徐君紅（浙江省杭州市建德市梅城嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)）

淺談高中數(shù)學(xué)的等價(jià)轉(zhuǎn)換

徐君紅
（浙江省杭州市建德市梅城嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)）

等價(jià)轉(zhuǎn)換是高中數(shù)學(xué)的重要解題思想，其通常是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，把未知解的問題轉(zhuǎn)換到學(xué)生的已有知識(shí)范圍內(nèi)，變?yōu)榭山獾膯栴}，通過不斷轉(zhuǎn)換，把那些學(xué)生不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的問題，從而簡(jiǎn)化解題思路與過程，提高解題效率。在歷年的高考題中，利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想進(jìn)行解題也是重要的考點(diǎn)，因此要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺轉(zhuǎn)換意識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的思維能力與技能、技巧。主要說明等價(jià)轉(zhuǎn)換在高中數(shù)學(xué)中的靈活運(yùn)用。

高中數(shù)學(xué)；等價(jià)轉(zhuǎn)換；思維

高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)繁多，數(shù)學(xué)問題復(fù)雜多變，如果學(xué)生只是注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，注重解題的結(jié)果，而忽視了對(duì)數(shù)學(xué)問題的解題技巧與方法的分析探索，他們很難學(xué)好高中數(shù)學(xué)。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，最常見的學(xué)習(xí)方式就是采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，學(xué)生通過多做題來鞏固知識(shí)點(diǎn)，這種方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生比較適用，能夠在一段時(shí)間內(nèi)提高他們的數(shù)學(xué)成績(jī)，但是對(duì)于那些學(xué)習(xí)成績(jī)中等或是優(yōu)秀的學(xué)生卻沒什么太大的幫助，大量的數(shù)學(xué)題反而會(huì)促使他們盡量采用最短的時(shí)間來完成每一道題，這就減少了學(xué)生在做題時(shí)思考的時(shí)間，有些學(xué)生在做題時(shí)幾乎沒有思考分析，只是按照慣性思維來解題，而使得解題過程煩瑣復(fù)雜，造成學(xué)習(xí)效果不理想，同時(shí)也限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展。這就要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能一味地注重知識(shí)的學(xué)習(xí)，還要能夠掌握數(shù)學(xué)問題的解題技巧與方法，并逐漸形成數(shù)學(xué)思維，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而等價(jià)轉(zhuǎn)換作為數(shù)學(xué)問題的一種重要解題思路，不僅能讓學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠鍛煉學(xué)生的思維敏捷性，有效地提高學(xué)生的思維能力。下面我就通過一些例子來分析等價(jià)轉(zhuǎn)換在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用。

一、掌握轉(zhuǎn)換思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性

高中數(shù)學(xué)問題中的轉(zhuǎn)化思想都是師生在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教與學(xué)的實(shí)踐過程中，在知識(shí)與方法的不斷運(yùn)用中總結(jié)出來的。如在立體幾何中將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來求解等。通過對(duì)題目中的式子進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，從而簡(jiǎn)化解題過程。因此，教師在課堂教學(xué)時(shí)要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使學(xué)生掌握等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性。

（1）求sin x－cos x的值。

【分析】由于該題已知條件較少，教師在進(jìn)行例題講解時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)部分的其他公式進(jìn)行運(yùn)用。通過對(duì)題目與所求問題式子進(jìn)行觀察，我們發(fā)現(xiàn)可以對(duì)該題中的原式進(jìn)行平方，就可以得到我們熟悉的三角函數(shù)關(guān)系式，即sin2x+cos2x=1。然后通過自變量的取值范圍，得到所求式子的值。

小結(jié)：三角函數(shù)的求值問題是幾年來高考的重要考點(diǎn)之一，為了讓學(xué)生熟練掌握并將其運(yùn)用，教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)就要讓學(xué)生積極動(dòng)腦思考，并進(jìn)行總結(jié)。由于三角函數(shù)部分的公式較多，對(duì)于這些公式，學(xué)生不能只知其一，不知其二。所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師要將公式的推導(dǎo)過程向?qū)W生演示，或是讓學(xué)生根據(jù)已知的公式自己進(jìn)行推導(dǎo)，一方面可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象，并將其進(jìn)行鞏固，另一方面，在推導(dǎo)過程中學(xué)生能逐漸提高邏輯性思維能力，并且若是學(xué)生沒有記住這些公式，在需要用的時(shí)候，他們也可以自行推導(dǎo)，而不會(huì)覺得解題毫無頭緒。

