劉保乾

(西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000)

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不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012典型應(yīng)用9例

劉保乾

(西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000)

摘要:收集了不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012的9個(gè)應(yīng)用實(shí)例.這些實(shí)例展現(xiàn)了agl2012程序的強(qiáng)大功能，為研究應(yīng)用提供現(xiàn)成的模板和參考.總結(jié)了軟件使用的策略和技巧，開啟了相應(yīng)的研究課題(一些課題內(nèi)容是首次提出的，如乘積型不等式的局部對(duì)稱式),精選了部分不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)新成果,提出了待解決的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞:不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)；agl2012程序；問(wèn)題

不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012[1-3]自問(wèn)世以來(lái)，經(jīng)過(guò)幾年的優(yōu)化、補(bǔ)充和完善，尤其是通過(guò)消化吸收使用者反饋的意見，使軟件日趨成熟.但如何進(jìn)一步提高發(fā)現(xiàn)不等式的質(zhì)量和效率，開發(fā)軟件潛能，仍存在不少挑戰(zhàn)和問(wèn)題.本文收集了軟件使用過(guò)程中積累的9個(gè)應(yīng)用實(shí)例,總結(jié)了軟件使用的策略和技巧，開啟了相應(yīng)的研究課題，提出了待解決的問(wèn)題.

以下約定ΔABC三邊為a,b,c，中線為ma,mb,mc，高為ha,hb,hc，角平分線為wa,wb,wc，旁切圓半徑為ra,rb,rc，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，半周為s.用∑表示循環(huán)和.

1對(duì)稱類型求和公式

文獻(xiàn)[4-6]中建立的對(duì)稱類型求和公式(如完全對(duì)稱求和dc，輪換對(duì)稱求和sgm，schur型求和schur，平方類求和pf，生成運(yùn)算類求和ston等)，是一類十分重要的求和類型，在多項(xiàng)式不等式研究中有許多應(yīng)用.

1.1研究有關(guān)對(duì)稱類型多項(xiàng)式線性空間的維數(shù)和基

這方面的應(yīng)用請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]等.

1.2給出有關(guān)對(duì)稱類型的具體表達(dá)式

由于3元多項(xiàng)式變?cè)^少，要寫出某種對(duì)稱類型的表達(dá)式，用肉眼觀察和手工書寫就可以完成.但對(duì)4元以上的多項(xiàng)式，雖然理論上寫出表達(dá)式通式很容易，但要具體把表達(dá)式書寫出來(lái)就比較困難，而給出具體的表達(dá)式，是機(jī)器證明研究的關(guān)鍵技術(shù)，也是平時(shí)研究和推廣不等式時(shí)經(jīng)常遇到的難題.

例1文獻(xiàn)[7]的第一作者在最初研究多元schur型多項(xiàng)式時(shí)，曾遇到書寫出5元schur型多項(xiàng)式(分拆基)的困難，當(dāng)時(shí)在中國(guó)不等式研究小組網(wǎng)站論壇向本文作者求助.事實(shí)上用schur型對(duì)稱類型求和公式schur或生成運(yùn)算型求和公式ston很容易得到(共30項(xiàng)).如由命令

>schur4(x1*(x1-x2)*(x1-x3));

可輸出表達(dá)式

x1(x1-x2)(x1-x3)+x3(x3-x2)(x3-x5)+x5(x5-x4)(x5-x2)+x1(x1-x5)(x1-x3)+

x3(x3-x5)(x3-x1)+x1(x1-x5)(x1-x4)+x5(x5-x2)(x5-x1)+x1(x1-x2)(x1-x5)+

x4(x4-x3)(x4-x5)+x5(x5-x4)(x5-x3)+x5(x5-x3)(x5-x2)+x3(x3-x4)(x3-x5)+

x5(x5-x1)(x5-x4)+x2(x2-x1)(x2-x5)+x4(x4-x2)(x4-x5)+x2(x2-x3)(x2-x5)+

x2(x2-x4)(x2-x5)+x4(x4-x5)(x4-x1)+x4(x4-x1)(x4-x2)+x3(x3-x1)(x3-x2)+

x1(x1-x3)(x1-x4)+x1(x1-x2)(x1-x4)+x4(x4-x1)(x4-x3)+x2(x2-x3)(x2-x1)+

x2(x2-x3)(x2-x4)+x4(x4-x2)(x4-x3)+x2(x2-x4)(x2-x1)+x3(x3-x4)(x3-x2)+

x3(x3-x4)(x3-x1)+x5(x5-x3)(x5-x1).

