王巖巖，童艷春，劉 偉,*，李建華

(1. 周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 周口 466001; 2. 華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系 應(yīng)用數(shù)學(xué)與交叉學(xué)科研究中心, 上海 200241)

0 引言

過去幾十年，奇異系統(tǒng)的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.由于奇異系統(tǒng)自身的特殊性,正常系統(tǒng)的一些結(jié)論不能直接推廣到奇異系統(tǒng)中,這主要是因?yàn)樵诳紤]系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí),還要考慮其正則性和脈沖的消除.到目前為止,對于奇異系統(tǒng)的研究主要針對固定采樣周期、時(shí)滯及魯棒穩(wěn)定性等方面,并取得了一系列的研究成果[1-4].

近年來,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù),網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及控制系統(tǒng)規(guī)模的日益擴(kuò)大,網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的研究已進(jìn)入了一個(gè)快速發(fā)展的階段[5-8].在實(shí)際工業(yè)系統(tǒng)中,奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)也是廣泛存在的.然而,由于奇異系統(tǒng)本身的復(fù)雜性,目前對奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的研究還比較少[9-10].文獻(xiàn)[9]研究了具有有界時(shí)滯和控制受限的奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10]針對一類正則和無脈沖奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),在具有時(shí)滯和數(shù)據(jù)包丟失情況下對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的分析.然而,需要指出的是,上述結(jié)果都是建立在固定采樣周期之上的.

由于網(wǎng)絡(luò)的引入,采樣周期的時(shí)變性也是網(wǎng)絡(luò)化控制中存在的一個(gè)基本問題.由于控制策略的不同,采樣傳輸周期在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中既可為時(shí)不變的,也可為時(shí)變的.甚至有時(shí)在一些實(shí)際控制問題中,時(shí)不變周期采樣根本就無法實(shí)現(xiàn).然而,到目前為止關(guān)于這方面研究還不多見,也不曾出現(xiàn)有效方法.因此,在時(shí)變傳輸周期條件下,對奇異系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化控制進(jìn)行研究很有必要.基于以上分析,本文將根據(jù)奇異系統(tǒng)本身的特點(diǎn),在無傳輸時(shí)延和丟包情況下,將奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為異步動態(tài)系統(tǒng),利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法,對這一問題進(jìn)行研究.

2 問題描述

本文考慮如圖1所示具有時(shí)變傳輸信號的奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng):

(1)

其中x(t)∈Rn為狀態(tài)向量,y(t)∈Rr為輸出向量;E,A∈Rn×n,B∈Rn×m和C∈Rr×n為常數(shù)矩陣,這里E為奇異矩陣,滿足rank(E)=q

圖1 時(shí)變傳輸周期的廣義網(wǎng)絡(luò)化模型

記hk為采樣周期,即hk=tk+1-tk,這里hk為時(shí)變的,且存在常數(shù)0

本文的目的是獲得閉環(huán)系統(tǒng)(1)在時(shí)變傳輸周期的條件下二次容許的控制器設(shè)計(jì)問題.為此,在本文中做出如下假設(shè).

假設(shè):矩陣對(E,A)為正則,無脈沖.

將時(shí)變傳輸周期變量視為參數(shù)不確定項(xiàng),并將其進(jìn)行離散化.根據(jù)假設(shè),矩陣對(E,A)為正則無脈沖，可知存在非奇異矩陣P和Q滿足

(2)

將方程(2)離散化,有

(3)

進(jìn)一步,可得

Z(k+1)=

(4)

其中

進(jìn)一步,有

(5)

其中

且

為方便,記

由于本文工作的需要,我們給出如下引理:

引理1[11]假設(shè)G,M和N為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣,其中G為對稱矩陣,那么

G+MFN+NTFTMT<0

對任意滿足σmax(F)≤η都成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε>0,使得

其中σmax(F)為矩陣F的最大奇異值.

