張小娟
(陜西西安高新第二學(xué)校 陜西西安 710065)
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無言有理
——勾股定理的“無字證明”
張小娟
(陜西西安高新第二學(xué)校陜西西安710065)
鑒于八年級學(xué)生思維活躍,參與意識強(qiáng),喜歡拼圖,喜歡展示自我的特點(diǎn),以及八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)第一章《勾股定理》中,已具備了通過拼圖利用等面積法驗(yàn)證勾股定理的技能和活動經(jīng)驗(yàn),因此,本節(jié)課通過實(shí)踐活動,經(jīng)歷“無字”驗(yàn)證勾股定理是對課本知識在深度上和廣度上的進(jìn)一步延伸和拓展,使學(xué)生感受解決問題方法的多樣性和開放性,從而激發(fā)學(xué)生的探究意識,享受數(shù)學(xué)思維的快樂,體會勾股定理的文化價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
本節(jié)課是北師大版八年級上冊,第一章勾股定理的一節(jié)拓展課。勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一,它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,是對直角三角形性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深化,它可以解決許多直角三角形中相關(guān)的計(jì)算問題,在實(shí)際生活中用途很廣泛。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且在其他自然科學(xué)領(lǐng)域中也被廣泛地應(yīng)用,在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,東西方都很早就展開了對勾股定理的研究。尤其對于勾股定理的證明,人們更是趨之若鶩。迄今,已多達(dá)五百多種證法,而勾股定理的“無字證明”,整個(gè)證明不著一字,單靠移動幾塊圖形隱含在圖形中的勾股定理便清晰呈現(xiàn),讓人心領(lǐng)神會。無字證明中,包含的精巧與美麗是一道無與倫比的風(fēng)景線。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),將有力的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。同時(shí)也為后期學(xué)習(xí)四邊形、圓中的有關(guān)計(jì)算等奠定基礎(chǔ),因此本節(jié)課無論從知識的角度還是從數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累等層面都將起著舉足輕重的作用。
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)知識與能力目標(biāo)
① 了解無字證明的概念;
② 會制作并運(yùn)用“青朱出入圖”驗(yàn)證勾股定理;
③ 掌握古印度“無字證明”驗(yàn)證勾股定理的原理;
④ 理解勾股定理五百余種證法的實(shí)質(zhì)。
(2)過程與方法目標(biāo)
① 感受剪、拼、割、補(bǔ)在解決幾何圖形問題過程中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
② 在活動過程中,感受同一問題解決方法的多樣性,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。
(3)情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)
① 通過對勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學(xué)人文文化,激發(fā)民族自豪感和學(xué)習(xí)熱情。
② 在探究活動中體驗(yàn)解決問題的多樣性,培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和探索精神。
③ 增強(qiáng)民族自豪感,同時(shí)體會數(shù)學(xué)的無國界性。
2.教學(xué)重點(diǎn):
(1)“青朱出入圖”的制作及原理;
(2)古印度“無字證明”的原理;
3.教學(xué)難點(diǎn):
(1)“青朱出入圖”的制作及原理;
(2)古印度“無字證明”的原理;
(3)理解“無字證明”的實(shí)質(zhì)——等面積法。
4.教學(xué)準(zhǔn)備
(1)教具:三角板 、ppt課件、磁鐵
(2)學(xué)具:紙、彩筆、剪刀、三角板
(3)自學(xué)任務(wù):
① 學(xué)生課前觀看微視頻,掌握“青朱出入圖”的制作方法。
② 每人制作一幅美觀的“青朱出入圖”。
1.教學(xué)方法:探究式教學(xué)法
2.學(xué)法:自主探究法
第一環(huán)節(jié):舊知導(dǎo)課
教師活動:
學(xué)生回答: 利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則,將2)(ba+寫成(a+b)(a+b)的積,從而得出結(jié)論,以數(shù)證數(shù)。
設(shè)計(jì)意圖:以舊導(dǎo)新,消除學(xué)生對新知識的陌生感,從而引出無字證明的概念及課題。
第二環(huán)節(jié):活動探究
活動一:“青朱出入圖”
(1)學(xué)生展示“青朱出入圖”;
(2)師生共同分析“青朱出入圖”的原理;
(3)學(xué)生動手操作驗(yàn)證勾股定理。
(4)師生共同探究“青朱出入圖”的實(shí)質(zhì)。
設(shè)計(jì)意圖:
① 學(xué)生通過提前觀看“青朱出入圖”的制作視頻,已掌握了繪制“青朱出入圖”的方法,所以讓學(xué)生當(dāng)堂展示親手制作的“青朱出入圖”,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛。
② 引導(dǎo)學(xué)生解讀“青朱出入圖”,理解其驗(yàn)證勾股定理的原理。
③ 學(xué)生通過剪、拼等操作,發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在圖中的勾股定理不言而喻,清晰明了,切實(shí)體會無字證明的魅力所在。教師再用ppt課件演示圖形的移、拼過程,重現(xiàn)圖形的無縫、不重疊拼接,進(jìn)一步加深對“青朱出入圖”的理解。
④ 師生共同探究“青朱出入圖”的實(shí)質(zhì),進(jìn)一步體會等面積法在證明勾股定理中的應(yīng)用。
活動二:古印度“無字證明”
(1)小組探討古印度“無字證明”的原理,并由學(xué)生在全班交流分享;
(2)四人一小組,共12個(gè)活動小組,討論交流、探究分割方法,并在全班交流不同的分割方法;
(3)學(xué)生動手分割、拼圖,驗(yàn)證,并展示。
設(shè)計(jì)意圖:在活動一的探究過程中,學(xué)生經(jīng)歷了“青朱出入圖”的制作、原理、驗(yàn)證、實(shí)質(zhì)都已掌握。在此基礎(chǔ)上,教師放手讓學(xué)生去探究,適時(shí)點(diǎn)撥,學(xué)生在交流的過程中,由思維碰撞產(chǎn)生了火花,進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維,以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。同時(shí),學(xué)生學(xué)會了交流、分享、達(dá)成共識,體驗(yàn)合作的樂趣。
活動三:師生共析中外兩種無字證明的實(shí)質(zhì)。
設(shè)計(jì)意圖:通過ppt演示,使學(xué)生理解等面積法在無字證明中的應(yīng)用,再次體會不證自明的魅力。
第三環(huán)節(jié):小結(jié)歸納
(1)勾股定理的證法達(dá)500多種,分三種類型。
(2)我想說……
設(shè)計(jì)意圖:更新知識系統(tǒng),逐步完善知識脈絡(luò),提高分析問題解決問題的能力;梳理數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想,理解其中的內(nèi)在聯(lián)系。
第四環(huán)節(jié):作業(yè)布置
實(shí)踐報(bào)告:搜集整理“無字證明”
設(shè)計(jì)意圖:激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣和欲望,培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神,提高其自學(xué)能力。