何　燈

(福清第三中學(xué)，福建 福清 350315)

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關(guān)于兩個(gè)“奇特”平均的Schur冪凸性

何燈

(福清第三中學(xué)，福建 福清 350315)

摘要:借助于maple數(shù)學(xué)軟件和多項(xiàng)式判別系統(tǒng),研究了涉及三角函數(shù)及雙曲函數(shù)的兩個(gè)“奇特”平均的Schur-冪凸性,給出了判定的充要條件.

關(guān)鍵詞:Schur凸性；Schur-冪凸性；三角函數(shù)；雙曲函數(shù)；多項(xiàng)式判別系統(tǒng)

0引言

2003年,《美國數(shù)學(xué)月刊》11031問題定義了如下“奇特”平均并提出一個(gè)相關(guān)的不等式猜想:

問題11031設(shè)x,y>0,平均M(x,y)=lnN(x,y),其中

求證或否定M(x,y)≤G(x,y).

文獻(xiàn)[3]研究了M(x,y)關(guān)于(x,y)在(0,+)2上的Schur-凸性和Schur-幾何凸性,得到

定理1M(x,y)是(0,+)2上遞增的Schur-凹函數(shù)和Schur-幾何凹函數(shù).

類似于M(x,y)的形式,本文定義如下三角函數(shù)及反三角函數(shù)復(fù)合的平均

并借助于maple數(shù)學(xué)軟件和多項(xiàng)式判別系統(tǒng)[4-5]，研究了M(x,y)及H(x,y)在各自定義域上更一般的性質(zhì)—Schur-冪凸性[6-10].為此我們需要如下定義及引理.

1定義和引理

對于x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,將x的分量遞減重排后,記作x[1]≥x[2]≥…≥x[n].并用x≤y表示xi≤yi(i=1,…,n).

定義1[11]2設(shè)x,y∈Rn滿足

定義2[11]54設(shè)Ω?Rn, φ:Ω→R,

(i) 若在Ω上x≤y ?φ(x)≤φ(y),則稱φ為Ω上的增函數(shù);若-φ是Ω上的增函數(shù),則稱φ為Ω上的減函數(shù).

(ii) 若在Ω上xy?φ(x)≤φ(y),則稱φ為Ω上的Schur凸函數(shù);若-φ是Ω上Schur凸函數(shù),則稱φ為Ω上Schur凹函數(shù).

引理1[11]58設(shè)E(?Rn)是有內(nèi)點(diǎn)的對稱凸集,f:E→R為連續(xù),且在E的內(nèi)部intE可微,則f在E上為Schur-凸(凹)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f在E上對稱,且對所有的x∈intE,都有

(1)

(lnx1,lnx2,…,lnxn)(lny1,lny2,…,lnyn)

時(shí),都有f(x)≤f(y)成立,則稱f是E上的Schur-幾何凸函數(shù);f為E上的Schur-幾何凹函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)-f為Schur-幾何凸函數(shù).

引理2[13]設(shè)E(?Rn)為有內(nèi)點(diǎn)的對稱集,{(lnx1,lnx2,…,lnxn)|x∈E}為凸集,f:E→R連續(xù),且在intE內(nèi)可微,則f為Schur-幾何凸(凹)函數(shù)的充分必要條件是f在E上對稱,且對所有的x∈intE,都有

(2)

(3)

定義5[6-10](i)設(shè)f:R++→R是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),Ω?Rn.若對于任何x,y∈Ω,總有f-1(αf(x)+βf(y))∈Ω,則稱Ω是f-凸集,其中α,β∈[0,1]且α+β=1.

(ii) 設(shè)Ω?Rn,Ω內(nèi)部非空.φ:Ω→R,對于任意x,y∈Ω,若f(x)f(y)時(shí),有φ(x)≤φ(y),則稱φ為Ω上的Schur-f凸函數(shù);若-φ是Ω上Schur-f凸函數(shù),則稱φ為Ω上Schur-f凹函數(shù).

由Schur-f凸函數(shù)的定義知,若g為單調(diào)遞增(減),g(φ(x))有意義,則φ為Schur-f凸函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)g°φ為Schur-f凸(凹)函數(shù).

定義6[6-10]在定義5中若取

則稱φ為Ω上的Schur-m階冪凸函數(shù);若-φ是Ω上Schur-m階冪凸函數(shù),則稱φ為Ω上Schur-m階冪凹函數(shù).