例2伊朗96年數(shù)學(xué)競(jìng)賽曾有題目：設(shè)x,y,z>0，證明

(1)

如何把不等式(1)向多元進(jìn)行推廣一直是人們關(guān)注的問(wèn)題.事實(shí)上，如果關(guān)注國(guó)外數(shù)學(xué)論壇http://artofproblemsolving.com就可以看到，有關(guān)推廣和加強(qiáng)不等式(1)的貼子不時(shí)會(huì)出現(xiàn)，且成為熱貼，但鮮有實(shí)質(zhì)性推廣者，根本原因是寫不出多元中相應(yīng)的表達(dá)式是什么？如果采用對(duì)稱類型求和公式很快就可以發(fā)現(xiàn)推廣式.

觀察(1)的形式，適合平方型對(duì)稱規(guī)律，現(xiàn)采用平方型求和公式pf.在不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012環(huán)境下，鍵入命令：

>bd∶=pf4(x1*x2)*pf4(1/(x1+x2));

>bd-tocsn(bd);

(2)

用差分代換法[8]易證不等式(2)成立.

1.3過(guò)濾對(duì)稱性重復(fù)數(shù)據(jù)

在對(duì)不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)結(jié)果進(jìn)行分析時(shí)，會(huì)遇到類似于x3+y3+z3-x2y-y2z-z2x≥0,x3+y3+z3-xy2-yz2-zx2≥0的結(jié)果，這兩個(gè)不等式本質(zhì)上是一樣的，需要過(guò)濾掉一個(gè)，文獻(xiàn)[9]中g(shù)ldccf函數(shù)就是利用對(duì)稱類型求和公式設(shè)計(jì)的.

1.4構(gòu)造配平方和數(shù)據(jù)

基于求線性方程組正數(shù)解程序lpsolve[10]的配平方和算法，本質(zhì)上是一種驗(yàn)證算法，需要預(yù)先構(gòu)造出分拆項(xiàng)[11]數(shù)據(jù).對(duì)一個(gè)給定的半正定多項(xiàng)式，如果構(gòu)造的配方數(shù)據(jù)沒(méi)有覆蓋到這個(gè)多項(xiàng)式所具有的配方形式，則配方可能會(huì)失敗.盡量地構(gòu)造大范圍的數(shù)據(jù)，其實(shí)是這種配平方算法的無(wú)奈之舉，也是這種算法的短處.另一方面，如果給出的配方數(shù)據(jù)量過(guò)大，則會(huì)因出現(xiàn)較多的方程而超出lpsolve的承解范圍.在構(gòu)造配平方和數(shù)據(jù)時(shí)，構(gòu)造出新的數(shù)據(jù)形式是很重要的.而對(duì)稱類型求和公式可以對(duì)此發(fā)揮獨(dú)特的作用.

文獻(xiàn)[12]定義了n元-t元對(duì)稱類型.對(duì)于3元，有3元-2元對(duì)稱求和公式

S3_2={f(x,y,z)+f(x,z,y),f(x,y,z)+f(z,y,x),f(x,y,z)+f(y,x,z)}

(3)

4元-3元對(duì)稱求和公式比較復(fù)雜，如果用手工書寫出來(lái)不僅麻煩而且還容易出錯(cuò).為了得到4元-3元或更多元的局部對(duì)稱求和公式，可用程序自動(dòng)生成，命令如下：

>f(t, x, y, z);

>subs(x=x1, y=x2, z=x3, dc3(%));

>k*%;

>(1/6)*dc4(%);

>op(%);

>ld ∶={op(subs(k=1, [%]))};

>temp ∶={}; for i to 4 do ls ∶=0; lv ∶=op(ld[i]); print(111, lv);

for j to nops([lv]) do ls ∶=ls+subs(t=op(′minus′(′minus′({x1, x2, x3, x4}, {op(lv[j])}), {t})), lv[j]) end do; temp ∶=′union′(temp, {ls}) end do;

