申迪揚(yáng)

（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 湖南長(zhǎng)沙 410007）

探討類比推理法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

申迪揚(yáng)

（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) 湖南長(zhǎng)沙 410007）

類比推理法是科學(xué)研究中常用的方法之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法論的重要組成部分。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常巧妙運(yùn)用類比推理法，可以幫助我們貫通知識(shí)間的聯(lián)系，使知識(shí)脈絡(luò)縱橫交融，形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建出良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本文主要針對(duì)類比推理法進(jìn)行概述，并在此基礎(chǔ)上探討其在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。

探討；高中數(shù)學(xué)；類比推理法；運(yùn)用

在近代的科技發(fā)明中，類比推理法應(yīng)用得特別多。如近代仿生學(xué)就是用“生物機(jī)制”作類比，從而設(shè)計(jì)出滑翔機(jī)和飛機(jī)、潛水艇、挖掘機(jī)……在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常巧妙運(yùn)用類比推理法，可以幫助我們貫通知識(shí)間的聯(lián)系，使知識(shí)脈絡(luò)縱橫交融，形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建出良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1 類比推理法概述

G·波利亞指出：“類比是某種類型的相似性……是一種更確定的和更概念的相似?！彼^類比推理，是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，簡(jiǎn)稱類推、類比。該方法的關(guān)鍵思路，是以關(guān)于兩個(gè)事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個(gè)事物的其他屬性也具有相同的結(jié)論的推理。

2 類比推理法的重要作用

心理學(xué)研究認(rèn)為，孤立的知識(shí)容易遺忘，而系統(tǒng)化的知識(shí)有利于理解和掌握，也易于遷移和靈活運(yùn)用。同時(shí)，類比推理法也有利于深化知識(shí)的理解和研究，有利于學(xué)習(xí)能力的轉(zhuǎn)化及解題能力的提升。類比推理法不單是從特殊到特殊的推理方式，同時(shí)也能在數(shù)學(xué)問題的解決中探索出解題的突破口，猜測(cè)出問題的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)問題的思維方法。類比推理法有助于在原有的知識(shí)體系上，對(duì)新的問題進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)相似點(diǎn)以及內(nèi)在規(guī)律，從而解決更多難度更大的問題。在高中數(shù)學(xué)解題中，使用類比推理法，不僅能夠看到問題的本質(zhì)，還能想到解決問題的根本途徑，同時(shí)形成創(chuàng)新意識(shí)。

3 高中數(shù)學(xué)中的類比推理法運(yùn)用

3.1 數(shù)與形的類比

思考與分析：從要證明的等式的形式看，很像一個(gè)三角推論公式：

tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=nπ）

3.2 橢圓與雙曲線的類比

3.3 平面與空間的類比

例3設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，ΔABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S-ABC的體積為V，則r=（ ）。思考與分析：類比中，三角形面積S對(duì)應(yīng)四面體體積V，三角形三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)四面體四個(gè)面面積，三邊為2，那么四面為3，故應(yīng)選C。

在平面與空間的類比中，還可以通過拓展得出許多結(jié)論。如：

（1）三角形中的余弦定理可以類比推廣到空間四面體中，在任一四面體中，它的一個(gè)面面積的平方等于其他三個(gè)面面積的平方和，減去這三個(gè)面中每?jī)蓚€(gè)面的面積與它們所夾二面角余弦的積的兩倍。

（2）由直角三角形的勾股定理c2=a2+b2可類比推理出：過長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的另一端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，三個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的底面的面積的平方等于三棱錐的其他含直角的各側(cè)面面積的平方和。

（3）三角形的面積為S＝12（a＋b＋c）·r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為V＝13（S1＋S2＋S3＋S）4（r S1、S2、S3、S4分別為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）。

（4）類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體有下列性質(zhì)：

①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；

②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；……

3.4 等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比

例4在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n（n＜19，n∈N*）成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立。

思考與分析：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…+a19-（nn＜19，n∈N*）成立，故在等比數(shù)列{bn}中，由b9=1，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)：

∴（2）式成立，即（1）式成立。

當(dāng)n=8時(shí)，（1）式即：b9=1顯然成立；當(dāng)8＜n＜17時(shí)，（1）式即：

∴（3）式成立，即（1）式成立。

綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}滿足b9=1時(shí)，有：

b1b2…bn=b1b2…b17-（nn＜17，n∈N*）成立。

3.5 有限與無(wú)限的類比

例5觀察下列等式：1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為：__________________________。

思考與分析：通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)等式左邊連加的數(shù)字從1到3到5，每行遞增2個(gè)，且第一個(gè)數(shù)字也代表這個(gè)等式是第幾排，那么根據(jù)類比推理找出左邊的規(guī)律為n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]；右邊的數(shù)字的都是完全平方數(shù)，且為12、32、52……的規(guī)律，即為（2n-1）2。于是我們能很快得出結(jié)論是：第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2。

4 結(jié)語(yǔ)

需要注意的是，類比法在結(jié)論探究上只是一種推測(cè)，就像從適合人類生存的地球類比推測(cè)火星也適合人類生存一樣，所得的結(jié)論是否正確需要去證明。但是，類比推理法的運(yùn)用，既開拓了我們的思路，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中更巧妙的掌握了知識(shí)，又可以讓我們熟悉這一科學(xué)研究常用的方法，便于在以后的科研路上探索更多、更新的未知世界。

[1]徐利治.徐利治談數(shù)學(xué)方法論[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：34～45.

[2]衡國(guó)強(qiáng).類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐[J].教育學(xué)文摘，2013（10）：86.

[3]葉立軍.數(shù)學(xué)方法論[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2008：256～264.

G633.6

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