【分析】很多學(xué)生在初看到這道題時(shí)，覺得很簡(jiǎn)單，只是直觀地認(rèn)為該題考查的主要知識(shí)就是tanθ與sinθ、cosθ之間的關(guān)系，即tanθ=，便匆匆得出答案A。但在我們仔細(xì)分析過后，發(fā)現(xiàn)答案A是錯(cuò)解，正解應(yīng)為答案C。三角函數(shù)問題還有一個(gè)重要的已知條件，即sin2θ+cos2θ=1，而很多學(xué)生做錯(cuò)就是因?yàn)楹雎粤诉@個(gè)隱藏的條件，而解不出m的值。

小結(jié)：由上題可知，教師在教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生記住做題的思路，還要讓他們能夠?qū)⒐届`活進(jìn)行運(yùn)用。

結(jié)合我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我覺得高中數(shù)學(xué)教師，尤其是高三數(shù)學(xué)教師，最好將數(shù)學(xué)的各部分知識(shí)以專題的形式進(jìn)行講解，以便于學(xué)生對(duì)每部分知識(shí)的整體掌握，并且由于數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，我們?cè)谥v解一道例題時(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)會(huì)有很多，逐漸讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用，使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)換的思想，提高轉(zhuǎn)換的自覺性。另外，數(shù)學(xué)問題的靈活多變，使得每道題的解法不一，學(xué)生就可以開拓思路進(jìn)行解題，并在不斷思考中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。

二、注重轉(zhuǎn)化研究，實(shí)行轉(zhuǎn)換的多樣性

高中數(shù)學(xué)問題的靈活多變與各知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系，使得利用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想進(jìn)行解題也具有相應(yīng)的靈活性與多樣性。利用等價(jià)轉(zhuǎn)換解決高中數(shù)學(xué)問題，沒有統(tǒng)一固定的一個(gè)解決模式，學(xué)生可以根據(jù)自己對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，選擇適合自己的轉(zhuǎn)換方法，從而使學(xué)生的解題效率大大提高。教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，可以將一道題利用多種不同的轉(zhuǎn)換思想來講解，既將數(shù)學(xué)知識(shí)建立了聯(lián)系，綜合運(yùn)用，又開拓了學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維，使他們能夠從不同的角度、不同的方面出發(fā)，去解決問題，并在這個(gè)過程中逐漸提升自己的能力。

例3.設(shè)x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范圍。

【分析1】該題要直接求值比較復(fù)雜，但是通過變量替代，就能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)化。通過設(shè)k＝x2＋y2，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，求參數(shù)k范圍”的問題，該題就變得簡(jiǎn)單多了。在做題時(shí)要尤其注意其中的隱含條件，即x取值范圍的確定。

【分析2】分析原題中的方程式，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過變形后的方程式可以表示橢圓的方程。因此，我們就可以采用數(shù)形結(jié)合法，將該問題轉(zhuǎn)換為解析幾何問題來求解。

【解法2】由3x2＋2y2＝6x得（x－1）2＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x2＋y2的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0，距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x2＋y2＝k，代入橢圓中消y得x2－6x＋2k＝0。由判別式Δ＝36－8k＝0得k＝4，所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

【分析3】該題中含有兩個(gè)未知數(shù)，而且最高次項(xiàng)為二次，且所求的式子與已知條件變量前的系數(shù)都不相同，若是采用純代數(shù)的方法，該題的解題過程可能會(huì)有些繁瑣，那么我們就可以將已知條件進(jìn)行變形，然后采用三角代換的方法來解題。即將已知條件與所求式子都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題來解決。

