惠　萍，朱　興

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系, 廣東 廣州 510303)

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愛因斯坦的等效原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

惠萍，朱興

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系, 廣東 廣州 510303)

摘要:形象地描述愛因斯坦《廣義相對(duì)論》中的等效原理，引入引力場(chǎng)的概念. 通過非慣性系中的浮力現(xiàn)象和非慣性參照系中的力的平衡的案例，來描述愛因斯坦《廣義相對(duì)論》中的等效原理在這些實(shí)際問題中的應(yīng)用. 在非慣性系中，應(yīng)用了愛因斯坦的等效原理，使一些在慣性參照系看起來很復(fù)雜的問題變得很容易解決.

關(guān)鍵詞:廣義相對(duì)論；等效原理；非慣性參照系

0引言

1915年12月2日愛因斯坦發(fā)表了《廣義相對(duì)論》，在紀(jì)念這篇論文發(fā)表100周年的日子，引力波又被探測(cè)到，廣義相對(duì)論被認(rèn)為是人類認(rèn)識(shí)大自然最偉大的成果，為了紀(jì)念這一偉大理論的誕生，最近也有一些文章介紹了廣義相對(duì)論的發(fā)展歷程和愛因斯坦廣義相對(duì)論的偉大貢獻(xiàn)[1-6]，包括愛因斯坦提出的慣性質(zhì)量同引力質(zhì)量相等、光速不變?cè)?、廣義相對(duì)性原理、馬赫原理和等效原理，說明了等效原理在分析引力場(chǎng)中時(shí)間延緩, 星光譜線的引力紅移和光線偏轉(zhuǎn)等問題上的應(yīng)用. 在人們腦海里，覺得相對(duì)論很偉大，但就像引力波一樣，人們對(duì)相對(duì)論卻看不見，摸不著，它好像離我們很遙遠(yuǎn)，因?yàn)樗惶菀妆焕斫夂驼J(rèn)識(shí)，因此人們對(duì)其也就敬而遠(yuǎn)之. 如果能把廣義相對(duì)論的原理用于解決我們身邊的生活實(shí)際問題就好了，為了這個(gè)目的和科學(xué)普及，作者懷著對(duì)愛因斯坦最崇敬的心情寫了這篇短文，一是表達(dá)對(duì)愛因斯坦最崇高的敬意，二是向老師和學(xué)生推廣相對(duì)論基本原理的應(yīng)用. 因?yàn)椋瑹o論在高中物理和大學(xué)的普通物理中，愛因斯坦廣義相對(duì)論的等效原理都沒有介紹給學(xué)生，更談不上應(yīng)用. 眾所周知，任何科學(xué)成果都是為人類服務(wù)的，我們應(yīng)循序漸進(jìn)地、深入淺出地把《廣義相對(duì)論》的內(nèi)容介紹給青少年，讓他們盡早接觸近代物理思想，啟發(fā)青少年的思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力. 愛因斯坦16歲就開始思考牛頓時(shí)空觀的缺陷，26歲發(fā)表狹義相對(duì)論，36歲發(fā)表廣義相對(duì)論. 這個(gè)例子讓我們堅(jiān)信青少年的思維能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)具有強(qiáng)大的空間. 本文談?wù)剱垡蛩固沟牡刃г碓趯?shí)際問題中的應(yīng)用.

1愛因斯坦的等效原理

在中學(xué)或大學(xué)物理中，我們習(xí)慣在慣性參照系解題，因?yàn)樵诜菓T性參照系中，牛頓定律不適用；但在實(shí)際生活中，非慣性參照系的物理問題更為普遍，老師和同學(xué)們都必須面對(duì)和解決. 為了解決非慣性參照系的物理問題，首先介紹一下愛因斯坦的等效原理.

為了理解等效原理，先做實(shí)驗(yàn)一，如圖1所示，密閉裝滿水的透明玻璃管里放一乒乓球，乒乓球直徑小于玻璃管的內(nèi)徑，將玻璃管固定在轉(zhuǎn)盤上，轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，乒乓球剛好在玻璃管的中間，當(dāng)圓盤繞軸OO′軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，問：乒乓球最后停留在什么位置？

圖1圖2圖3O′O

按照生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可能會(huì)猜想：乒乓球受到慣性離心力的作用，沿著玻璃管向外移動(dòng).而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：乒乓球沿著玻璃管向軸方向移動(dòng)，靠在軸的位置停住. 對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，解釋起來很費(fèi)勁，也很難解釋清楚. 而用愛因斯坦的等效原理就很容易回答這個(gè)問題了.

