◇ 江蘇 徐維蘭

淺談運(yùn)用類比思想解題的一些常用思路

◇ 江蘇 徐維蘭

在數(shù)學(xué)解題中類比思想是常用的解題方法之一.運(yùn)用類比思想解決問(wèn)題,不僅可以拓寬學(xué)生解題思路,使問(wèn)題得以快速有效解決,而且可以發(fā)展學(xué)生思維,提高學(xué)生自主探索、分析和解決問(wèn)題的能力.要想學(xué)生能夠靈活運(yùn)用類比思想,就要對(duì)教材中的知識(shí)點(diǎn)、概念、性質(zhì)等十分熟悉,這樣看到一個(gè)公式時(shí)能迅速聯(lián)系類似的知識(shí)點(diǎn),然后利用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)解題.因此,在平時(shí)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師要注意類比思想的有效滲透,幫助學(xué)生掌握解題技巧、提升解題能力.對(duì)此,筆者結(jié)合實(shí)例,就類比思想解題的一些常用思路進(jìn)行分析,以供參考.

1 類比聯(lián)想

類比聯(lián)想,通俗說(shuō)來(lái),就是看到一種事物聯(lián)想到另一種與其相關(guān)的事物,尋找二者相似或相通之處.通常情況下,類比聯(lián)想可以分成3大類:概念類比聯(lián)想、定理類比聯(lián)想、公式類比聯(lián)想.教師在課堂教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生思路,讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)題眼,靈活運(yùn)用類比聯(lián)想快速地解答相似問(wèn)題.學(xué)生在利用類比思想解題時(shí),既能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)系統(tǒng)化,又能培養(yǎng)歸納知識(shí)點(diǎn)和總結(jié)答題技巧的能力.

例1 若a、b、c、d∈R,并且a2＋b2＝1,c2＋d2＝1.求證:－1≤ac＋bd≤1.

看到條件a2＋b2＝1,c2＋d2＝1,聯(lián)想公式sin2α＋cos2α＝1,可設(shè)

則ac＋bd＝cosacosβ＋sinasinβ＝cos(a－β).

因?yàn)閨cos(a－β)|≤1,所以

2 類比歸納

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中,歸納總結(jié)是重要的一個(gè)環(huán)節(jié).教師引導(dǎo)學(xué)生全面、系統(tǒng)地歸納相似的知識(shí)或定理,有利于提高學(xué)生思維拓展能力.

例2 設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有2條直線互相平行,任意3條直線不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)來(lái)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則 f(4)＝________,當(dāng)n＞4時(shí),f(n)＝________.(用n表示)

圖1

因?yàn)閒(n)表示n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù),若再增加一條直線,則這條直線與前n條直線都相交,則交點(diǎn)個(gè)數(shù)增加n個(gè),故f(n＋1)＝f(n)＋n,且f(3)＝2,所以

累加得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1).

例3 設(shè)|an|是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n＋ 1)2an＋1－na2＋an＋1×an＝0(n＝1,2,3,4,…),則它的通項(xiàng)公式是an＝________.

本題可將(n＋1)a2n＋1－na2＋an＋1·an＝0變形為[(n＋1)an＋1－nan](aa＋1＋an)＝0,由于an＋1＋an＞0,所以(n＋1)an＋1＝nan,即得.又a1＝1,所以

本題也可由不完全歸納法推測(cè)an,當(dāng)n＝1時(shí),由a1＝1,得.同理當(dāng)當(dāng)n＝3,a4＝.推測(cè).由類比歸納可以驗(yàn)證此結(jié)論的正確性.

3 類比推理

類比推理,即通過(guò)對(duì)2個(gè)研究對(duì)象的對(duì)比,找出其相似之處,然后用其中一個(gè)研究對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一研究對(duì)象的基本特征.類比推理是一種重要的類比思想,也是數(shù)學(xué)解題的常用思維方法之一.在數(shù)學(xué)解題中,類比2個(gè)不同研究對(duì)象時(shí),推理出的共性越多,所得結(jié)論的準(zhǔn)確性就越高.

例4 在平面幾何中有勾股定理:“設(shè)△ABC的2邊AB、AC互相垂直,則AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐A-BCD的3個(gè)側(cè)面△ABC、△ACD、△ADB兩兩相互垂直,則________.”

分析 關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比,通常可抓住如下幾何要素對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比:

多面體?多邊形;面?邊;體積?面積;二面角?平面角;面積?線段長(zhǎng)……

由此,可類比猜測(cè)本題的答案為

本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣,因此學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要重視類比推理的應(yīng)用,更要重視解題技巧的作用.

同理可證下例.

例5 (1)由“若a、b、c∈R,則(ab)·c＝a·(bc).”類比推出“若a、b、c為3個(gè)向量,則(a·b)·c＝a(b·c);

(2)“a、b為實(shí)數(shù),若a2＋b2＝0,則a＝b＝0.”類比推出“z1、z2為復(fù)數(shù),若z21＋z22＝0,則z1＝z2＝0”;

(3)“在平面內(nèi),過(guò)不在同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓.”類比推出“在空間中,過(guò)不在同一個(gè)平面上的4個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)球”.

上述3個(gè)推理中,結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( ).

A 1; B 2; C 3; D 0

(1)由向量的運(yùn)算可知(a·b)·c與向量c共線的向量,而由向量的運(yùn)算可知a(b·c)與向量a共線,因此錯(cuò)誤.

(2)在復(fù)數(shù)集C中,若z1、z2∈C,z21＋z22＝0,則可能z1＝1且z2＝i.故錯(cuò)誤.

(3)由圓的性質(zhì)類比推理到球的性質(zhì),即“平面內(nèi)不共線的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.”我們可類比推理出“空間不共面4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球.”故正確.

故選A.

總之,巧用類比思想解題對(duì)于提高學(xué)生解題速度和效率有著至關(guān)重要的作用.在平時(shí)解題教學(xué)中,教師要注意類比思想的有效滲透,圍繞教學(xué)目標(biāo),結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,緊扣教學(xué)內(nèi)容,巧妙地借助類比思想進(jìn)行解題,從而拓寬學(xué)生解題思維、培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性和深刻性,提高學(xué)生的解題能力.

江蘇省鹽城市第一中學(xué))