彭春齊

求解排列組合的綜合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題。只有認(rèn)真審題，才能把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，分清是排列還是組合問(wèn)題，并注意結(jié)合分類加法與分類乘法兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，要按元素的性質(zhì)確立分類的標(biāo)準(zhǔn)，按事情的發(fā)生過(guò)程確定分步的順序。以下是解排列組合綜合問(wèn)題的一般思路：

一、四項(xiàng)基本原則

一是“先選后排原則”：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)采取此原則，即先把符合題意的元素都選出來(lái)，再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列。

例1.從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ）

解析：根據(jù)所選偶數(shù)位0和2分類討論求解。

（1）當(dāng)選數(shù)字0時(shí)，再?gòu)?，3，5中取2個(gè)數(shù)字有C23種選法，將其排在個(gè)位與百位有A22種排法，則排成三位奇數(shù)有C23A22=6個(gè)。

（2）當(dāng)選數(shù)字2時(shí)，再?gòu)?，3，5中取2個(gè)數(shù)字有C23種選法，然后將選中的兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字選一個(gè)排在個(gè)位有C12種選法，其余兩個(gè)數(shù)字全排列有A22種排法，則排成的三位奇數(shù)有C23C12A22=12個(gè)。

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有18個(gè)三位奇數(shù)。

二是“特殊優(yōu)先原則”：如果問(wèn)題中有特殊元素或特殊位置，就優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置，再安排無(wú)特殊要求的其他元素或位置。

例2.有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)。

（1）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；

（2）某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表。

解析：（1）這名男生必須選擇，除他之外還需選擇4人，有C47種選法，由于該男生不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表，故先安排該男生有A14種方法，而其他4人沒(méi)有特殊要求，則任意作全排列，故符合題意的共有C47A14A44=3360種不同的選法。

（2）這名男生和女生必須選擇，因此先從除去該男生和該女生的6人中選3人，有C36種選法，該女生一定擔(dān)任語(yǔ)文科代表故不需安排，則先安排該男生，有A13種方法，其余3人作全排，有A33種方法，故符合題意的共有C36A13A33=360種不同的選法。

點(diǎn)評(píng)：有特殊要求的元素一般優(yōu)先安排，然后再對(duì)其他的元素作全排列。

三是“正難則反原則”：就是從正面直接考慮分類情況比較復(fù)雜或求解比較困難時(shí)，則從其反面考慮用間接法求解。

例3.已知M、N是兩個(gè)平行平面，在M內(nèi)取4個(gè)點(diǎn)，在N內(nèi)取5個(gè)點(diǎn)，這9個(gè)點(diǎn)中再無(wú)其他4點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，能作多少個(gè)三棱錐？

解析：以這9個(gè)點(diǎn)中4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)要組成三棱錐就是要求這4點(diǎn)不共面，直接從9個(gè)點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)不共面，應(yīng)分三類：平面M取3個(gè)點(diǎn)平面N取1個(gè)點(diǎn)，平面M取2個(gè)點(diǎn)平面N取2個(gè)點(diǎn)，平面M取1個(gè)點(diǎn)平面N取3個(gè)點(diǎn)，故可組成C34C15+C24C25+C14C35=120個(gè)三棱錐，但若從反面考慮，從9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)有C49種，再只需去掉其中4點(diǎn)共面的情況，而由題意可知只有平面M和平面N中有4點(diǎn)共面，故以這些點(diǎn)中4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能作C49-C44-C45=120個(gè)三棱錐。

點(diǎn)評(píng)：直接考慮選4個(gè)不共面的點(diǎn)作三棱錐分三類，其中容易漏選，但從反面間接考慮，在9個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)之中去掉4點(diǎn)共面的情況即可，顯然這種方法更便捷。

二、五種常見(jiàn)解法

1.分排問(wèn)題“直排法”

把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問(wèn)題，若沒(méi)有其他的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理。

例1.7人坐兩排座位，第一排坐3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？

解析：7個(gè)人可以在兩排中隨意就座，再無(wú)其他條件，故兩排可看作一排來(lái)處理，不同的坐法共有A77種。

2.相鄰問(wèn)題“捆綁法”

排列問(wèn)題中要求幾個(gè)元素相鄰就把幾個(gè)相鄰的元素捆綁在一起作為一個(gè)整體視為一個(gè)元素，待整個(gè)問(wèn)題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列。

例2.有3名男生，4名女生排成一行，其中男生必須在一起有多少種不同的排法？

解析：將男生看作一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有A33C55=720種不同的排法。

3.不相鄰問(wèn)題“插空法”

先排好其他一般元素，再把要求不相鄰的元素插入其他元素之間或兩端的空當(dāng)中就可確保其不相鄰。

例3.有3名男生，4名女生排成一行，要求男、女各不相鄰，有多少種不同的排法？

解析：先排好男生，然后將女生插入其中的4個(gè)空位中有A33A44=144種不同的排法。

4.順序固定問(wèn)題用“除法”

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

例4.五人排隊(duì)甲在乙前面的排法有幾種？

解析：若不考慮限制條件，則有A55種排法，而甲、乙之間排法有A22種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有種。

5.用比例法解排列問(wèn)題

有些排列應(yīng)用題，可以根據(jù)每個(gè)元素出現(xiàn)的機(jī)會(huì)占整個(gè)問(wèn)題的比例，直接求得問(wèn)題的解。

例5.由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少種？

解析：全排列為A55種，由題意可知滿足條件的五位數(shù)的個(gè)位數(shù)上出現(xiàn)2或4的可能性為，在余下的四個(gè)數(shù)字中，萬(wàn)位上出現(xiàn)滿足條件的數(shù)字的可能性為，故滿足條件的五位數(shù)共有A55=36種。

排列問(wèn)題千變?nèi)f化，沒(méi)有一成不變的方法，在求解過(guò)程中關(guān)鍵是抓住問(wèn)題本質(zhì)，并遵循兩個(gè)原則：（1）按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步；（2）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，靈活處理就能找到適當(dāng)?shù)慕忸}方法。

參考文獻(xiàn)：

徐應(yīng)仙.排列組合解題技巧的研究[J].科技信息，2011（30）.

編輯 李建軍