愛因斯坦的等效原理：在無限小的體積中均勻的引力場(chǎng)完全可以代替加速運(yùn)動(dòng)的參照系. 為了說明這個(gè)原理，再做實(shí)驗(yàn)二，設(shè)重力加速度為g，在相對(duì)地面靜止的升降機(jī)里用一彈簧秤測(cè)量一物體的重量為1.0N，當(dāng)升降機(jī)以加速運(yùn)動(dòng)a=g向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察到升降機(jī)里的彈簧秤重量示數(shù)為2.0N，假如升降機(jī)里的人不知道升降機(jī)已經(jīng)啟動(dòng)，看到彈簧秤重量示數(shù)為2.0N時(shí)，還以為地球的引力增加了一倍. 這個(gè)例子說明，以升降機(jī)為參照系，以加速運(yùn)動(dòng)a=g向上運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)(非慣性參照系)等效一個(gè)向下的引力場(chǎng)(重力場(chǎng)).這就是愛因斯坦提出的封閉空間的說法，在一封閉空間中的觀察者，不管用什么方法也無法確定他究竟是靜止于一個(gè)引力場(chǎng)中，還是處在沒有引力場(chǎng)卻在作加速運(yùn)動(dòng)的空間中， 這也是解釋等效原理最通俗的說法. 再直觀地說：在任何一個(gè)時(shí)空點(diǎn)上 ，加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)參考系與重力加速度為a的重力場(chǎng)是等價(jià)的，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，重力場(chǎng)的方向與加速度a的方向相反.

等效原理是廣義相對(duì)論的第一個(gè)基本原理，也是整個(gè)廣義相對(duì)論的核心. 愛因斯坦于1911年注意到這一規(guī)律，1915年正式以原理的形式提出來. 現(xiàn)在嘗試用這個(gè)基本原理解釋和解決非慣性參照系中的一些物理現(xiàn)象和物理問題.

2愛因斯坦的等效原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

2.1非慣性系中的浮力現(xiàn)象

下面應(yīng)用等效原理，解釋實(shí)驗(yàn)一(如圖1所示)的物理現(xiàn)象，圓盤旋轉(zhuǎn)有向心加速度，在這個(gè)非慣性系中，相當(dāng)于圓盤上的物體受到一個(gè)沿著徑向向外的引力場(chǎng)，水和乒乓球受引力場(chǎng)的作用，使得水沿徑向向外的壓強(qiáng)越來越大，乒乓球除了受引力場(chǎng)的作用外，還受到沿著徑向向內(nèi)浮力的作用，因?yàn)槠古仪蛩艿降囊?chǎng)所產(chǎn)生的浮力大于所受到的引力場(chǎng)的引力，乒乓球一定是向OO′軸方向運(yùn)動(dòng)，直到靠近軸的位置被軸擋住. 用愛因斯坦的等效原理就很容易回答這個(gè)問題了.

接下來做實(shí)驗(yàn)三，如圖2和圖3所示，在封閉車廂的頂部和底部，分別用細(xì)線連一鐵球(質(zhì)量為M)和一乒乓球(質(zhì)量為m). 以車廂為參考系觀察下列實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象并回答問題：

(i)如圖2所示，首先讓車廂相對(duì)于地面靜止，由于重力作用，鐵球自然下垂，乒乓球在車廂底面不動(dòng). 當(dāng)車廂以加速度a向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示， 連接鐵球的細(xì)線向左偏轉(zhuǎn)α度角，乒乓球在車廂底面向左滑動(dòng)把線拉直. 問偏轉(zhuǎn)角α是多少？乒乓球所受到細(xì)線的拉力是多少？

用等效原理來解釋上述現(xiàn)象：以加速a向右運(yùn)動(dòng)的車廂是非慣性參考系，以運(yùn)動(dòng)的車廂為參照系，當(dāng)車廂里的其他物體的狀態(tài)穩(wěn)定時(shí)，鐵球如同受到一個(gè)向左的引力場(chǎng)的作用，所受引力大小為Ma，鐵球同時(shí)受垂直向下的力Mg和向左的引力Ma作用，因此α=arctan(a/g)，乒乓球所受垂直向下的重力和廂底對(duì)它支持力平衡，因此，乒乓球所受到的細(xì)線的拉力(近似水平方向)等于乒乓球受到向左的引力場(chǎng)的引力ma.

(ii)如圖4所示，保持車廂相對(duì)于地面靜止，使車廂充滿水，在重力場(chǎng)作用下，鐵球仍然下垂，乒乓球卻浮起. 問：當(dāng)車廂以加速度a持續(xù)向右運(yùn)動(dòng)的過程中，如果車廂里連接鐵球的細(xì)線向左偏θ度角，問θ角與圖3的α角哪個(gè)大？連接乒乓球的細(xì)線如何偏轉(zhuǎn)？細(xì)線偏轉(zhuǎn)度角是多少？

