在交通系統(tǒng)中相互作用的車輛引進(jìn)平均場(chǎng)耦合理論來(lái)研究交通擁堵問題?！緮M解決的關(guān)鍵問題】基于平均場(chǎng)理論的思想，利用智能交通系統(tǒng)所提供的整條道路交通信息，如道路中每一車輛的位置、速度和時(shí)間等，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行有效信息的提取，從而引入平均場(chǎng)延遲反饋控制策略進(jìn)行交通控制，達(dá)到抑制交通擁堵的目的。

1　平均場(chǎng)延遲反饋控制模型

Bando等[18-21]提出優(yōu)化速度模型：

(1)

其中Vmax表示最大速度，hc表示車輛之間的安全距離。Bando等[18-21]證明優(yōu)化速度模型的穩(wěn)定性條件為

(2)

(3)

2　穩(wěn)定性條件的線性分析

為研究交通流中平均場(chǎng)延遲反饋控制的效果，我們對(duì)平均場(chǎng)延遲反饋控制方案進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析。首先，交通系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，在周期邊界條件下，車輛均勻地分布在道路上。因此交通系統(tǒng)中車輛的空間位置、車間距離和行車速度表示如下：

其中c表示穩(wěn)定態(tài)下車輛的速度，hc表示兩輛車之間平均距離，L表示道路的長(zhǎng)度，N表示道路上的車輛數(shù)量。當(dāng)系統(tǒng)中的車輛處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，車輛勻速行駛，但是車輛常常受到駕駛員、環(huán)境等不確定因素的作用。在t時(shí)刻處于穩(wěn)態(tài)的第 j輛車空間位置受到一個(gè)微擾動(dòng)yj(yj?1)作用(該微擾將沿車流傳播)，則第 j輛車在該微擾作用下的位置為

(4)

將方程(4)代入到方程(3)，得到化簡(jiǎn)的微擾方程為

(5)

y(j,t)=exp(iαkj+zt)。

(6)

將方程(6)代入到方程(5)得

(7)

(8)

方程(8)中含有一階項(xiàng)iαk和二階項(xiàng)(iαk)2，將z展開為z=z1(iαk)+z2(iαk)2+…，代入方程(8)中得

(9)

從方程(9)中可以得到z1和z2所滿足的等式：

z1=f，

(10)

(11)

從微擾yj和z可以知道，當(dāng)z2<0時(shí)，微擾作用下的均勻流隨時(shí)間演化將呈現(xiàn)不穩(wěn)定的狀態(tài)；當(dāng)z2>0時(shí)，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定的狀態(tài)，于是可以得出如下的穩(wěn)定性條件：

(12)

用敏感系數(shù)表示為

(13)

車流穩(wěn)定性與3個(gè)因素有關(guān)，分別是延遲反饋增益、車間距和系統(tǒng)的總車輛數(shù)。在另外2個(gè)因素已經(jīng)確定的情況下，延遲反饋增益在車流穩(wěn)定性方面起重要作用，駕駛員的敏感系數(shù)隨著延遲反饋增益增大而減小。

3　數(shù)值模擬

如圖1所示，在交通系統(tǒng)中對(duì)序號(hào)為2，30，50和100的4輛汽車進(jìn)行連續(xù)跟蹤，并且在不同的延遲反饋增益k=0，0.3，0.5，0.7下對(duì)行進(jìn)過程中的4輛車進(jìn)行每時(shí)步的車速檢測(cè)，根據(jù)所得到車速變化可以確定延遲反饋控制的效果。從圖1a中可以看到，沒有控制時(shí)車輛在演化不久就變得不穩(wěn)定，在250 s時(shí)速度變化幅度很大。這是在微擾的作用下，微擾的傳播和增強(qiáng)使得車流處于不穩(wěn)定狀態(tài)所導(dǎo)致的結(jié)果。在系統(tǒng)演化到300 s時(shí)，將平均場(chǎng)延遲反饋控制加入到不穩(wěn)定的交通系統(tǒng)中，在不同的延遲反饋增益的作用下，不同車輛速度幅度變化逐漸衰減，直至穩(wěn)定狀態(tài)(圖1b～d)；另外，隨著延遲反饋增益的增大，系統(tǒng)在相同時(shí)間的演化中更快地趨于穩(wěn)定狀態(tài)，平均場(chǎng)延遲反饋控制效果越明顯(圖1c～d)。

