滕晶（貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

?

廣義不確定性原理對(duì)量子躍遷能譜的修正

滕晶
（貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

摘 要：在現(xiàn)代物理學(xué)中，人們?cè)絹碓街匾暰?xì)化研究，對(duì)理論與實(shí)驗(yàn)間存在的誤差產(chǎn)生了濃厚的興趣.尤其是在量子力學(xué)中，人們發(fā)現(xiàn)通過理論計(jì)算出來的能量總是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有些許偏頗.那么究竟是理論不夠完善還是實(shí)驗(yàn)不夠精確呢？在此背景下，前人提出了廣義不確定性原理，本文基于廣義不確定原理，針對(duì)重力場中的量子躍遷的能譜進(jìn)行研究，期望能夠獲得在該條件下能量的修正，并對(duì)此作出物理上的解釋.

關(guān)鍵詞：量子力學(xué)；廣義不確定性原理；量子躍遷

近代物理學(xué)中，有一些極為有名的理論，如：弦理論、黑洞理論、圈量子引力理論，這些理論看似天差地別，但是他們卻有一個(gè)共性——可以自然推出最小長度和最大動(dòng)量的存在.這兩個(gè)基本存在不僅在物理學(xué)中廣泛存在，而且對(duì)非對(duì)易幾何也有頗深的影響.在此背景下，廣義不確定性原理應(yīng)運(yùn)而生［1-8］.那么究竟什么是廣義不確定性原理呢？簡單說來，廣義不確定原理修改了海森堡不確定性原理的表達(dá)式，即在原先的表達(dá)式中加入了參數(shù)α.若是修正后的海森堡不確定性關(guān)系式能夠更好的減少理論與實(shí)驗(yàn)間的誤差，那么就認(rèn)為該修正是正確的，有意義的.

那么如何將參數(shù)α融入到海森堡不確定性原理的式子中成為了研究者的一個(gè)難題，在2012年以前，最為著名的表達(dá)式為［9-10］：

前人在此表達(dá)式下已經(jīng)有許多建設(shè)性的結(jié)論，這些結(jié)論在一定程度上拉近了實(shí)驗(yàn)與理論間的距離.但是遺憾的是，該表達(dá)式在本質(zhì)上卻有著自身無法克服的困難.

●由于該提議本身來源于微擾，繼而只對(duì)較小量有較好的可用性.

●雖然最小長度與理論本身不相悖，但是其最大動(dòng)量與DSR理論中的最大動(dòng)量并不相同.換而言之，該表達(dá)式僅給出可測(cè)量動(dòng)量的上界，卻不是可觀測(cè)的動(dòng)量的值.

在此背景下，2012年，伊朗著名學(xué)者Pouria Pedram提出了一個(gè)全新的廣義不確定原理關(guān)系式，該關(guān)系式較好的克服了之前遺留下來的兩個(gè)問題，并且該學(xué)者在這一領(lǐng)域的研究頗有建樹.本文在他提出的全新的廣義不確定原理下，探究廣義不確定性原理對(duì)量子躍遷的能譜所產(chǎn)生的影響.

1 廣義不確定性原理

經(jīng)典的廣義不確定性原理關(guān)系式如式（1）所示，基礎(chǔ)該原理，之前的學(xué)者得到其最小長度與最大動(dòng)量為：

但是就像引言中所陳述的，雖然該原理從一定程度上解決了一些問題，然而該原理本身卻有著一定的局限性.為了克服這些困難，我們采用下面這個(gè)全新的廣義不確定性式子.

α—廣義不確定性原理參數(shù)，無量綱

Mp—是普朗克質(zhì)量

α0—無量綱的廣義不確定原理參數(shù)

根據(jù)上面廣義不確定性關(guān)系的式子，得到式（5）：

在坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)與動(dòng)量又可以表示為如下的式子：

2 廣義不確定原理對(duì)量子躍遷能譜的修正

研究廣義不確定性原理對(duì)量子躍遷的能譜修正，首先我們假定一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，該粒子處于重力場中，即：