(4)

對于Schur-m階冪凸函數(shù),若m≠0,相應(yīng)的Schur條件為

(5)

不難發(fā)現(xiàn),式(4)綜合了式(1)(2)(3)(5).

引理5[16]設(shè)a≤b,u(t)=tb+(1-t)a,v(t)=ta+(1-t)b,1/2≤t2≤t1≤1或0≤t1≤t2≤1/2,則

推論1 將問題11031作了隔離.

引理9[4]如果多項(xiàng)式H(x)的判別式序列的符號修訂表的變號數(shù)是ν,那么H(x)的互異共軛虛根對的數(shù)目就是ν,而且,如果該符號修訂表中非零元的個(gè)數(shù)是η,那么H(x)的互異實(shí)根的數(shù)目是η-2ν.

引理10(Ⅰ)設(shè)λ∈(0.921 0,1),則

p1(λ)=-45λ7-9λ6+1 602λ5+1 622λ4-1 584λ3-1 582λ2+222λ+224>0.

(Ⅱ)設(shè)λ∈(0.877 5,0.921 1),則

p2(λ)=15λ6+36λ4-52λ2+16>0,

p3(λ)=-180λ8-260λ7-292λ6-720λ5-384λ4+1 055λ3+1 474λ2-330λ-588>0.

(Ⅲ)設(shè)λ∈(0.786 4,0.877 6),則

p4(λ)=-75λ7-185λ6-135λ5+35λ4+233λ3+137λ2-62λ-44>0.

(Ⅳ)設(shè)λ∈(0.537 0,0.786 5),則

p5(λ)=-1 152λ10+407λ8+508λ6-222λ4+28λ2-1>0,

p6(λ)=-864λ12-2 448λ11-13 104λ10+4 943λ9+4 258λ8-1 652λ7+7 256λ6-

6λ5-3 108λ4+28λ3+392λ2-λ-14>0.

證明由于證明類似,此處僅給出p1(λ)>0的驗(yàn)證.利用引理9和文獻(xiàn)[4]中給出的DISCR程序,可求p1(λ)的判別式序列的符號表和符號修訂表均為[1,1,1,1,1,1,1],其變號數(shù)為0,則p1(λ)有0對互異的虛根,有7個(gè)互異實(shí)根,借助于maple數(shù)學(xué)軟件可求這7個(gè)實(shí)根分別為-5.385 1…,-1.149 2…,-0.821 2…,-0.417 1…,0.413 4…,0.908 3…,6.250 9…,顯然這7個(gè)實(shí)數(shù)根并未落在區(qū)間(0.921 0,1)上,從而p1(λ)在(0.921 0,1)上恒正或恒負(fù),又p1(0.93)≈83.020>0,則當(dāng)λ∈(0.921 0,1),p1(λ)>0.

[(2cost+4tsint)sin(2tant)-(2t+sin2t)cost]cost.

下面將證明P1(t)在t∈(0,0.4]上取值恒為負(fù),在t∈[0.4,0.5]上單調(diào)遞增,在t∈[0.5,tan-1π/2)上取值恒為正.

(i)當(dāng)t∈(0,0.4],可求

0.921 0

由引理8得

其中

P2(t)=(15cos6t-54cos4t+28cos2t-4)costsint+(-207cos6t+446cos4t-256cos2t+32)t,

注意到cost∈(0.921 0,1),則

15cos6t-54cos4t+28cos2t-4≤-39cos4t+28cos2t=

(-39cos2t+28)cos2t≤(-39cos20.4+28)cos2t≈-5.085 8cos2t<0,

從而欲證P2(t)>0,等價(jià)于證明

由引理7,只需證明

等價(jià)于證明

由引理10(I),上式成立,從而P2(t)>0,P1(t)<0.