圖2顯示從0～1 000 s的時(shí)間內(nèi)在不同延遲反饋增益時(shí)所有車輛的位置、速度和時(shí)間的速度時(shí)空演化圖。速度時(shí)空演化圖可以整體顯示各時(shí)刻處于不同位置的車輛速度變化情況，在速度較高區(qū)域表示該時(shí)刻所對(duì)應(yīng)車輛以高速行駛；相反地，速度較低區(qū)域則表示該區(qū)域車輛處于交通擁堵。在不同延遲反饋控制作用下，車輛速度變化很快地趨于速度為v=1 m/s的穩(wěn)態(tài)(圖2b～d)，達(dá)到控制交通擁堵的目的，這表明平均場(chǎng)延遲反饋控制具有較高的效率。

圖1不同延遲反饋增益的車輛速度變化

Fig.1Temporal velocity change with the time as k=0, 0.3, 0.5, 0.7

圖2車輛速度的時(shí)空演化

Fig.2Space-time evolution of velocity

從圖3a中可以看到，在沒有控制的交通系統(tǒng)，不同車輛的速度變化很大，交通處于擁堵狀態(tài)。在不同的反饋增益k作用下(圖3b～d)，交通擁堵消失，系統(tǒng)處于速度v=1 m/s的穩(wěn)定狀態(tài)，表明平均場(chǎng)延遲反饋控制方案具有一定可行性。

為進(jìn)一步了解交通系統(tǒng)中車輛在行駛過程中的微觀行為，我們繪制車輛位置-時(shí)間(xn,t)的時(shí)空斑圖。當(dāng)交通系統(tǒng)沒有受到控制時(shí)(圖4a)，在周期邊界條件下，微擾作用使得車輛在行駛過程中出現(xiàn)車輛積聚在一起的區(qū)域——交通阻塞，并且這種交通阻塞不會(huì)消失而是向上游傳播， 隨著時(shí)間的增加，這些交通阻塞會(huì)匯合在一起形成更大的交通阻塞區(qū)域，最后形成較大的交通阻塞帶， 這就是時(shí)停時(shí)走的交通現(xiàn)象。出現(xiàn)交通阻塞后在300 s時(shí)加入平均場(chǎng)延遲反饋控制，交通阻塞區(qū)域逐漸消失，車輛逐漸擴(kuò)散：在較小延遲反饋增益k=0.3時(shí)，交通阻塞區(qū)域消散較小，還存在不明顯向后傳播的阻塞帶(圖4b)；在延遲反饋增益k較大時(shí)，交通阻塞帶消失，車輛呈現(xiàn)均勻分布，延遲反饋增益k越大，平均場(chǎng)延遲反饋控制的控制效果就越明顯(圖4c～d)。

圖3終態(tài)車輛的速度輪廓圖

Fig.3Velocity profile of all vehicles

圖4不同反饋增益下車輛位置-時(shí)間(xn,t)的時(shí)空斑圖

Fig.4Plots of the spatiotemporal patterns (xn,t) of all vehicles on the cycle road for different control gain k

為了解控制作用下的車流狀態(tài)變化，我們?cè)谲囬g距-速度的相圖中確定所有車輛的狀態(tài)變化。在沒有施加控制時(shí)，出現(xiàn)較大區(qū)域的交通滯后回線，車輛間距小，車輛較為密集出現(xiàn)，可以判斷交通系統(tǒng)出現(xiàn)低速擁堵(圖5)。相較于時(shí)空斑圖(圖4a)，在時(shí)間段為0～300 s時(shí)，相圖中出現(xiàn)許多密集較小的阻塞帶(圖5a)；在時(shí)間段301～500 s和501～1 000 s時(shí)，相圖中間部分積聚消失，積聚部分分布在交通滯后曲線的邊緣處(圖5b～c)，對(duì)照?qǐng)D4a交通系統(tǒng)中車輛演化較長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)空斑圖，由于微擾的作用，車輛在演化一段時(shí)間后將慢慢發(fā)生堵塞積聚形成密集而細(xì)小的阻塞帶，而且隨著時(shí)間延長(zhǎng)，較小的阻塞帶逐漸合并在一起形成較大的阻塞帶，即形成了在不穩(wěn)定狀態(tài)下時(shí)停時(shí)走的交通現(xiàn)象。

