薛秋萍

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小學(xué)問(wèn) 大用途

薛秋萍

因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式乘積的形式，如果從運(yùn)算角度上考慮，也就是把一個(gè)和在保持大小不變的條件下，寫(xiě)成一個(gè)乘積的形式.在解決問(wèn)題時(shí)，如能靈活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁為簡(jiǎn)，方便快捷的效果.

例1 電學(xué)公式：U=IR1+IR2+IR3，當(dāng)R1= 12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2 A時(shí)，求U的值.

【分析】直接代入數(shù)值，

如果直接計(jì)算，太麻煩，不妨提取公因式.

例2某市為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，現(xiàn)需要將一條長(zhǎng)3 300 m的道路重新拓寬，預(yù)計(jì)3個(gè)月完成，已知第一個(gè)月完成34％，第二月完成36％，問(wèn)這兩個(gè)月共完成多少米的拓寬任務(wù)？

【分析】總共有3 300 m的道路，第一個(gè)月完成了34％，即完成了3 300×34％；第二月完成了36％，即完成了3300×36％.

兩個(gè)月共完成了3 300×34％+3300× 36％，如果直接運(yùn)算的話(huà)，顯然麻煩些，如果對(duì)3 300×34％+3 300×36％提取公因式，就簡(jiǎn)單多了.

所以這兩個(gè)月共完成2310m拓寬任務(wù).

【點(diǎn)評(píng)】某些實(shí)際問(wèn)題，如果列出的代數(shù)式中含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能夠湊整，用提取公因式計(jì)算較簡(jiǎn)單.

例3學(xué)校在一塊邊長(zhǎng)為13.2 m的正方形場(chǎng)地，準(zhǔn)備在四個(gè)角落各建一個(gè)邊長(zhǎng)為3.4 m的正方形噴水池，剩余的部分修成綠地，若購(gòu)買(mǎi)130 m2的草坪，夠不夠鋪綠地？

【分析】原有的面積為13.22，四個(gè)正方形水池的面積為4×3.42，剩余部分的面積為13.22-4×3.42，如果先乘方，再減法，運(yùn)算量較大，如果按照平方差公式分解因式，較簡(jiǎn)單.

解：依題意得

因?yàn)?30＞128，

所以購(gòu)買(mǎi)130 m2的草坪，夠鋪綠地.

例4一種圓筒狀包裝的保鮮膜，如圖1所示，其規(guī)格為“20cm×60 m”，經(jīng)測(cè)量這筒保鮮膜的內(nèi)徑φ1、外徑φ的長(zhǎng)分別為3.6cm、4.4cm，則該種保鮮膜的厚度約為_(kāi)______cm（結(jié)果保留π）.

圖1

【分析】圓筒狀包裝的保鮮膜展開(kāi)與未展開(kāi)體積是相同的.

設(shè)厚度為xcm，展開(kāi)時(shí)體積為x×20× 6 000（cm3），

解：設(shè)厚度為xcm，依題意得：

【點(diǎn)評(píng)】如果由實(shí)際問(wèn)題得到的代數(shù)式，滿(mǎn)足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而且分解后，兩個(gè)數(shù)的和或兩個(gè)數(shù)的差運(yùn)算較簡(jiǎn)單，通常應(yīng)用平方差公式.

例5某公園有一塊長(zhǎng)為51.2 m的正方形綠地，為了便于游人通行，決定修兩條互相垂直的小路，如圖2小路寬1.2 m，問(wèn)剩余綠地的面積是多少？

圖2

【分析】用整塊綠地的面積減去小路的面積就是剩余綠地的面積.

所以剩余綠地的面積為2 500 m2.

例6如圖3，開(kāi)發(fā)商要在原來(lái)小區(qū)（正方形）的基礎(chǔ)上進(jìn)行征地?cái)U(kuò)建，且使擴(kuò)建后的小區(qū)平面仍舊是正方形.如果土地的成本價(jià)是1 500元/m2，開(kāi)發(fā)商在整個(gè)小區(qū)的土地成本投資應(yīng)是多少萬(wàn)元？

圖3

【分析】根據(jù)題意可知，土地的總面積=原居民區(qū)面積+新建住房區(qū)面積，可發(fā)現(xiàn)整個(gè)式子是一個(gè)完全平方式，可利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

所以土地的投資成本為：

答：土地成本投資應(yīng)是1 500萬(wàn)元.

【點(diǎn)評(píng)】由實(shí)際問(wèn)題列出的代數(shù)式滿(mǎn)足完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，且寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的和或兩個(gè)數(shù)的差的平方又容易計(jì)算，通常應(yīng)用完全平方公式.

例7在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶.原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4-y4，因式分解的結(jié)果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼.對(duì)于多項(xiàng)式4x3-xy2，取x=10，y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：_______（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

【分析】按照原理，需把4x3-xy2分解因式，再代入求值，就可以產(chǎn)生密碼.

當(dāng)x=10，y=10時(shí)，各因式的值是：

又因?yàn)檫@六個(gè)數(shù)字不考慮順序，所以產(chǎn)生的密碼為103010；101030；301010.

【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行因式分解時(shí)，首先提取公因式，然后再考慮用公式，注意每一個(gè)因式要分解徹底.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第二中學(xué)）