吳玉紅

摘 要：眾所周知，數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，處處滲透在新教材中，而平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)學(xué)研究中的一種重要工具，它更是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)?？墒窃谛陆滩闹校鴺?biāo)系側(cè)重于“數(shù)”結(jié)合形解決代數(shù)問題，而“形”結(jié)合數(shù)解決幾何題則涉及較少。為此，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就如何基于建立坐標(biāo)系巧解幾何問題，從距離問題、圓心距問題、最值問題三個(gè)維度進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)系；幾何題；教材；數(shù)學(xué)

一、研究的背景

1.基于教材本身的需要

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，滲透在新教材中。而平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)學(xué)研究中的一種重要工具，它更是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)?？墒窃谛陆滩闹?，坐標(biāo)系側(cè)重于“數(shù)”結(jié)合形解決代數(shù)問題，而“形”結(jié)合數(shù)解決幾何題則涉及較少。不妨多滲透些巧建直角坐標(biāo)系，妙解幾何問題的內(nèi)容，將“形”更好地結(jié)合數(shù)解決幾何問題。

2.基于教師自身的需要

教學(xué)實(shí)踐顯示，日常教學(xué)中，教師多注重“數(shù)”結(jié)合形解代數(shù)問題，而忽略“形”結(jié)合數(shù)解決幾何問題。

比如，教師在教學(xué)代數(shù)問題時(shí)，為了凸顯數(shù)形結(jié)合思想的有效性，往往會(huì)深入學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合解題的巧妙性。比如，在含絕對(duì)值的不等式教學(xué)中，會(huì)將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離問題，從而將代數(shù)分類討論題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸中的形的問題。同時(shí)，也體現(xiàn)了教師處理問題的多樣性和解題時(shí)的高效性，學(xué)生也佩服之至。而在解決一些復(fù)雜圖形的證明問題或求值問題時(shí)，為了體現(xiàn)教師較強(qiáng)的解題能力，往往會(huì)花大力氣將圖形抽象出一些基本圖形，回顧知識(shí)點(diǎn)，慢慢整理然后花一黑板解釋解題過程，而學(xué)生總算明白了老師的一番苦心。其實(shí)，我們不妨多滲透些巧建直角坐標(biāo)系，妙解幾何問題的方法，利用“形”結(jié)合數(shù)來解決幾何問題，或許教學(xué)會(huì)更加的輕松。

二、研究的具體做法

學(xué)生就像一塊被撂荒的土地，需要老師去耕耘。我們?cè)诟胚@塊土地時(shí)，不僅需要耐心、愛心，還需要找準(zhǔn)適合他們的方法。幾何題常常成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的絆腳石，涉及的內(nèi)容很多，學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用不夠熟練。下面從距離問題、圓心距問題、面積問題、最值問題等方面談?wù)勄山ㄗ鴺?biāo)系解決幾何問題的方法，為教學(xué)提供一定的參考。

1.基于坐標(biāo)系解決距離問題

距離問題在幾何中是一個(gè)常見的題型。有直接利用直角三角形求解的，也有通過全等、等量替換等將線段轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)化求解的。但是在解決問題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)證明一些中間量的時(shí)候有一定的難度，從而耽誤了整個(gè)問題的求解。下面針對(duì)這種情況對(duì)比建系前后問題解決的難易，凸顯巧妙建系在一定程度上降低問題的難度，達(dá)到事半功倍的效果。

【分析】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)變換、中垂線的性質(zhì)定理和逆定理、勾股定理，條件看似簡單，但想要求出AE的長，再上述一二實(shí)際解法中都容易碰到問題。解法一對(duì)于特殊的等腰直角三角形，巧添輔助線后，充分利用了30°直角三角形的邊之間的直接關(guān)系，通過兩次勾股定理求得所求線段的長度。但是輔助線的添加很多學(xué)生不一定能想到，另外，利用兩次鉤股定理求解的過程中，最后的被開方結(jié)果化簡有一定的困難，容易出現(xiàn)根號(hào)里面套根號(hào)的形式，最終結(jié)果不夠最簡。

