林佩珠

(廣東第二師范學院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

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弧線足球的數(shù)字仿真

林佩珠

(廣東第二師范學院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

摘要:在現(xiàn)有文獻基礎上對弧線足球的研究進行了兩方面的改進:考慮了空氣阻力矩; 足球轉(zhuǎn)動軸不再局限于豎直方向. 這些改進使得本文所模擬的物理條件更接近實際，而且能夠比較各種不同初始角速度0的足球運動規(guī)律. 我們先推導出足球的動力學微分方程組, 進而用標準的數(shù)值方法求解微分方程組、給出足球飛行的動畫片. 選擇三種典型的初始角速度0進行了具體的數(shù)值研究, 數(shù)值結(jié)果表明：以相同的初速度0踢出足球, 對應于不同的初始角速度0, 足球的運動情況有明顯的差別. 對于相同的 m/s，當無旋轉(zhuǎn)ω0=0時，足球的軌跡是平常的拋體運動軌跡；當rad/s時，足球的軌跡是典型的香蕉球軌跡；當 rad/s時，足球的軌跡呈現(xiàn)出左右飄動的現(xiàn)象，類似于落葉球.

關鍵詞:足球；旋轉(zhuǎn)；馬格努斯效應；弧線球; 數(shù)字模擬

0引言

弧線足球是運動和學術界感興趣的話題. 文獻[1-3]從力學角度，對弧線足球進行受力分析，定性地解釋了弧線球的形成機制。實際上,弧線球的定性解析不算復雜：如果球在起飛前，對球施以足夠的旋轉(zhuǎn)，球就會沿著曲線飛行. 球旋轉(zhuǎn)時會帶著與它接觸的那部分空氣一起旋轉(zhuǎn)，形成一個跟球一起旋轉(zhuǎn)的附著空氣層，所以球的一側(cè)氣流運動速度比另一側(cè)的大. 根據(jù)流體力學原理，氣流運動速度較大一側(cè)的壓力較小、氣流運動速度較小一側(cè)的壓力較大. 球兩側(cè)壓力不同，使球的運動方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成弧線球.簡言之，弧線球是由于足球在飛行過程中存在自轉(zhuǎn)而引起的.但是，要定量計算出給定初始條件的具體運動規(guī)律卻是一個復雜的問題. 為了便于計算，文獻[4]和[5]做了一系列簡化，忽略了空氣阻力矩和豎直方向的空氣阻力，并限制轉(zhuǎn)動軸為豎直方向，這與實際情況有較大的差距；文獻[6]改進了文獻[4]和[5]的一個不足,考慮了豎直方向的空氣阻力.

本文在文獻[4-6]的基礎上進一步考慮空氣阻力矩,轉(zhuǎn)動軸也不再限制于豎直方向，使物理模型更加接近實際情況；用標準的數(shù)值方法求解動力學微分方程組，比較三種不同旋轉(zhuǎn)速度的足球的運動規(guī)律，并用動畫方式定量模擬弧線球的三維運動軌跡.

1動力學微分方程組

使飛行中自轉(zhuǎn)的球發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力稱為馬格努斯力，其大小和方向由下式給出[4-6]

(1)

即

(2)

解方程組(2)得

式中μ=η/I. 所以，式(1)可改寫成

(3)

(4)

把式(3)和式(4)及重力代入牛頓第二定律，得到足球動力學方程組：

(5)

2足球運動規(guī)律的數(shù)值模擬

kjiiijkω0kjω0V0V0V0

圖2　三種情況下足球軌跡在水平面內(nèi)的投影長劃線：無旋轉(zhuǎn)ω0=0；實線短劃線

1) 當ω0=0時，足球到達最高點的時間為0.836 95s、落地時間為1.811 3s、最大高度為4.097 4m，運動軌跡在xoy平面和yoz平面內(nèi)的投影分別如圖2和圖3的長劃線所示，軌跡在xoy平面的投影是一條直線，足球軌跡是垂直于地面的平面曲線.

圖3　三種情況下足球軌跡在yoz平面內(nèi)的投影細實線：出射方向; 長劃線：無旋轉(zhuǎn)ω0=0；粗實線短劃線

t=0.924111s024681012141618x/m302520151050543210y/mz/mt=1.81522s30252015105y/m0543210z/m024681012141618x/m圖4 當ω0=2i-2j+16k時,足球在最高點附近的位置以及所經(jīng)過的軌跡 圖5 當ω0=2i-2j+16k時,足球入網(wǎng)前夕的位置以及所經(jīng)過的軌跡

024681012141618x/mt=1.67435s109876543210z/m30252015105y/m045403530252015105y/m0454035109876543210z/m024681012141618x/mt=3.46416s圖6 當ω0=13i+0j+0k時,足球在最高點附近的位置以及所經(jīng)過的軌跡 圖7 當ω0=13i+0j+0k時, 足球落地的位置以及所經(jīng)過的軌跡

3結(jié)論

當無旋轉(zhuǎn)ω0=0時，足球的軌跡是平常的拋體運動軌跡；

109876543210z/m-12-7-23813182328y/m-10-8-6-4-202468x/mt=3.34869s

參考文獻：

[1] 徐慶玉，侯振福，楊懷英.對足球弧線球的力學分析及訓練[J].山東輕工業(yè)學院學報,1995,(4):69-70.

[2] 羅英和，馬碩章.淺談足球的弧線運動[J].南寧師范高等?？茖W校學報,2008(2):125-126.

[3] 王偉,劉欣.淺談“香蕉球”的力學原理[J].體育科技文獻通報，2008(3)：25,43.

[4] 葛隆祺，葉衛(wèi)軍. 足球旋轉(zhuǎn)球的運動規(guī)律[J]. 物理通報, 1999 (2):7-8.

[5] 馬濤. 數(shù)字化大學物理[M]. 浙江: 浙江大學出版社, 2008:116-119.

[6] 江俊勤. 基于Mathematica的數(shù)字化物理學[M]. 北京：科學出版社，2015:141-145.

收稿日期：2016-03-04

基金項目：廣東省高等學校物理專業(yè)綜合改革試點項目(XM060012物理學)

作者簡介：林佩珠，女，廣東揭陽人，廣東第二師范學院物理與信息工程系實驗師.

中圖分類號：O31；G846

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0063-05

The Digital Simulation of Banana Kick

LIN Pei-zhu

(Department of Physics and Information Engineering, Guangzhou University of Education,Guangzhou, Guangdong, 510303， P.R.China)

Abstract:On the basis of the existing literature about Banana kick research, we have made two improvements: Air resistance moment is considered; Football's rotation axis is no longer limited to the upright direction. So, the physical condition of the digital simulation in this paper is closer to the actual situation and the motion laws of the football in a variety of different initial angular velocity 0 can be compared. The dynamical differential equations of the football are derived, and then are solved by using standard numerical method. The animation of the football motion is given. In this paper, the numerical study about three typical initial angular velocity 0 was carried out. The results show that the motion of the football is obviously different with the same initial velocity0and different0. For m/s， the motion trajectory is a trajectory of the usually projectile motion when ω0=0; the motion trajectory is a typical trajectory of banana kick when rad/s; the motion trajectory shows a left fluttering-right fluttering phenomenon (similar to falling leaf) when rad/s.

Key words:football; rotation; Magnus effect; banana kick; digital simulation