肖慧梅

問題：若實(shí)數(shù)k隨機(jī)取自區(qū)間[-，]，點(diǎn)M，N為直線y=kx+3與圓（x-2）2+（y-3）2=4的兩個(gè)交點(diǎn)，則MN≥2的概率為 。

一、解法探究

二、解法辨析

本題設(shè)置實(shí)數(shù)k的取值區(qū)間，指明了“等可能的探究角度”，題中所給直線y=kx+3恒過定點(diǎn)（0，3），當(dāng)弦長MN變化時(shí)，直線只能繞定點(diǎn)（0，3）旋轉(zhuǎn)變化，所對(duì)應(yīng)的直線斜率取值是均勻分布的，由幾何概型知道，其所求的概率是實(shí)數(shù)k取值區(qū)間的長度比，故解法1是符合題意的。

在解法2中，把實(shí)數(shù)k的取值轉(zhuǎn)化為弦長MN的取值，學(xué)生認(rèn)為弦長MN的取值與實(shí)數(shù)k的取值之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，用弦長MN作為測(cè)度進(jìn)行概率計(jì)算是合題意的。事實(shí)不然，我們可以想象，移動(dòng)圓的位置，弦長MN取值范圍隨著變化，所求得的概率值也發(fā)生改變。因此，解法2的錯(cuò)誤在于變換研究對(duì)象，導(dǎo)致測(cè)度區(qū)間長度不等價(jià)，解法3、解法4具有類似錯(cuò)誤。

在解法5中，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是均勻分布的，但當(dāng)k取不同值時(shí)，直線變化與區(qū)域內(nèi)點(diǎn)變化并無關(guān)聯(lián)，故以區(qū)域的面積作為測(cè)度，改變題目原意，所求得概率不合題意。

上述例題的解法與思路辨析進(jìn)一步說明，解答幾何概型問題時(shí)一定要關(guān)注“等可能的探究角度”，一定要嚴(yán)格按照題目指定的研究角度進(jìn)行作答，即使進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換也要做到測(cè)度區(qū)間長度不改變，否則，就會(huì)錯(cuò)誤解答。

三、啟示探究

1.重視知識(shí)與能力要求，準(zhǔn)確把握教材教學(xué)要求

對(duì)于授課者而言，照本宣科——重視幾何概型概念和幾何概型概率公式的理解和記憶是不可取的，應(yīng)重視下列學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破：（1）如何理解并確定“等可能事件”；（2）如何通過閱讀題目正確選擇“等可能的探究角度”；（3）如何正確選擇計(jì)算相應(yīng)的幾何度量（長度、面積、體積等）。

縱觀諸多教學(xué)設(shè)計(jì)，比較普遍的問題是：例題講解取代教學(xué)概念，大量解題訓(xùn)練取代能力培養(yǎng)，學(xué)生對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)停留在課本，缺乏深度認(rèn)識(shí)，教師往往質(zhì)疑學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，卻不反思自己教法的有效性、教學(xué)手段的科學(xué)性，這就是產(chǎn)生學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“懂而不會(huì)”的根源所在。

隨著新課程的實(shí)施和高考命題改革的發(fā)展，高考試題模式發(fā)生變化，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)顯然有一個(gè)適應(yīng)過程，教師選取偏題、怪題作為高考復(fù)習(xí)例題有擴(kuò)大趨勢(shì)，違背了《高考考試說明》的要求。就本文問題而言，學(xué)生專注于對(duì)原始條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換得到不同答案產(chǎn)生困惑，而教師往往只講授正確解答，對(duì)學(xué)生思維中的合理成分視而不見，影響學(xué)生思維能力的提高。

2.科學(xué)構(gòu)題，提高考試試題的可信度

對(duì)于命題者而言，不同類型的考試有不同的命題要求。如本文所列各種解法，都有合理成分，但正確答案只有一個(gè)，無法準(zhǔn)確區(qū)分各類學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。若在高三模擬試題中選用一些偏題，就可能產(chǎn)生一些負(fù)面的導(dǎo)向作用，浪費(fèi)師生的時(shí)間和精力，難于取得良好的復(fù)習(xí)效果。事實(shí)上，高考命題專家命制高考試題，就非常關(guān)注試題的有效性和選拔性，這不能不引起廣大中學(xué)教師的注意。下面就幾何概型題略舉幾例，以資借鑒。

例1：在區(qū)間[-2，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，則x≤1的概率為：

（2014年湖南省高考試題文科第5題）

例2：由不等式組x≤0y≥0y-x-2≤0確定的平面區(qū)域記為？贅1

不等式組x+y≤1x+y≥-2確定的平面區(qū)域記為？贅2，在？贅1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在？贅2內(nèi)的概率為：

（2014年湖北省高考試題理科第7題）

例3.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），函數(shù)f（x）=x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 .（2015年福建省高考試題理科第13題）

3.多視角探究，促進(jìn)深度認(rèn)知意識(shí)的生成

對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)而言，從不同角度去探究同一問題，可能會(huì)得到不同的解題思路，得到正確答案是我們的解題目的，但對(duì)于學(xué)生中存在的不太完美的解法，也同樣值得關(guān)注，學(xué)生只有充分呈現(xiàn)自己思維，才可能暴露學(xué)習(xí)思維過程和方法中的缺陷，通過糾錯(cuò)，可以不斷增強(qiáng)對(duì)錯(cuò)誤的“抵抗力”。錯(cuò)解也是一種寶貴的教學(xué)資源，通過錯(cuò)解的講評(píng)、辨析和反思，教師也可審視自己的教學(xué)行為，以期不斷地改進(jìn)教法，有效提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

高麗娟.高中生“幾何概型”學(xué)習(xí)困難及對(duì)第研究[D].山東師范大學(xué)，2015.

編輯 李琴芳