(ii)當(dāng)t∈[0.4,0.5],可求

0.877 5

P3(t)=-(cos3t+cost-2tsint)cos3tsin2(2tant)-(2t+sin2t)cos2tsin(4tant)+

2t(2cos4t-cos2t+2)sin(2tant)+2tsin2tcos(2tant),

注意到

(cos3t+cost-2tsint)′=(4cos3t-2cost-2tsint)′=-2cost(6sintcost+t)<0,

則

cos3t+cost-2tsint≥cos1.5+cos0.5-sin0.5≈0.468 9>0,

從而由引理8得

2t(2cos4t-cos2t+2)sin(2tant)+2tsin2tcos(2tant)≥

其中

P4(t)=-2costp2(cost)sint+(10cos6t-72cos4t+119cos2t-42)t,

由引理10(Ⅱ),欲證P4(t)>0,只需證明

由引理7,只需證明

等價(jià)于證明

(iii)當(dāng)t∈[0.5,tan-1π/4],可求

0.786 4

0.546 3

0≤cos(2tant)≤cos(2tan0.5)<0.460 2,

由引理8得

其中

P5(t)=(5cos2t-2)(3cos4t-3cos2t+1)costsint+(5cos6t-23cos4t+19cos2t-4)t,

易證(5cos2t-2)(3cos4t-3cos2t+1)>0,則欲證P5(t)>0,只需證明

由引理7,只需證明

等價(jià)于證明

由引理10(Ⅲ),上式成立,則P1(t)>0.

(iv)當(dāng)t∈[tan-1π/4,tan-1π/2),可求

0.537 0

π/4=tan(tan-1π/4)≤tant

由引理8得

P1(t)≥-4tcos(2tant)+[(2cost+4tsint)sin(2tant)-(2t+sin2t)cost]cost=

-4t[2cos2(tant)-1]+[2(2cost+4tsint)sin(tant)cos(tant)-(2t+sin2t)cost]cost≥

由引理10(Ⅳ)得tp5(cost)>0,則當(dāng)6cos6t-21cos4t+10cos2t-1≤0,顯然有P1(t)>0,當(dāng)6cos6t-21cos4t+10cos2t-1>0,欲證P1(t)>0,只需證明

由引理7,只需證明

等價(jià)于證明

由引理10(Ⅳ),上式成立.

綜合上述四類討論,可得P1(t)在t∈(0,tan-1π/2)上存在唯一實(shí)根t0,且t0落在區(qū)間(0.4,0.5)上,借助于maple數(shù)學(xué)軟件可求t0≈0.468 77.則當(dāng)t∈(0,t0),P1(t)<0,p′(t)<0,p(t)單調(diào)遞減,當(dāng)t∈(t0,tan-1π/2),P1(t)>0,p′(t)>0,p(t)單調(diào)遞增.從而p(t)≥p(t0).

證明作代換t=2x,則等價(jià)于證明q(α,x)=xα[cos2xtan(tanx)]-1關(guān)于x在(0,tan-1π/2)上單調(diào)遞減,又

結(jié)合引理11得

綜上,引理12得證.

2主要結(jié)果及證明

證明

其中

注意到

當(dāng)m≥0,由引理6可得t-mg(t)在(0,+)上單調(diào)遞減,則

當(dāng)m<0,計(jì)算得

顯然ΔM(x,y)在(0,+)2上符號不恒定,從而M(x,y)不是(0,+)2上Schur-m階冪凹(凸)函數(shù).

綜上,定理2得證.

證明

其中

結(jié)合引理12得

從而當(dāng)且僅當(dāng)m≥1-p(t0)時(shí),H(x,y)關(guān)于(x,y)在(0,2tan-1π/2)2上Schur-m階冪凹.

對任意m∈R,計(jì)算得

顯然不存在m<1-p(t0)使得對任意(x,y)∈(0,2tan-1π/2)2恒有ΔH(x,y)≥0,從而H(x,y)不是(0,2tan-1π/2)2上Schur-m階冪凸函數(shù).

綜上,定理3得證.

令定理3中m=1可得

推論2H(x,y)為(0,2tan-1π/2)2上Schur-凹函數(shù).

由推論2并結(jié)合定義2及引理5可得

推論3對于(x,y)∈(0,2tan-1π/2)2,x≤y,1/2≤t2≤t1≤1或0≤t1≤t2≤1/2,有

H(t1y+(1-t1)x,t1x+(1-t1)y)≥H(x,y).

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收稿日期：2015-12-15

作者簡介：何燈,男,福建福清人,福建省福清第三中學(xué)教師,全國不等式研究會成員.

中圖分類號：O122.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0030-09

The Schur Power Convexity for Two Special Mean

HE Deng

(Number 3 Middle School， Fuqing， Fujian， 350315， P.R.China)

Abstract:Based on the mathematical software-Maple and polynomial discrimination system, we study two special mean about trigonometric functions and hyperbolic functions.We give the necessary and sufficient conditions for the judgment.

Key words:Schur convexity; Schur power convexity; trigonometric functions; hyperbolic functions; polynomial discrimination system