執(zhí)行上述命令后，得到4元-3元對(duì)稱求和公式

S4_3=f(x1,x3,x2,x4)+f(x1,x2,x4,x3)+f(x1,x4,x3,x2)+f(x1,x4,x2,x3)+

f(x1,x3,x4,x2)+f(x1,x2,x3,x4),f(x2,x1,x4,x3)+f(x2,x4,x3,x1)+

f(x2,x3,x1,x4)+f(x2,x3,x4,x1)+f(x2,x1,x3,x4)+f(x2,x4,x1,x3),f(x3,x1,x4,x2)+

f(x3,x4,x2,x1)+f(x3,x2,x1,x4)+f(x3,x2,x4,x1)+f(x3,x1,x2,x4)+f(x3,x4,x1,x2),

f(x4,x1,x2,x3)+f(x4,x2,x3,x1)+f(x4,x3,x1,x2)+f(x4,x3,x2,x1)+

f(x4,x1,x3,x2)+f(x4,x2,x1,x3).

(4)

S4_2以至更多元的對(duì)稱類型求和公式，限于篇幅，本文暫不討論.

有了這些對(duì)稱求和公式，就可以編寫相應(yīng)的求和程序，對(duì)3元-2元對(duì)稱類型，求和程序?yàn)閑sgm.如鍵入命令esgm(x*(x+y)^2)，得

{x(x+y)2+x(z+x)2,x(x+y)2+y(x+y)2,x(x+y)2+z(y+z)2}.

調(diào)用esgm就可以編寫與3元局部對(duì)稱類型有關(guān)的配平方程序，如命令fcxtsfjyc7.

例3筆者曾想得到3元非齊次不等式f=∑(1+xy)(z2+xy)-∑x(x+y)(y+z)≥0的配平方和，但一直得不到結(jié)果.但用命令fcxtsfjyc7易得f=(1/2)∑(yz+xy-y-z)2.

1.5構(gòu)造不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)

對(duì)于agl2012程序來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)類型的構(gòu)造形式?jīng)Q定自動(dòng)發(fā)現(xiàn)結(jié)果的形式，所以構(gòu)造優(yōu)美工整的數(shù)據(jù)形式是十分重要的.利用上述esgm函數(shù)可以十分方便地構(gòu)造局部對(duì)稱數(shù)據(jù)，這些局部對(duì)稱數(shù)據(jù)與完全對(duì)數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，就可以產(chǎn)生新穎的混合型不等式結(jié)果.

例4鍵入命令：

>d0 ∶=glerdcyz(qjcs(glxs(toesgm(toesgm(dssj(3)))), 2));#調(diào)用了esgm函數(shù)#

>d1 ∶=tysjsgm(6);#構(gòu)造完全對(duì)稱型數(shù)據(jù)#

>zjbj_otfqdcs(d1, d0, 0, 0, 1, 1, 1, 1);#d1和d0中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果存入jg中#

>glcj(glag(gldccf(jg)));#對(duì)結(jié)果進(jìn)行初步過(guò)濾，取掉重復(fù)和平凡的#

執(zhí)行上述命令后可得到199個(gè)優(yōu)美的3元多項(xiàng)式不等式結(jié)果，如有不等式

(y+z)2(x2+yz)2≥(16/9)xyz∑x∑yz,∑xy5≥(3/4)(y+z)(x2+yz)xyz.

類似，易得4元不等式

(c+a)(b+d)(a2+c2+b2+d2)≥(16/9)d(a+b+c)(ab+bc+ac),

a4+c4+b4+d4≥(4/9)d(a+b+c)(a2+b2+c2).

如果沒(méi)有對(duì)稱類型求和公式，這類不等式是不容易被發(fā)現(xiàn)的.

2建立龐大的數(shù)據(jù)儲(chǔ)備，以便隨時(shí)查詢調(diào)用

用agl2012程序發(fā)現(xiàn)不等式，一個(gè)基礎(chǔ)條件是要構(gòu)造數(shù)據(jù).構(gòu)造的數(shù)據(jù)愈豐富，輸出的結(jié)果就愈多.如果把每次研究生成的數(shù)據(jù)按編號(hào)儲(chǔ)備起來(lái)，形成海量數(shù)據(jù)庫(kù)，這為今后的研究提供了極大的便利.這樣每次只要輸入感興趣的目標(biāo)表達(dá)式即可得到想要的結(jié)果.