圖5k=0時(shí)不同時(shí)間段所有車輛的車間距-速度(Δx,v)相圖

Fig.5 Phase space of all vehicles for k=0 at different times

在延遲反饋控制增益k=0.3，0.5，0.7情況下，于300 s時(shí)加入平均場(chǎng)延遲反饋控制后，可以看到相圖的交通滯后曲線的區(qū)域明顯地縮小(圖6)；在長(zhǎng)時(shí)間后，交通滯后曲線收縮成一條曲線(圖7)，隨著控制增益增大，交通滯后曲線就越明顯地收縮成一條曲線(圖6，圖7)，表明平均場(chǎng)延遲反饋控制作用使得交通擁堵得到有效緩解，達(dá)到控制的目的。

圖6301～500 s時(shí)所有車輛的車間距-速度(Δx,v)相圖

Fig.6Phase space of all vehicles within the time from 301 to 500 s

圖7501～1 000 s時(shí)所有車輛的車間距-速度(Δx,v)相圖

Fig.7Phase space of all vehicles within the time from 501 s to 1 000 s

4　總結(jié)

本研究在優(yōu)化速度模型的基礎(chǔ)上，提出平均場(chǎng)延遲反饋控制方法抑制交通的擁堵。本研究將當(dāng)前車所受到所有其它車的作用用一個(gè)平均場(chǎng)力來(lái)代替，通過延遲耦合作為延遲反饋控制項(xiàng)，在交通流演化過程中，通過開-關(guān)(on-off)加載控制以抑制交通的擁堵。通過線性穩(wěn)定性分析方法，得出穩(wěn)定性條件，穩(wěn)定性分析表明交通流在控制作用下趨于穩(wěn)定。數(shù)值模擬驗(yàn)證控制方法的有效性，從數(shù)值模擬得出的車輛速度時(shí)空?qǐng)D、車輛位置-時(shí)間(xn,t)的時(shí)空斑圖和控制后車間距-速度相圖中交通滯后曲線區(qū)域縮小的分析可知，平均場(chǎng)延遲反饋控制可以有效地抑制交通擁堵，控制增益越大，交通擁堵緩解程度越好，抑制交通擁堵的效果就越好，達(dá)到交通控制的目標(biāo)，而且這樣的平均場(chǎng)延遲反饋控制在智能交通(ITS)中易于實(shí)現(xiàn)。

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(責(zé)任編輯：米慧芝)

Mean-field Delay-feedback Control Scheme for Traffic Jam

GUO Yan1，XUE Yu1，SHI Ying1，LI Ruixin1，HE Hongdi2

(1.College of Physical Science and Engineering，Guangxi University，Nanning，Guangxi，530004，China；2.Logistics Research Center & Shanghai Engineering Research Center of Shipping Logistics Information，Shanghai Maritime University，Shanghai，200135，China)

【Objective】A mean-field delay-feedback control scheme for traffic jam is proposed based on the optimal-velocity (OV) model,in order to suppress traffic jam.【Methods】The interaction among other vehicles can be taken the place of an average force exerting on each vehicle as delay-feedback control term by delayed coupling.The stability condition is derived from OV equation with a feedback control term by linear stability analysis.The effectiveness of the mean-field feedback control scheme are verified by simulation.【Results】The stability condition indicates that traffic flow approaches to steady state under control.The numerical simulation shows the region of traffic hysteresis curves in phase space(headway vs velocity) is shrunken,which indicates traffic jam is reduced under control.【Conclusion】The mean-field delay-feedback control scheme of traffic flow can effectively suppress traffic jam.The stronger the control gain is, the less the traffic jam is.And the mean-field delay-feedback control scheme is easily realized in Intelligent Traffic System(ITS).

optimal-velocity model，mean-field，delay-feedback control scheme，stability condition，simulation，traffic hysteresis

2016-05-15

2016-06-20

郭言(1990-)，男，碩士研究生，主要從事交通控制理論研究。

U491.1+12

A

1005-9164(2016)03-0194-08

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11262003),廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20140593)和廣西研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(YCSZ2012013)資助。

**通訊作者：薛郁(1963-)，男，博士生導(dǎo)師，教授，主要從事交通流動(dòng)力學(xué)研究，E-mail:yuxuegxu@gxu.edu.cn。

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(3):194～201

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時(shí)間：2016-07-13【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160713.002

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160713.0857.004.html