引理2[12]對于具有事件率約束的異步動態(tài)系統(tǒng),考慮如下由連續(xù)動力系統(tǒng)離散化后的差分方程

xk+1=fs(xk),

其中s∈{1,2,…,N}.如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

β1‖x‖2≤V(x)≤β2‖x‖2,

其中βi>0,i=1,2,以及標(biāo)量α1,α2,α3,…,αM>0使得

其中：M為系統(tǒng)的事件個(gè)數(shù);r1,r2,…,rM表示事件的發(fā)生率;Ms為第s離散狀態(tài)的事件發(fā)生數(shù),則此異步動態(tài)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

注1 引理2中具有事件率約束的異步動態(tài)系統(tǒng)是指如下元組：

Λ=(R+,{1,…,N},Rn,E,R,I,F),

實(shí)際上,異步動態(tài)系統(tǒng)中比較典型的離散事件是數(shù)據(jù)包丟失與否.將具有事件約束的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)如何用離散后的差分方程描述為該定理的主要應(yīng)用.

3 主要結(jié)果

本節(jié)將給出奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)在時(shí)變傳輸周期情況下穩(wěn)定的充分條件.為此,首先給出如下引理.

η=(eσmax(A1)hmax-eσmax(A1)hmin)/(σmax(A1)).

證明由2-范數(shù)與最大奇異值的關(guān)系,可得

(eσmax(A1)hmax-eσmax(A1)hmin)/(σmax(A1)),

從而引理3成立.證畢.

引理4 如果存在對稱正定矩陣S∈Rn×n,矩陣X∈Rm×n,以及標(biāo)量ε>0,α>1使得

(6)

則閉環(huán)系統(tǒng)(5)為指數(shù)穩(wěn)定的,此時(shí)使得系統(tǒng)穩(wěn)定的反饋控制增益矩陣可取為

證明對于式(6),根據(jù)Schur補(bǔ)引理可知,

進(jìn)一步, 利用引理1和引理3可得,

即有

(7)

定義Lyapunov函數(shù)

V(Z(k))=ZT(k)PZ(k),

其差分描述為如下形式:

V(Z(k+1))-α-2V(Z(k))=

ZT(k+1)PZ(k+1)-ZT(k)PZ(k)=

ZT(k)ΩZ(k),

V(Z(k+1))-α-2V(Z(k))<0.

因此引理4成立,證畢.

根據(jù)引理4,下面給出奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(1)在時(shí)變傳輸周期情況下可穩(wěn)的充分條件.

定理1 如果存在對稱正定矩陣S∈Rn×n,矩陣X∈Rm×n,以及標(biāo)量ε>0,α>1使得如下線性矩陣不等式成立

(8)

其中

則閉環(huán)系統(tǒng)(1)在時(shí)變傳輸周期hk∈[hmin,hmax]下是指數(shù)穩(wěn)定的,此外控制增益矩陣可取為K=XS-1Q-1.

證明對于由式(1)所描述的奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),假若數(shù)據(jù)包失率為r1=0,則根據(jù)引理2可知方程(5)可用來描述連續(xù)動力系統(tǒng)(1)離散化后的差分方程,從而利用引理4即可獲得定理1成立.證畢.

4 仿真例子

為了說明本文所提出方法的有效性.考慮奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(1),其參數(shù)給出如下

通過驗(yàn)證可知,此系統(tǒng)為正則和無脈沖的,因此存在非奇異矩陣

滿足

如果取hmin=0.1,hmax=0.4,α=1.151>1,那么

利用Matlab工具箱求解式(8),得到如下參數(shù)

ε=1.020 9.

進(jìn)一步可獲得反饋控制增益矩陣為

K=XS-1Q-1=(-0.668 0 0.000 7).

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

5 結(jié)論

本文研究了對于存在有界時(shí)變傳輸周期的奇異網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.在無傳輸時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的情況下,將其轉(zhuǎn)化為異步動態(tài)不確定系統(tǒng).利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式的方法給出了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,同時(shí)獲得了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律.最后通過仿真算例驗(yàn)證了本文方法的有效性.在本文中,沒有考慮量化的影響,如果同時(shí)考慮量化誤差對系統(tǒng)控制的影響,相應(yīng)的研究會變得更加復(fù)雜.這些都是需要進(jìn)一步研究的問題.