>sjxmb0cfk (sqrt(cos(B)+cos(C)),1,10);#第1個(gè)參數(shù)1表示把發(fā)現(xiàn)的結(jié)果實(shí)時(shí)顯示#

執(zhí)行上述命令后，得到一個(gè)結(jié)果集，對(duì)這個(gè)結(jié)果集進(jìn)行過(guò)濾，就會(huì)得到需要的結(jié)果.如

用類似的方法還可得優(yōu)美不等式ma(4ra+rb+rc)≥2s2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c或2a2+ab-3b2+ac+2bc-3c2=0.

ka(rb+rc)≥(1/2)(b+c-a)(a+b+c)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c或a2-c2-b2=0.

3不等式結(jié)果的選取

面對(duì)成千上萬(wàn)的不等式發(fā)現(xiàn)結(jié)果，到底哪些更有意義一些呢？這是不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中經(jīng)常要面對(duì)的一個(gè)問(wèn)題.為此，agl2012程序設(shè)計(jì)了若干過(guò)濾器，這些過(guò)濾器的主要目的就是對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行選擇.下面再介紹兩種選擇方法，即平方選擇和最簡(jiǎn)集選擇.

3.1平方選擇

所謂平方選擇，就是用配平方和命令對(duì)輸出的結(jié)果進(jìn)行選擇，如果不能配出者，則保留；同時(shí)對(duì)能夠配出平方者，選擇簡(jiǎn)潔優(yōu)美的留下來(lái).這兩部分保留下來(lái)的結(jié)果，就是平方選擇的結(jié)果，即從配平方的角度，把輸出結(jié)果中有價(jià)值的不等式挑選出來(lái).

平方選擇程序的算法可從兩方面入手：一是考察配平方和結(jié)果中的項(xiàng)數(shù)，如果項(xiàng)數(shù)較少，如剛好是3項(xiàng)，則認(rèn)為是簡(jiǎn)潔的；二是從結(jié)果表達(dá)式字符長(zhǎng)度的數(shù)值來(lái)考慮，如果字符的長(zhǎng)度比較小的話，則認(rèn)為是比較簡(jiǎn)單的.由此可以設(shè)計(jì)出平方選擇程序.

例6試建立3元6次多項(xiàng)式不等式，并按平方選擇輸出比較有價(jià)值的結(jié)果.

解鍵入命令：

>df∶=tysjsgm(6);#產(chǎn)生6次對(duì)稱或輪換對(duì)稱多項(xiàng)式，并置入變量df中#

>zjbj_otfqdcs(df,df,0,0,1,1,1,1,1);#對(duì)df中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，比較結(jié)果置入變量jg中#

>dd∶=gldccf(glcj(glag(jg)));#對(duì)jg中的結(jié)果進(jìn)行初步過(guò)濾，包括a-g平凡過(guò)濾，積性過(guò)濾，以及對(duì)稱性重復(fù)過(guò)濾#

>bf∶=gldj(dd);#進(jìn)行等價(jià)性過(guò)濾，經(jīng)以上過(guò)濾后，bf中還有710個(gè)多項(xiàng)式#

>azkc(bf, 6, 1, 20, 2)；#用配平方命令對(duì)bf進(jìn)行選擇，配出來(lái)的結(jié)果在tte變量中,沒(méi)有配出來(lái)的多項(xiàng)式在temp變量中#

注意azkc命令的格式是azkc(ex,n,t,cd,dx) ，其中ex是欲配方的多項(xiàng)式集，n是分拆項(xiàng)中基本項(xiàng)的次數(shù)，t是對(duì)數(shù)據(jù)取差運(yùn)算的重?cái)?shù)，cd是分拆項(xiàng)的字符長(zhǎng)度數(shù)值，dx是形如(xy+yz-tzx)2的附加項(xiàng)[13]中t的取值上限.一般開始選擇時(shí)參數(shù)的值取的比較小，目的是為了構(gòu)造較小的分拆項(xiàng)集參與平方分拆，以快速排除容易配平方者，大幅度縮小搜索范圍.

>pfgl(tte);#挑選比較優(yōu)美的配平方式#

這樣可得到一批選擇結(jié)果，如有配平方式

(xy+xz+yz)(x2y2+y2z2+x2z2)-3xyz(xy2+yz2+zx2)=∑(y-z)2zx3.