2.基于坐標(biāo)系解決圓心距問題

圓心距問題看似簡單的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，利用直角三角形的勾股定理應(yīng)該比較容易求得，但這些都基于圖形已知或容易作出圖形的問題中，但遇到作圖有困難的問題時(shí)，想要再次利用勾股定理等的轉(zhuǎn)化去求解就會(huì)變得比較困難，比如下面的例題，通過巧建坐標(biāo)系就能輕松地解決這個(gè)問題。

解法二：兩公切線互相垂直，不妨將互相垂直的兩條公切線分別當(dāng)作x軸，y軸建立起直角坐標(biāo)系，則圓心A，圓心B就是在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)到兩坐標(biāo)系的距離為2和6的點(diǎn)。利用對(duì)稱性不妨將圓心相對(duì)坐標(biāo)系的位置轉(zhuǎn)化為以下三種情況進(jìn)行研究，如圖5：

【分析】按照常規(guī)思路，如解法一我們需畫出三種情況：兩條內(nèi)公切線互相垂直，一條外公切線一條內(nèi)公切線互相垂直，兩條外公切線互相垂直。前兩種情形中的兩圓顯然是外離，通過作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造出矩形與直角三角形進(jìn)行計(jì)算，而后一種情形在未算出圓心距時(shí)則不能判定位置關(guān)系，這就給畫圖帶來了困難。但如果我們換一種思路，發(fā)現(xiàn)兩條公切線互相垂直，正好為我們建立直角坐標(biāo)系提供了條件，把互相垂直的兩條公切線分別當(dāng)作x軸，y軸建立起直角坐標(biāo)系，那么圓心距就轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離了。而圓心A，圓心B相對(duì)切線來說就是必定在與切線距離為半徑的直線上，即在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)到兩坐標(biāo)系的距離為2和6的點(diǎn)。因此，圓心的位置就容易確定了，而問題就轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離問題了。

3.基于坐標(biāo)系解決最值問題

圖形問題中，尤其是在運(yùn)動(dòng)中尋求最值在幾何圖形中占了不小的比例。通常我們會(huì)將這個(gè)變化過程中的一些變量用未知數(shù)來表示，從而通過建立函數(shù)關(guān)系式來求最值問題，其實(shí)這已經(jīng)接近與利用直角坐標(biāo)系解決問題了。但是在解決問題過程中往往會(huì)需要借助較多的幾何知識(shí)尋找量與量之間的關(guān)系，對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力要求相對(duì)比較高，其實(shí)在想到利用函數(shù)解決問題的時(shí)候不妨直接考慮巧建坐標(biāo)系，將諸多的量直接轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，思路會(huì)更加的清晰。

解法二：如圖9建立直角坐標(biāo)系，等價(jià)于圖10，在直線上找一點(diǎn)E到直線同側(cè)兩點(diǎn)P，B′的距離和的最小值。過點(diǎn)B作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段BB′，使BB′=1，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時(shí)四邊形ABEF的周長最小。

【分析】本題的考點(diǎn)是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系欲使四邊形ABEF的周長最小問題。利用常規(guī)解法，如解法一解決。如解法一中需要利用勾股定理、相似、平行四邊形等較多的知識(shí)證明線段相等，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，書寫比較麻煩，一方面影響解題速度，另外數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性也需時(shí)刻關(guān)注。尤其是在確定位置的時(shí)候要利用三角形相似求線段的長度，比較繁瑣。而解法二在分析出線段PB與EF是定長后，只需BE+AF最小，從而通過巧建坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為在直線上找一點(diǎn)E到直線同側(cè)兩點(diǎn)P，B′的距離和的最小值。而且在求線段最值和點(diǎn)E的位置時(shí)充分利用坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合直線方程方便快速求出點(diǎn)E位置。

總之，數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法滲透在新教材中。平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)學(xué)研究中的一種重要工具，它更是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。本文從距離問題、圓心距問題、面積問題、最值問題巧建坐標(biāo)系，通過對(duì)比建坐標(biāo)系前后解題過程的分析，凸顯巧建坐標(biāo)系在解決幾何問題方面的優(yōu)勢，為學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過程中提供一題多解的思路，也為教師在今后的教學(xué)中提供一個(gè)教學(xué)參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋木蘭.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例與反思：平面直角坐標(biāo)系[J].考試周刊，2015.

[2]薛黨鵬.解析幾何問題的解題技巧[J].中等數(shù)學(xué)，2003（4）.

編輯 李建軍