所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

小結(jié)：利用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行代換，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題。可以大大簡(jiǎn)化解題的過程，并容易幫助學(xué)生理清思路，使學(xué)生將三角函數(shù)的知識(shí)與方程知識(shí)進(jìn)行有機(jī)融合，有助于學(xué)生整體掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并開拓學(xué)生的思路，通過對(duì)各種轉(zhuǎn)換思想的講解與運(yùn)用，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，使其能夠?qū)W會(huì)從不同的方面去思考并解決問題，從而提高學(xué)生的思維能力，提高數(shù)學(xué)分析與學(xué)習(xí)的能力，促進(jìn)學(xué)生自身的發(fā)展與進(jìn)步。

【分析】分析所求值的式子，估計(jì)兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。這兩種解題思路可以有如下三種解法。

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆項(xiàng)→差化積→化同名→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）

小結(jié)：由于等價(jià)轉(zhuǎn)換時(shí)采用的思路相同，即將函數(shù)名化為同名，但是不同的轉(zhuǎn)換過程與步驟，使得轉(zhuǎn)換時(shí)采用的公式不同，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)換過程的多樣性。

三角函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一，其具有眾多的公式，其中常用的有兩角和與差、和差化積、積化和差、和差化積、萬能公式等。利用三角函數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)換解題的關(guān)鍵是通過適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q，將代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)，進(jìn)而把代數(shù)式的證明或解答轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的證明或解答，從而起到理順?biāo)悸?、?jiǎn)化題目的作用。三角函數(shù)除了公式多之外，還有另外一個(gè)特點(diǎn)，就是三角函數(shù)值可以與實(shí)數(shù)值相聯(lián)系，充分利用他們之間的等價(jià)關(guān)系，可以給我們解題帶來方便，尤其是在遇到一些難以求值的三角函數(shù)時(shí)，利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)行巧妙代換，能夠大大地簡(jiǎn)化我們的解題過程。

以上兩道例題都利用了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，以及轉(zhuǎn)換思想的多樣性，通過將題目進(jìn)行不同的轉(zhuǎn)化，開拓了不同的解題思路與方法。教師在教學(xué)時(shí)一定要著重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，使其將轉(zhuǎn)換思想靈活運(yùn)用，提高學(xué)習(xí)能力。

三、遵循轉(zhuǎn)換的原則性，做到解題的簡(jiǎn)捷性

在利用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想解高中數(shù)學(xué)題時(shí)，我們要注意轉(zhuǎn)換的原則性，即將我們感覺陌生、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為熟悉、簡(jiǎn)單的問題來處理，然后通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體掌握和靈活運(yùn)用，做到解題的簡(jiǎn)捷性。下面我舉兩個(gè)例子來簡(jiǎn)單說明一下。

分析：本題主要考查三角公式的記憶及熟練運(yùn)用三角公式計(jì)算求值。通過對(duì)上題解法二的分析，采用的特值代入方法，學(xué)生能夠很容易就想到將該題中一些數(shù)與特殊三角函數(shù)相聯(lián)系，從而能夠快速地解答此題。其解題過程如下：

小結(jié)：三角函數(shù)問題的解題方法不能拘泥于一種，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要注意靈活運(yùn)用。我們?cè)谇笕呛瘮?shù)的問題時(shí)，有如下三個(gè)原則，我將其簡(jiǎn)稱為“三看”，即一看角，盡量把角向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化；二看名稱，盡量把一道等式化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切通過公式都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切；三看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的某些公式，如果滿足則可以直接使用，如果不滿足則需要轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，再進(jìn)行使用。

運(yùn)用三角函數(shù)的特殊值代入的等價(jià)轉(zhuǎn)換，能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，并有助于明確解題思路，簡(jiǎn)化解題過程。要想讓學(xué)生將其熟練運(yùn)用，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的講解時(shí)，就要注意將各部分的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在腦中形成整體的框架，并能夠根據(jù)題目的不同變化，選取合適的解題思路與方法，從而提高解題效率，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并更好地發(fā)散思維，進(jìn)行研究探索。

例6.若x、y、z∈R+，且x＋y＋z＝1，求的最小值。

【分析】由已知x＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運(yùn)用均值不等式后變成含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理變形，即通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化所求式子，從而明確解題思路，簡(jiǎn)化解題過程。