繼續(xù)選擇.鍵入命令:

>bf∶=temp;#把還沒(méi)有配出來(lái)的多項(xiàng)式備份到變量bf#

>azkc(bf, 6, 1, 70, 6)；#開始對(duì)bf中的多項(xiàng)式進(jìn)行平方選擇，注意此時(shí)參數(shù)開始增加#

>pfgl(tte);#挑選比較優(yōu)美的配平方式#

如有配平方式

(xy+xz+yz)(xy3+yz3+zx3)-(x+y+z)(x2+y2+z2)xyz=(1/2)∑(yz-x2)2z2.

>bv∶=temp;#bv中還有49個(gè)未配出者#

>azkc(bv, 6, 2, 70, 6);#這里設(shè)置的參數(shù)構(gòu)造的分拆項(xiàng)集中的數(shù)據(jù)已經(jīng)達(dá)到911個(gè)，此時(shí)配方速度明顯變慢#

本輪配方后，簡(jiǎn)潔的配平方結(jié)果不多.temp變量中還剩余11個(gè)沒(méi)有配出.

>azkcall(temp, 6, 1, 70, 6);#用新的命令對(duì)剩余的多項(xiàng)式進(jìn)行平方選擇#

經(jīng)上述選擇后，還有4個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有配出來(lái).最后用命令afcxtsfj(temp, 4, 2, 5, 7, 50)繼續(xù)配方，結(jié)果配出來(lái)了3個(gè)，如

(y+z)(z+x)(x+y)(x3+y3+z3)-(8/9)(x+y+z)(x2+y2+z2)(xy2+yz2+zx2)=

(1/9)∑(2y-3x+z)2x2y2+(1/9)∑(2z-x-y)2z3x+(1/12)∑(z2-x2-2yz+2xz)2yz+(1/54)∑(3x2-2y2-2xz+z2)2yz+(1/108)∑(3x2-2y2-2xy+z2)2yz+(1/9)∑(2y2-3xz-yz+2xy)2yz.

(5)

剩下最后一個(gè)沒(méi)有配出平方的不等式是

(xy2+yz2+zx2)(x2y+y2z+z2x)≥(x+y+z)(x2+y2+z2)xyz.

(6)

可以說(shuō)，(6)是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性且又很優(yōu)美的不等式問(wèn)題.

由例6的解題過(guò)程可以看出，平方選擇作為一種選擇方式和標(biāo)準(zhǔn)，有其獨(dú)特的意義：一方面可以篩選出簡(jiǎn)潔優(yōu)美的配平方式；另一方面，對(duì)“還沒(méi)有配出平方者”作為問(wèn)題提出，能夠增加問(wèn)題的難度和吸引力.當(dāng)然，對(duì)一些已經(jīng)配出來(lái)的但形式復(fù)雜的配平方結(jié)果，如(5)式，仍可以作為問(wèn)題提出來(lái)，那就是如何簡(jiǎn)化它的配方形式，或者給出其他方法的證明.

3.2最簡(jiǎn)集選擇

由文獻(xiàn)[14]知，一個(gè)集合Q的最簡(jiǎn)集Z1，其實(shí)就是這個(gè)集合的最佳不等式集.將Z1從Q中取出，得到集合Q1，求Q1的最簡(jiǎn)集Z2，Z2其實(shí)就是集合Q的次佳不等式集.如此做下去，就可以對(duì)集合Q中所有不等式進(jìn)行排隊(duì).3元不等式集的排隊(duì)命令是jqbest.

例7用jqbest命令對(duì)例6中bf變量中的710個(gè)不等式進(jìn)行排隊(duì)，可由強(qiáng)到弱得到若干不等式分組，第1組中的部分不等式是

這樣由強(qiáng)到弱把不等式結(jié)果進(jìn)行排序是有意義的，即使把不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)命令作為出題工具也應(yīng)如此.因?yàn)閺慕虒W(xué)角度看，不同學(xué)習(xí)階段、不同層次的學(xué)生需要不同強(qiáng)度的題目，這樣的分組排序無(wú)疑使出題者心里更有數(shù)，針對(duì)性也更強(qiáng).

4乘積型不等式的局部對(duì)稱形式

所謂乘積型不等式，是指不等式的一邊是循環(huán)積，另一邊是對(duì)稱式，即形如f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)≥(≤)g(x,y,z)的不等式，其中g(shù)(x,y,z)必須是對(duì)稱式或常數(shù).如不等式8cosAcosBcosC≤1就是三角形中的乘積型不等式.不等式9(x+y)(y+z)(z+x)≥8(x+y+z)(xy+xz+yz)也可以看作是乘積型不等式.