很多學(xué)生憑感覺，認(rèn)為水有阻力，猜想θ<α；認(rèn)為乒乓球有慣性，連接乒乓球的細(xì)線會(huì)向左偏轉(zhuǎn)，然而事實(shí)并非如此. 我們用等效原理來解決上述問題：如圖5，當(dāng)車廂里的水達(dá)到平衡時(shí)，以加速a向右行運(yùn)動(dòng)的車廂是非慣性參考系，我們可以用一個(gè)向左的引力場(chǎng)(引力場(chǎng)加速度為a)來代替非慣性參考系，鐵球受垂直向下的重力Mg和向左的引力Ma. 同時(shí)鐵球受向上的浮力和向右的浮力分別為 ρ水V鐵球g和ρ水V鐵球a， 由于鐵的密度大于水的密度，所以，系鐵球的細(xì)線仍然以θ=arctan(a/g)度向左偏，即θ=α. 同理，由于乒乓球所受浮力的合力大于它所受到的引力的合力，連接乒乓球的細(xì)線發(fā)生偏轉(zhuǎn)，角度為-arctan(a/g).這一現(xiàn)象如果用慣性力(假想力)來解釋，無法解釋清楚，而且會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生疑問：一個(gè)假想力怎么能在液體里產(chǎn)生壓強(qiáng)差？文獻(xiàn)[7]在討論這個(gè)問題時(shí)，試圖解釋乒乓球的“反常”現(xiàn)象 ，但是，由于液體從一個(gè)平衡態(tài)變化到另一個(gè)平衡態(tài)的過程很復(fù)雜，最終還是沒有解釋得很清晰.

圖4圖5圖6

實(shí)驗(yàn)四，如圖6所示，水平地面有一小車，固定一個(gè)盛水的魚缸，當(dāng)小車以加速度a向右運(yùn)動(dòng)，求水面傾斜角和水箱里左邊h深度處的壓強(qiáng).

利用愛因斯坦的等效原理，以運(yùn)動(dòng)的小車為參考系，水除受重力外，還受到向左的引力場(chǎng)的引力，引力加速度為a，當(dāng)小車?yán)锏乃_(dá)到平衡時(shí)，水面一定垂直兩個(gè)引力合力的方向，于是得到水面傾斜角為θ=arctan(a/g). 合引力場(chǎng)的引力加速度大小為：

在水中，平行于水面的任何一個(gè)面上的壓強(qiáng)都是相等的，所以水箱里左邊h深度處的壓強(qiáng)為

由此我們知道，在水中，平行于地面的任意平面上的壓強(qiáng)不再都相同了.

反過來思維，我們可以做下面的題目，如圖6所示，在水平地面上有一小車，透明魚缸里的水表面相對(duì)于地面傾斜角為θ，請(qǐng)問小車做的什么運(yùn)動(dòng)？乒乓球在水面做什么運(yùn)動(dòng)？

答：小車向右做加速度運(yùn)動(dòng)，加速度為

a=gtanθ,

乒乓球在水面上不動(dòng).

下面留一思考題給讀者：圓柱型桶里裝半桶水，使桶繞其圓柱中心軸快速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)水面穩(wěn)定時(shí)，水面形成什么形狀，有興趣的讀者可以嘗試計(jì)算水中不同位置的壓強(qiáng).

圖7

2.2非慣性系中的力的平衡

實(shí)驗(yàn)五，如圖7示，傾斜角為θ的三角形木塊固定在一小車上，一個(gè)質(zhì)量為m的小球在斜面上不動(dòng)，以小車為參考系，問小車向右運(yùn)動(dòng)的加速度a是多少？

利用愛因斯坦的等效原理，以小車為參考系, 小球除受重力mg外，還受到向左的引力場(chǎng)的引力ma , 二者合力方向垂直斜面，

tanθ=ma/mg,

a=gtanθ.

以上例子告訴我們，慣性系中的一些加速運(yùn)動(dòng)問題，可以轉(zhuǎn)換成非慣性系中的力的平衡問題，使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單. 希望更多的同學(xué)和老師在處理非慣性系問題時(shí)從中得到啟發(fā).

參考文獻(xiàn)：

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[7] 鄭太玉，王文濤. 高觀點(diǎn)下的中學(xué)物理探討[M]. 北京：高等教育出版社，2011:36.

收稿日期：2016-02-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10874122 )

作者簡(jiǎn)介：惠萍，女，吉林通化人，廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系教授.

中圖分類號(hào)：O4-3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0107-04

The Applications of Einstein EquivalencePrincipleinPracticalProblems

HUIPing,ZHUXing

(DepartmentofPhysicsandInformationEngineering,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou，Guangdong, 510303,P.R.China)

Abstract:We vividly describe the equivalence principle in Einstein’s "general theory of relativity", and introduce the concept of gravitational field. Through the cases of buoyancy phenomenon and force balance in non-inertial system, we describe applications of the equivalence principle of the Einstein’s "general theory of relativity" in these practical problems. In the non-inertial system, using the Einstein equivalence principle can help solve some problems more easily, which look more complicated in inertial system.

Key words:general relativity; equivalence principle; non-inertial reference system