■張　揚(yáng)

知識(shí)“點(diǎn)”，方法“線(xiàn)”，思想“面”
——九年級(jí)《平面直角坐標(biāo)系中的“點(diǎn)”》專(zhuān)題復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)錄

■張揚(yáng)

（一）設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境，展示函數(shù)和平面直角坐標(biāo)系之間的關(guān)聯(lián)

師：同學(xué)們，今天我們一起來(lái)復(fù)習(xí)一下《平面直角坐標(biāo)系中的“點(diǎn)”》這節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容。

（教師先畫(huà)出如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)的位置）

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖中的信息，設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，并簡(jiǎn)述這個(gè)問(wèn)題的求解思路。

生1：求直線(xiàn)AB的解析式，用待定系數(shù)法求解。

師：是的。能否求出經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的解析式？

生1：不能，已知一點(diǎn)就可以確定雙曲線(xiàn)的解析式了。

師：那A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)所確定的雙曲線(xiàn)的解析式各是什么？

師：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在同一條雙曲線(xiàn)上時(shí)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)需具備什么條件？

生1：這兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積相等。

師：你能舉個(gè)例子嗎？

生1：如A（2，1）、B（1，2）或A（4，6）、B（6，4）等。

師：能確定經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式嗎？說(shuō)說(shuō)理由。

生2：不能，因?yàn)榉匠探M有無(wú)數(shù)個(gè)解，那么，經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)就有無(wú)數(shù)條。

師：何時(shí)經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（6，4）兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)只有一條呢？

生2：當(dāng)這兩點(diǎn)中的一點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的。

師：將“坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)”與“確定函數(shù)的解析式”之間的關(guān)系總結(jié)一下。

生2：（略）

【啟示】函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系緊密相連，學(xué)生很容易由平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)聯(lián)想到過(guò)點(diǎn)的函數(shù)圖像，然后利用待定系數(shù)法，構(gòu)建方程組求函數(shù)解析式，這也是學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的核心。

（二）定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)結(jié)合，展示數(shù)學(xué)問(wèn)題模型

師：回到圖1中，你們還能夠設(shè)計(jì)出什么問(wèn)題？

生3：求A、B兩點(diǎn)之間的距離。

師：涉及哪些知識(shí)點(diǎn)？說(shuō)具體些。

生3：過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線(xiàn)段交x軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，在△ABE中，利用勾股定理求解。（如圖2）

圖2

師：現(xiàn)在添加一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（m，0），繼續(xù)設(shè)計(jì)關(guān)于點(diǎn)A、B、M的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

生4：因?yàn)辄c(diǎn)M（m，0）在x軸上，當(dāng)MA+MB的值最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

師：首先要找到這個(gè)點(diǎn)，它在哪里？

生4：找點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，與x軸的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)M（m，0），此時(shí)MA+MB最小，最小值就是線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)度。

師：為什么？

生4：在x軸上另取一點(diǎn)M′，不與點(diǎn)M重合，連接AM′、BM′、A′M′，此時(shí)AM′+BM′=A′M′+ BM′，在△M′A′B中，A′M′+BM′＞A′B，所以A′B最小。（如圖3）

圖3

師：這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題，也是“最短距離”的數(shù)學(xué)模型。由“和的最小值”可以聯(lián)想到什么問(wèn)題？

【啟示】什么是數(shù)學(xué)的“魂”？通過(guò)一題多解與多題一解，達(dá)到探究一個(gè)問(wèn)題、掌握一種辦法、解決一類(lèi)問(wèn)題的能力和水平，這就是數(shù)學(xué)的“魂”！也就是說(shuō)，判斷數(shù)學(xué)是否有“魂”，關(guān)鍵就在于能否將一個(gè)知識(shí)點(diǎn)靈活地遷移運(yùn)用到新的認(rèn)知情境中。

生4：在x軸上找一點(diǎn)M（m，0），使得|MA-MB|最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

師：這個(gè)點(diǎn)M（m，0）的位置在哪里？先獨(dú)立思考，然后再互相討論一下。

生4：如果在x軸上取一點(diǎn)M′，連接AM′、BM′，這時(shí)|M′A-M′B|＜AB。（如圖4）

圖4

師：是否存在|M′A-M′B|=AB呢？

生4（思考片刻）：點(diǎn)A、B、M′在同一條直線(xiàn)上時(shí)，|M′A-M′B|=AB。

師：請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出點(diǎn)M，為什么此時(shí)|MA-MB|最大呢？

生4（畫(huà)出圖5）：|M′A-M′B|＜AB，而|MA-MB|=AB，只有當(dāng)點(diǎn)A、B、M在同一條直線(xiàn)上時(shí)，|MA-MB|最大，最大值就是線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度。

圖5

師：運(yùn)用“比較法”推出M點(diǎn)的位置，進(jìn)而求出M點(diǎn)的坐標(biāo)。好，請(qǐng)繼續(xù)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

生5：在x軸上找一點(diǎn)M（m，0），使得①M(fèi)A= AB，②MB=AB，③MA=MB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