如果對(duì)一個(gè)非對(duì)稱的不等式兩邊取循環(huán)積，得到一個(gè)對(duì)稱不等式，則這個(gè)非對(duì)稱的不等式為這個(gè)對(duì)稱不等式的乘積型局部對(duì)稱不等式.

解鍵入命令：

>vv ∶=jxjbdc(′union′(qhcs(yc, 1), qhcs(lc, 1)));

>bv ∶=gldccftg(qjcss(bc3g({sin((1/2)*A)}), 3));

(或 bv ∶=gldccftg(qjcss(bc3g({cos((1/2)*A)}), 3)));

>bbv ∶=′minus′(bv, gldc3(bv));

>zjbj_otfqdcs(bbv, vv, 0, 1, 1, 1, 2);

易得

有些不等式表面上看不是乘積型不等式，但可以通過(guò)恒等變形化為乘積型不等式，從而得到其乘積型局部對(duì)稱不等式.

是否每一個(gè)乘積型不等式都存在相應(yīng)的乘積型局部對(duì)稱不等式？這個(gè)問(wèn)題值得探討。

5利用特殊取等號(hào)條件驗(yàn)證最佳值

在用agl2012程序研究不等式時(shí)常常需要確定最佳值或最佳系數(shù)，而優(yōu)秀機(jī)器證明軟件Bottema在確定最佳值時(shí)有獨(dú)特優(yōu)勢(shì).但對(duì)一些不等式，用Bottema軟件確定最佳值時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，甚至不可能求解，在此情況下可以利用特殊取等號(hào)條件對(duì)不等式進(jìn)行減元，以提高運(yùn)算速度，從而改善Bottema軟件性能.

5.1對(duì)稱不等式的最佳值

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，不少對(duì)稱的不等式在取得最佳值時(shí)，等號(hào)成立的條件中往往有多個(gè)變?cè)嗟?那么反過(guò)來(lái)，在令一些變?cè)嗟葧r(shí)也可能會(huì)求得最佳值，這樣就可以嘗試性地解決一些難度甚大的問(wèn)題.

對(duì)于3元對(duì)稱不等式，在用Bottema求最佳值時(shí)，可令其中的兩個(gè)變量相等；4元時(shí)可令3個(gè)變?cè)嗟?等求出最佳值后再用Bottema進(jìn)行驗(yàn)證.

例10a,b,c,d>0，求最小k，成立不等式

解鍵入命令：

(7)

網(wǎng)友a(bǔ)rqady已證明不等式(7)成立(http://artofproblemsolving.com/community/c6t243f6h1217059_xyzgt0prove_that).

類似可發(fā)現(xiàn)三角形中的最佳不等式

(8)

由于不等式(8)兩邊都含有根式型幾何量，Bottema軟件對(duì)(8)式難以進(jìn)行判定，(8)的局部對(duì)稱不等式也不易求得.由于還沒(méi)有軟件能夠判定(8)式，故探討(8) 式的解答很有意義.

5.2輪換對(duì)稱不等式的最佳值

對(duì)輪換對(duì)稱不等式，可令一個(gè)變量為零求最佳值.

解由命令sgm(ma/(a+b)) >=k; xmax(subs(x=0, aptoxp(%)), [], k)容易得到不等式

(9)

又用Bottema軟件判定(9)式成立，從而得到最佳不等式(9).

注意：如果直接用Bottema的cmax命令，無(wú)法求解例10和例11中的問(wèn)題，由此可見這里介紹的嘗試性方法是有實(shí)際意義的，且具有某種不可替代的優(yōu)點(diǎn).

6三角形中的倍角不等式

在Maple系統(tǒng)中，expand命令可以將倍角三角函數(shù)展開，這個(gè)功能為自動(dòng)發(fā)現(xiàn)倍角三角形不等式帶來(lái)了極大的便利.了解到這一點(diǎn)，在agl2012環(huán)境下，許多優(yōu)美且很強(qiáng)的倍角三角形不等式被源源不斷地發(fā)掘出來(lái).