上式中g(shù)為重力加速度，在這個(gè)體系中，哈密頓量為：

利用等式（9），將修正后的動(dòng)量表達(dá)式帶入該哈密頓量，得到：

等式中的?（p）即為ψ（x）的傅立葉逆變換.對(duì)于一個(gè)一階微分方程，我們得到它的解為：

由于廣義不確定性原理參數(shù)a本身是一個(gè)小量，我們可以將上式寫成如下形式：

現(xiàn)在，我們運(yùn)用傅立葉變換，將上式寫成坐標(biāo)表象中的形式：

最后，根據(jù)我們預(yù)設(shè)的條件，在x≤0時(shí)，勢(shì)能為無窮大，因此在x=0處波函數(shù)為0.該條件使得能量變成量子化，等式變?yōu)椋?/p>

為了進(jìn)一步研究和計(jì)算方便，在這里，我們將一些常量賦值，即g=2?=4m=2，賦值之后，等式將大大簡化為一個(gè)代數(shù)等式，能量的本征值即為以下代數(shù)式的解：

綜上，能量將變?yōu)榱孔踊?，并且可以從以下波函?shù)中求得.

這之中，En需滿足是等式（20）的解.表（1）中作者列舉了在廣義不確定性原理下前十個(gè)激發(fā)態(tài)能量的修正，從表上我們發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)激發(fā)態(tài)的能量值均相對(duì)增加.

n α=0 α=0.1 α=0.2 0 2.338 2.427 5.570 1 4.088 4.379 4.647 2 5.521 5.948 6.109 3 6.787 7.255 7.353 4 7.944 8.421 8.484 5 9.023 9.493 9.537 6 10.040 10.501 10.534 7 11.008 11.454 11.483 8 11.936 12.370 12.393 9 12.829 13.254 13.271

3 結(jié)論

在本文中，我們基于廣義不確定性原理，對(duì)重力場中的量子躍遷的能譜進(jìn)行了修正.我們計(jì)算了廣義不確定原理下的哈密頓量的改變，并且給出了相應(yīng)的波函數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)，該波函數(shù)是一個(gè)6階的微分方程，我們很難得到具體的解析解.因此，在這個(gè)背景下，我們將該高階波函數(shù)寫成動(dòng)量表象下的波函數(shù)，這種做法很好的規(guī)避了上述的困難，在做一個(gè)變換之后，呈現(xiàn)在我們眼前的是一個(gè)一階的微分方程.我們?cè)趧?dòng)量空間中得到了該波函數(shù)的解，并且得到了在廣義不確定原理下的能量的本征值，通過對(duì)表（1）中具體的數(shù)值分析我們發(fā)現(xiàn)，廣義不確定原理下的能級(jí)相對(duì)于之前均有所增加，雖然增加的數(shù)值不大，但是卻很好的縮小了理論與實(shí)驗(yàn)間的誤差.在當(dāng)前的研究中，該修正或許是無足輕重的，但是在日后越加精細(xì)化的研究中，廣義不確定性下對(duì)量子力學(xué)的修正必定會(huì)變得更為重要！

參考文獻(xiàn)：

〔1〕D.Amati,M.Ciafaloniand G.Veneziano, Can space-time be probed below the string Size,Phys.Lett.B 216（1989）41.

〔2〕M.Maggiore,Quantum groups,gravityand the generalized uncertainty principle, Phys.Rew.D 49（1994）5182［hep-th/9305163］.

〔3〕K.Nozari,some aspects of plank scale quantum optics,Phys.Lett.B 629（2005）41［hepth/0508078］.

〔4〕A.Kempf,G.Mangano and R.B.Mann, Hilbertspace representation ofthe Minimal length uncertainty relation,Phys.Rew.D 52 （1995）1108.

〔5〕S.Hossenfelder et al.,Collider signatures in the planck regime,Phys.Lett.B 575（2003）85［hep-th/0305262］.

〔6〕K.Nozari,T.Azizi,some aspects of gravitation quantum mechanics,Gen.Rel.Grav.38 （2006）735.

〔7〕M.Maggiore,A generalized uncertainty principlein quantum gravity,Phys.Lett.B 304 （1993）65［hep-th/9301067］.

〔8〕S.Das,E.C.Vagenas,Can.J.Phys.87（2009）233.

〔9〕PouriaPedram,Phys.Lett.B 714（2012）317-323.

〔10〕P.Pedram,Europhys.Lett.89（2010）50008.

〔11〕PouriaPedram，arXiv：1210.5334v ［hep -th］19Oct2012.

中圖分類號(hào)：O413.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）05-0006-03

收稿日期：2016-03-18