劉艷玲（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué)）

含參數(shù)的一元二次不等式的解法

劉艷玲
（山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級(jí)中學(xué)）

含參數(shù)不等式的求解問題一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，求解這類問題，需要學(xué)生具有一定的分析能力和掌握相應(yīng)的解題技巧。

含參數(shù)的不等式；分類討論；解法

所謂含參數(shù)的不等式，就是指除含未知數(shù)之外還含有參數(shù)的不等式。此類不等式，往往因參數(shù)的取值范圍不同，解集也不同。這類問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)其常常難以駕馭，因此有必要研究其解法。本文重點(diǎn)討論形如ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c＜0）的一元二次不等式模型，談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮獠坏仁街械暮?jiǎn)單應(yīng)用。

一、根據(jù)對(duì)應(yīng)方程根的大小進(jìn)行分類

例1.解關(guān)于x的不等式x2-（a2+a）x+a3〉0。

分析：先利用因式分解確定對(duì)應(yīng)方程的兩根，對(duì)兩根的大小進(jìn)行分類討論。

解：原不等式可化解為（x-a2）（x-a）〉0。

（1）當(dāng)a2〉a，即a〉1或a＜0時(shí)，原不等式的解集為｛x|x＜a或x〉a2｝。

（2）當(dāng)a2=a，即a=1或a=0時(shí)，原不等式的解集為R。

（3）當(dāng)a2＜a，即0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x＜a2或x〉a｝。

綜上所述，當(dāng)a〉1或a＜0時(shí)，原不等式的解集為｛x|x＜a或x〉a2｝。

當(dāng)a=1或a=0時(shí)，原不等式的解集為R。

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x＜a2或x〉a｝。

規(guī)律總結(jié)：當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程根的大小不確定時(shí)，必須討論根的大小，以確定不等式的解集。

二、根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類

例2.解關(guān)于x的不等式ax2+（1-a）x-1〉0。

分析：先利用因式分解對(duì)不等式進(jìn)行因式分解。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，因此需要對(duì)a與0進(jìn)行分類，若a≠0，則需要比較兩根的大小。

解：原不等式可化解為（x-1）（ax+1）〉0。

1.當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為x-1〉0，則x〉1。

∴原不等式的解集為｛x|x〉｝1。

當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解集為?。

規(guī)律總結(jié)：解二次項(xiàng)含參數(shù)的一元二次不等式一定要對(duì)參數(shù)大于0，等于0和小于0展開討論。

三、根據(jù)對(duì)應(yīng)方程判別式的符號(hào)進(jìn)行分類

例3.解關(guān)于x的不等式2x2+ax+2=0。

分析：二次系數(shù)為2，判別式Δ=a2-16不為完全平方式，故不能確定根，因此需要對(duì)判別式Δ的符號(hào)進(jìn)行討論，確定根的個(gè)數(shù)。

解：Δ=a2-16=（a+4）（a-4）。

（1）當(dāng)a〉4或a＜-4時(shí)，Δ〉0，方程2x2+ax+2=0的兩根為

（3）當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，Δ＜0，方程無根，原不等式的解集為R。

綜上所述，

當(dāng)a〉4或a＜-4時(shí)，原不等式的解集為

當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，原不等式的解集為R。

規(guī)律總結(jié)：若一元二次方程判別式符號(hào)不確定，應(yīng)分Δ〉0，Δ= 0，Δ＜0討論。

本文由淺入深地介紹了含有參數(shù)的一元二次不等式模型的幾種基礎(chǔ)解法。我們可以發(fā)現(xiàn)，在求解此類問題時(shí)，應(yīng)正確認(rèn)識(shí)問題中的參數(shù)，確定不等式的類型，按相應(yīng)類型不等式的解題方法進(jìn)行求解，希望能對(duì)大家學(xué)習(xí)含參數(shù)一元二次不等式有所幫助。

·編輯 謝尾合