例12在ΔABC中，容易發(fā)現(xiàn)優(yōu)美倍角三角形不等式

cos 3A+cos 3B+cos 3C+8(cosA+cosB+cosC)≥9,

1≥cos 3Bcos 3C+cos 3Acos 3C+cos 3Acos 3B+2cos 3Acos 3Bcos 3C.

網(wǎng)友a(bǔ)rqady已給出證明.

經(jīng)驗(yàn)證有不等式

g(t)≥0(t=1,5,7,11,13).

(10)

不等式(10)值得研究，這不僅因?yàn)樗鼉?yōu)美的形式，而且當(dāng)t>1時(shí)，不等式(10)對(duì)應(yīng)的g(t)代數(shù)化后總是差分代換非平凡的，用其他方法證明難度也很大.另外，當(dāng)t取奇素?cái)?shù)時(shí)(10)好像成立？

7取補(bǔ)后成立的輪換對(duì)稱不等式

如果兩個(gè)同次的輪換對(duì)稱多項(xiàng)式之和恰好是一個(gè)對(duì)稱式，則稱這兩個(gè)輪換對(duì)稱式是互補(bǔ)的.一個(gè)輪換對(duì)稱式如果用f(x,y,z)表示，則它的補(bǔ)式必是f(x,z,y).

筆者在論壇http://artofproblemsolving.com上經(jīng)常看到這樣一類不等式：雖然輪換對(duì)稱不等式f(x,y,z)≥0不成立，但f(x,y,z)+f(x,z,y)≥0成立.利用程序可以將此類不等式找出來(lái)(由于算法很簡(jiǎn)單，這里不作討論).

例14鍵入命令 dd ∶=tysjsgm(5)，lhbclbua(dd, dd)， gldj3(glag(glcj(gldccf(ls))))，則輸出8個(gè)優(yōu)美的多項(xiàng)式不等式，如

(x+y+z)(x2y2+y2z2+x2z2)≥(1/2)∑yz∑yz(y+z),

x2y2(x+y)+y2z2(y+z)+z2x2(z+x)≥2(x2+y2+z2)xyz.

對(duì)于4元不等式，如何求補(bǔ)才能由輪換對(duì)稱式得到完全對(duì)稱式?此時(shí)可以考慮相應(yīng)的對(duì)稱類型求和公式.

例15有4元不等式(3/2)(ac+bd)(a2+c2+b2+d2)≥(bc+ad)(ab+cd)+(bc+ad)(ac+bd)+(ac+bd)(ab+cd).

(11)

不等式(11)十分優(yōu)美.

8擴(kuò)展Si類不等式

文獻(xiàn)[13]提出了擴(kuò)展Si類多項(xiàng)式.最近，筆者借助于Bottema軟件發(fā)現(xiàn)了若干3元非平凡擴(kuò)展Si類多項(xiàng)式，如

66(x+y+z)2(x2+y2+z2)-216(x+y+z)(x3+y3+z3)-31(x+y+z)4+

216(x+y+z)(xy2+yz2+zx2)+243(x4+y4+z4)≥0,

筆者把不等式(12)等發(fā)到http://artofproblemsolving.com論壇后，網(wǎng)友Nguyenhuyen_AG和文獻(xiàn)[10]作者分別對(duì)其進(jìn)行了解答，得到(12)的兩種配方結(jié)果

∑(31x2-31y2-36xy+68yz-32zx)2≥0,∑(x-2y+z)2(11x+2y-7z)2≥0.

這兩種配方結(jié)果實(shí)際上給出了擴(kuò)展Si類不等式的2種不同構(gòu)型.通過(guò)這些構(gòu)型就可以編寫發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展Si類不等式程序.現(xiàn)采用第2個(gè)配方式所具備的構(gòu)型.其基本思路是：設(shè)擴(kuò)展Si類多項(xiàng)式f(x,y,z)可表示為

f(x,y,z)=g(x,y,z)2+g(y,z,x)2+g(z,x,y)2.

則令g(x,y,z)=0,g(y,z,x)=0,g(z,x,y)=0，并解這個(gè)方程組.如果這個(gè)方程組有不相等的正數(shù)解，則f(x,y,z)≥0就是擴(kuò)展Si類不等式.如對(duì)3元4次情形，可取

g(x,y,z)=(k1x+k2y-(k1+k2)z)(k3x+k4y+k5z),

(13)

以系數(shù)ki為循環(huán)變量建立方程組，逐次驗(yàn)證從而得到具體算法，由此可編寫擴(kuò)展Si類不等式驗(yàn)證程序.