師：如何找到這些點(diǎn)？試著選擇①②③其中之一，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

（學(xué)生分組，分別求符合①②③條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，教師巡視。依據(jù)學(xué)生完成的情況總結(jié)）

生6：①當(dāng)MA=AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，若與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)M（m，0）（如圖6）；②當(dāng)MB=AB時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，若與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)M（m，0）（如圖7）；③當(dāng)MA=MB時(shí)，作AB的垂直平分線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M（m，0）（如圖8）。

圖6

圖7

圖8

師：符合條件①②的點(diǎn)M的坐標(biāo)易求，如何求使得MA=MB的點(diǎn)M坐標(biāo)呢？

生7：求出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的解析式，再令y=0，即可求出。

師：可以的，但如何求這條垂直平分線(xiàn)的解析式，請(qǐng)課后求解。還有其他方法嗎？

生8：利用勾股定理求解。分別過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸作垂線(xiàn)段，垂足分別為C、D。（如圖9）

圖9

∵AM2=AC2+MC2，BM2=BD2+DM2，AM=BM，

∴AC2+MC2=BD2+DM2，

即12+（m-2）2=42+（6-m）2，

師：如何用一個(gè)問(wèn)題來(lái)概括以上三個(gè)小問(wèn)題呢？

生9：在x軸找一點(diǎn)M（m，0），使得△ABM是等腰三角形。

師：這樣的點(diǎn)M（m，0）怎么找？

生9：要分三種情況：（1）以∠A為頂角的等腰三角形；（2）以∠B為頂角的等腰三角形；（3）以AB為底邊的等腰三角形。

師：由△ABM是等腰三角形，我們又聯(lián)想到什么問(wèn)題？

生10：在x軸上找一點(diǎn)M（m，0），使得△ABM是直角三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

師：如何找出這樣點(diǎn)M（m，0）？

生11：也要分三種情況：①如圖10，以A為直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AB，交x軸于點(diǎn)M，則△ABM是直角三角形；②如圖11，以B為直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AB，交x軸于點(diǎn)M，則△ABM是直角三角形；③如圖12，以AB為直徑作圓，若與x軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)就是點(diǎn)M。

圖10

圖11

圖12

師：每種情況下點(diǎn)M（m，0）的坐標(biāo)怎么求？我們先來(lái)看第一種情況。

生12：如圖13，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)E。易證△AEB∽△MCA，∴，∴CM=，∴m=2.75。

圖13

師：再看第二種情況。

生13：如圖14，先求出直線(xiàn)AB與x軸交點(diǎn)G的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，可證△GBM∽△GHB，就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

圖14

生14：如圖15，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B 作BF⊥MF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于FB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，可證△BFM∽△AEB，就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

圖15

圖16

師：那第三種情況呢？

生15：如圖16，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，可證△BDM∽△MCA，就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)了。

師：圖13、圖15和圖16的構(gòu)造有什么共同特征？

生16：都是構(gòu)造“K”型圖，通過(guò)三角形相似求得線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)確定點(diǎn)M的坐標(biāo)。

師：同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的問(wèn)題很精彩，解決問(wèn)題更是精彩。

【啟示】“你們還設(shè)計(jì)出什么問(wèn)題？”“涉及哪些知識(shí)點(diǎn)？由‘和的最小值’可以聯(lián)想到什么問(wèn)題？”“還能設(shè)計(jì)什么問(wèn)題？”“如何找到這些點(diǎn)？”“如何求使得MA=MB的點(diǎn)M坐標(biāo)呢？”“還有其他方法嗎？”“如何用一個(gè)問(wèn)題來(lái)概括以上三個(gè)小問(wèn)題呢？”“由△ABM是等腰三角形，我們又聯(lián)想到什么問(wèn)題？”“如何找出這樣點(diǎn)M （m，0）？”“每種情況下點(diǎn)M（m，0）的坐標(biāo)怎么求？”隨著一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題的拋出，一步一步引導(dǎo)學(xué)生的知識(shí)和思維由“點(diǎn)”及“線(xiàn)”，再由“線(xiàn)”及“面”。學(xué)生在提出問(wèn)題、解決問(wèn)題中自覺(jué)或不自覺(jué)地進(jìn)行知識(shí)和思維的串聯(lián)、歸類(lèi)，最終形成某項(xiàng)知識(shí)的系統(tǒng)和解決某項(xiàng)問(wèn)題的系統(tǒng)方法。

（三）課堂小結(jié)（略）

（四）布置課外作業(yè)

已知兩點(diǎn)A（2，1）、B（6，4），解答下面問(wèn)題：

（1）將線(xiàn)段AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB′，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)M（m，0），使得S△ABM=5；

（3）試求M（m，0）、N（0，n）兩點(diǎn)，使得四邊形NAMB是平行四邊形。

（4）試求M（m，0）、N（0，n）兩點(diǎn)，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)四邊形周長(zhǎng)最小。

【啟示】適當(dāng)、適量、適度的課外作業(yè)，既能引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步攻堅(jiān)克難的欲望，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延續(xù)性，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)揮最大的輻射功能和延伸作用。