【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換，該解題過程為：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在變形中保持其值不變。

小結(jié)：在我們求代數(shù)式的最值時(shí)有多種方法，如利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等方法，以及運(yùn)用不等式的定理公式。通過對(duì)題目的觀察與分析，采用合適的解題方法，可以有效地簡(jiǎn)化解題過程，通過等價(jià)轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單易解的問題來解決。

運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換進(jìn)行解題的關(guān)鍵一點(diǎn)就是盡可能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，通過對(duì)題目進(jìn)行分析觀察與思考，學(xué)生要能夠采用最合適的轉(zhuǎn)化思想，利用最短的時(shí)間解決問題，從而實(shí)現(xiàn)解題效率的最優(yōu)化。我們都知道高中生的時(shí)間是很緊迫的，但正是由于學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間有限，精力有限，學(xué)生更要在做題時(shí)勤動(dòng)腦思考，以達(dá)到舉一反三，而不必通過大量的練習(xí)題來提高成績(jī)。教師在課堂教學(xué)中要不斷滲透數(shù)學(xué)解題的技巧與方法，從而使學(xué)生掌握解題的思路，并在練習(xí)與總結(jié)中實(shí)現(xiàn)解題的簡(jiǎn)捷性與準(zhǔn)確性，有效地提高數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)能力。

四、重視轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，提高解題的正確性

等價(jià)轉(zhuǎn)換最重要的一點(diǎn)就是要保證轉(zhuǎn)換前后所表示的意義是一樣的，即轉(zhuǎn)換前后的式子互為重要條件。很多學(xué)生在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，由于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握不透徹，經(jīng)常會(huì)造成轉(zhuǎn)換后的結(jié)論與原式不相等，從而造成解題的錯(cuò)誤。下面我們來看一道例題。

很多學(xué)生在做這道題時(shí)都會(huì)這樣做，但實(shí)際上這樣解題是錯(cuò)誤的。

【分析】事實(shí)上，由已知可得0≤x≤1，0≤y≤1，而上題假設(shè)將原函數(shù)的定義域擴(kuò)大了，且條件中沒有x2+y2=1，就導(dǎo)致了錯(cuò)解，正確的解法是重新?lián)Q元，再求x+y。

小結(jié)：該題的錯(cuò)解告訴我們，在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，一定要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，如果將原題中自變量的取值擴(kuò)大或縮小，都會(huì)造成解題錯(cuò)誤。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)換的最基本也是最重要的一點(diǎn)，就是在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，一定要保證轉(zhuǎn)換條件的等價(jià)性。

等價(jià)轉(zhuǎn)換的前提條件就是等價(jià)，在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)只有保證了轉(zhuǎn)換的等價(jià)，才能保證做題的準(zhǔn)確性，否則很容易因?yàn)殚_始轉(zhuǎn)換的失誤而使得解題結(jié)果錯(cuò)誤。因此，學(xué)生在做題時(shí)，教師要進(jìn)行指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)換的等價(jià)性引起注意，避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，進(jìn)而有效地提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)，提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情與興趣。

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，等價(jià)轉(zhuǎn)換不僅僅是一種解題方法，還是一種重要的解題思想。利用等價(jià)轉(zhuǎn)換對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，而且能夠幫助學(xué)生分析解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。在解高中數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生通過靈活運(yùn)用多種不同形式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，能夠?qū)?fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效簡(jiǎn)化計(jì)算，收到良好的學(xué)習(xí)效果，進(jìn)而使學(xué)生不再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，要綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的各種解題思想與技巧，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)熟練掌握，并能夠融會(huì)貫通，將其綜合運(yùn)用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效提升。

［1］張奠宙，鄭振出.“四基”數(shù)學(xué)模塊教學(xué)的構(gòu)件：兼談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（5）.

［2］張軍旗.新課程背景下高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究［D］.信陽師范學(xué)院，2014.

［3］季素月.數(shù)學(xué)技能教與學(xué)的若干思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（2）.

［4］史亮.高中歸納課程教學(xué)研究［D］.東北師范大學(xué)，2011.

·編輯 孫玲娟