例16鍵入命令equaons4c(-2,2)，可輸出12個(gè)3元4次擴(kuò)展Si類不等式，如有

(14)

如果將(13)式改為

g(x,y,z)=(k1x+k2y-(k1+k2)z)2(k3x+k4y+k5z)2(k6x+k7y+k8z),

(15)

則可得到驗(yàn)證3元5次擴(kuò)展Si類不等式的程序equaons4c，用這個(gè)程序可發(fā)現(xiàn)形如

(16)

的眾多3元5次擴(kuò)展Si類不等式.可以看出，(16)式已不像(14)式那樣是平凡非負(fù)的，因而很有意義.試給出不等式(16)的證明.另外，有如下對(duì)稱的3元4次擴(kuò)展Si類不等式：

擴(kuò)展Si類不等式因其特殊的取等號(hào)條件，是一類很強(qiáng)的不等式，人們已經(jīng)認(rèn)知的此類不等式還不太多，但現(xiàn)在可以成批產(chǎn)生了.限于篇幅，4元擴(kuò)展Si類不等式的討論此略.

9用公式建立局部對(duì)稱不等式

對(duì)于條件不等式，如約束條件為xyz+xy+yz+zx=4的不等式，2次的特征數(shù)據(jù)公式可表示為

因?yàn)橛蓷l件知xyz,xy,yz,zx也是不等式的特征數(shù)據(jù).

特征數(shù)據(jù)公式的次數(shù)越高，則搜索空間越大，得到局部對(duì)稱不等式的可能性就越大.但代價(jià)也是很高的.實(shí)際驗(yàn)證表明，當(dāng)循環(huán)變量個(gè)數(shù)超過(guò)8時(shí)，搜索一遍的時(shí)間明顯延長(zhǎng)，如果再增加系數(shù)變化范圍，那將是不可接受的代價(jià).為此可嘗試借助三角形解決這個(gè)問(wèn)題.

例17 Vasc的一個(gè)著名不等式是(http://artofproblemsolving.com/community/c6t243f6h1215102_i_get_it21)

(17)

解對(duì)于不等式(17)，將特征數(shù)據(jù)公式取為T1,T2和T3，經(jīng)驗(yàn)證均沒(méi)有得到解.為此可將(17)等價(jià)地變?yōu)槿切尾坏仁?可令x=s-a,y=s-b,z=s-c)，用命令xtos實(shí)現(xiàn).命令為：

>read “d:/sjxbzyz.txt”;#打開三角形幾何量數(shù)據(jù)庫(kù)#

>df∶=%;#將數(shù)據(jù)置入變量df#

>mmb∶=xtos(sqrt(x/4*x^2+5*y*z)));#將(17)式中局部項(xiàng)轉(zhuǎn)化為三角形幾何量#

>zjbj_otfqdcs({mmb},df,0,0,1,1,1,1);#在庫(kù)中進(jìn)行搜索#

執(zhí)行上述命令后輸出若干結(jié)果，用glzdpfdeg找出次數(shù)最低者(為10次)，并用aptoxp命令將其化為代數(shù)不等式，得

(17′)

(17′)就是不等式(17)的局部對(duì)稱不等式，且容易配平方證明.

文獻(xiàn)[16]指出：三角形是3 元代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)模型，例17再次說(shuō)明，如果能夠善于應(yīng)用這種模型，則可能會(huì)解決較復(fù)雜的問(wèn)題.

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收稿日期：2016-02-24

作者簡(jiǎn)介：劉保乾，男，陜西鳳翔人，西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心工作人員.

中圖分類號(hào)：O 122.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0013-10

9 Typical Examples in Inequality’s Program Agl2012 for Discovery and Decision

LIU Bao-qian

(Tibet Autonomous Region Information Management Center of Authorized Strength’s Organization, Lhasa, Tibet, 850000, P.R.China)

Abstract:There are 9 examples of application with inequality’s program Agl2012 for discovery and decision in this paper. These examples show the powerful function of software. On the one hand, it was provided for ready-made templates and reference for research and application. On the other hand, it was summarized for strategies and technique of software use. So some corresponding research subjects were proposed. Some research fields were initiated, for example, the local symmetry of product inequality. There are some new results and outstanding questions.

Key words:automated inequality discovering; program agl2012; question.