岳巖江（吉林省輝南縣慶陽鎮(zhèn)中學(xué)）

關(guān)于初中數(shù)學(xué)動態(tài)問題的解題策略

岳巖江
（吉林省輝南縣慶陽鎮(zhèn)中學(xué)）

隨著課程改革的不斷深入，新形勢下要求教師的教育角色、教學(xué)行為和管理方式不斷改變，也要求學(xué)生的學(xué)習(xí)方式不斷變革，知識的接受、遷移、運用都要有新的提升。這種能力的考查已越來越多地體現(xiàn)在試卷上，就初中數(shù)學(xué)而言，規(guī)律探究問題、動手操作問題、格點作圖問題、圖案設(shè)計問題、分類討論問題、感知探究問題、開放性問題、運動變化問題等等已經(jīng)越來越多地出現(xiàn)在各省中考試卷中，下面就運動變化問題談?wù)勛约旱慕虒W(xué)心得。

自2001年5月《國務(wù)院關(guān)于基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的決定》頒布算起，至今已有14個年頭，2002年吉林省省級實驗區(qū)啟動，輝南縣也在同年進(jìn)入新課改實驗。當(dāng)年的中考數(shù)學(xué)試題最后一道就是有關(guān)運動變化的，但相對來說較現(xiàn)在要簡單得多，也說明課改的一個趨向。這絕不是破天荒第一次，其實，早在80年代的教材中就有運動變化問題的影子。記得我在上初中時，當(dāng)時的教材中就有“點的軌跡”一部分，但由于是選學(xué)內(nèi)容，教師也覺得難于理解，就一筆帶過，但我對那幾節(jié)卻情有獨鐘，并進(jìn)行認(rèn)真自學(xué)，有些問題至今還記得。比如，兩個同心圓，圓心為O，大圓半徑為8 cm，小圓半徑為5 cm，和小圓外切和大圓內(nèi)切的圓的圓心軌跡是什么？（是以O(shè)為圓心，以6.5 cm為半徑的圓）。再如，AB為⊙O非直徑弦，C為AB中點，弦AB繞圓周滑動，那么點C運動的軌跡是什么？（是以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓），這也許就是今天運動變化問題的前身吧。

從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)，我覺得很多學(xué)生對這類問題都感到頭疼，中考因此失分較多。我認(rèn)真分析歷年各省中考試題，覺得解決此類問題主要分為兩步：一是根據(jù)點動、面動或形動的規(guī)律列方程確定取值范圍，有些簡單問題可以直接寫出取值范圍；二是畫出每個區(qū)間內(nèi)的基本圖形，也就是化動為靜，用相應(yīng)字母表示某些線段長，進(jìn)而求出表示某些圖形周長或面積的函數(shù)表達(dá)式。以下面一題為例具體研究此類問題的解法：

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）。

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當(dāng)△KCM的周長最小時，點K的坐標(biāo)為（，0）；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當(dāng)P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè)P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S。

①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值。

分析：（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個交點坐標(biāo)和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可。

（2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)解析式確定頂點坐標(biāo)，然后求得點C關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標(biāo)即可。

（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍.如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t。

②本題要分三種情況進(jìn)行討論：

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式。

③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值。

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x-6）.

（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，此時，1＜t＜2.

上題只是運動變化問題的一例，在眾多的運動變化問題中，無論問題如何變化，但分析的思路是一定的，核心便是分好段、畫好圖、取好值、列好式、求對解、檢好驗、下結(jié)論。當(dāng)然，要想具備較強的解題能力，還要求學(xué)生具有扎實的基礎(chǔ)知識和計算能力，更重要的是要有一定的閱讀基礎(chǔ)和繪圖能力。我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生閱讀能力差，讀不懂題的意思，如果與他一起分析題意，待他弄懂題意之后解起題來也非難事。還有一部分學(xué)生不會畫圖，導(dǎo)致無法解題，這也說明在日常教學(xué)中教師沒有注重繪圖能力的培養(yǎng)。

再者，運動變化問題通常穿插在壓軸大題中出現(xiàn)，往往因為步驟多，運算量大，圖形復(fù)雜使學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，甚至放棄。事實上，無論多大的題都是由若干個相關(guān)聯(lián)的小題組成，逐一破解便是解題之道，教師在給學(xué)生講解時可以把大題進(jìn)行肢解，分解圖形，化繁為簡，克服學(xué)生畏難心理，便可收到意想不到的教學(xué)效果。

·編輯 徐婷