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        ∞-余純投射模

        2016-07-24 17:24:31施莉娜王芳貴
        關(guān)鍵詞:內(nèi)射模投射模子模

        施莉娜,王芳貴,熊 濤

        (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

        ∞-余純投射模

        施莉娜,王芳貴*,熊 濤

        (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

        設(shè)R是環(huán),F(xiàn)∞表示平坦維數(shù)有限的左R-模類(lèi).左R-模M稱(chēng)為∞-余純投射模,指對(duì)任意N∈ F∞都有.證明∞-余純投射模M是投射模當(dāng)且僅當(dāng)M∈F∞,同時(shí)證明當(dāng)l.FFD(R)=0時(shí),余純投射模是∞-余純投射模.用∞-余純投射??坍?huà)QF環(huán)和CPH環(huán),證明R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R-模是∞-余純投射模,當(dāng)且僅當(dāng)每一N∈F∞是內(nèi)射模.也證明了R是CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)∞-余純投射左R-模的子模是∞-余純投射模,當(dāng)且僅當(dāng)每一N∈F∞的內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)1.

        余純投射模;平坦模;∞-余純投射模;QF環(huán);CPH環(huán)

        1 預(yù)備知識(shí)

        E.E.Enochs等[1]引入余純內(nèi)射模和強(qiáng)余純內(nèi)射模的概念,左R-模M稱(chēng)為余純內(nèi)射模是指對(duì)任意內(nèi)射左R-模E,都有.左R-模M稱(chēng)為強(qiáng)余純內(nèi)射模是指對(duì)任意內(nèi)射左R-模E,及所有i≥1,都有.E.E.Enochs等[2]又提出余純平坦模和強(qiáng)余純平坦模的概念.右R-模N稱(chēng)為余純平坦模是指對(duì)任意內(nèi)射左R-模E,都有.右R-模N稱(chēng)為強(qiáng)余純平坦模是指對(duì)任意內(nèi)射左R-模E,及所有i≥1,都有.在文獻(xiàn)[2]中,可以看到余純內(nèi)射模和余純平坦模在刻畫(huà)n-Gorenstein環(huán)中發(fā)揮重要作用.

        J.Z.Xu[3]定義了余撓模,R-模M稱(chēng)為余撓模是指對(duì)一切平坦模F,有1.并用余撓??坍?huà)了完全環(huán),給出了平坦蓋的相關(guān)性質(zhì).E. Enochs等[4]引入了-撓模的概念,這與余撓模是對(duì)偶的.R-模M稱(chēng)為-撓模,是指對(duì)一切平坦模F,有HomR(M,F(xiàn))=0,且,借助于?-撓模的討論,給出了模有的平坦包相關(guān)性質(zhì)刻劃,相關(guān)研究參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-7].

        X.H.Fu等[8]引入了余純投射模和強(qiáng)余純投射模的概念,以及n-余純投射模的概念.用F表示平坦模類(lèi),F(xiàn)n表示平坦維數(shù)不超過(guò)n的模類(lèi).左R-模M稱(chēng)為n-余純投射模,是指對(duì)任何模N∈ Fn,都有;M稱(chēng)為強(qiáng)余純投射模,是指對(duì)任何模N∈F,以及任何i≥1,都有=0;0-余純投射模也簡(jiǎn)稱(chēng)為余純投射模.顯然強(qiáng)余純投射模是n-余純投射模,n-余純投射模是余純投射模.利用余純投射模的概念,給出QF環(huán)的新刻畫(huà),證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R-模的是余純投射模.

        熊濤等[9]討論了余純投射模的遺傳性質(zhì),引入了CPH環(huán)的概念,并且討論了CPH環(huán)與遺傳環(huán)的關(guān)系.環(huán)R稱(chēng)為左CPH環(huán),簡(jiǎn)稱(chēng)為CPH環(huán),是指每一余純投射左R-模的子模是余純投射模.相應(yīng)地,文獻(xiàn)[10]也討論了n-余純投射模,并利用n-余純投射模引入相對(duì)遺傳環(huán)的概念.本文引入和討論∞-余純投射模的概念,指出投射模、強(qiáng)余純投射模、∞-余純投射模、n-余純投射模和余純投射模的一些關(guān)系,并以此給出QF環(huán)和CPH環(huán)的一個(gè)新刻畫(huà),即證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R-模是∞-余純投射模;R是CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)∞-余純投射左R-模的子模還是∞-余純投射模,當(dāng)且僅當(dāng)左R-模每個(gè)平坦維數(shù)有限的模N的內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)1(定理2.10).

        在下面正文中所有的模都指左模,并用F∞表示平坦維數(shù)有限的模類(lèi).

        2 ∞-余純投射模

        設(shè)R是環(huán),R-模M稱(chēng)為∞-余純投射模,是指對(duì)任何模N∈F∞,都有

        1)投射模自然是∞-余純投射模;

        2)對(duì)任何n≥0,∞-余純投射模是n-余純投射模.

        命題2.1 設(shè)R是環(huán).如果M是強(qiáng)余純投射模,則M是∞-余純投射模.

        證明 設(shè)M是強(qiáng)余純投射模,由文獻(xiàn)[8],對(duì)任意N∈F∞,有,所以M是∞-余純投射模.

        定理2.2 對(duì)R-模M,以下各條等價(jià):

        1)M是∞-余純投射模;

        2)任何正合列0→N→B→M→0是分裂的正合列,其中N∈F∞;

        3)設(shè)0→A→B→C→0是正合列,其中A∈F∞,則

        也是正合列;

        4) 設(shè)0→A→B→M→0是正合列,則對(duì)任何N∈F∞有

        也是正合列.

        證明 1)?4)因?yàn)镸是∞-余純投射模,對(duì)任意N∈F∞有正合列

        是正合列,于是α*是滿(mǎn)射,所以存在h:B→N,使得α*(h)=hα=1N,從而該正合列是分裂的.

        是正合列.

        由條件HomR(M,E)→HomR(M,E/N)→0是正合列,于是得到正合列,因此有,即M是∞-余純投射模.

        命題2.3 1)設(shè)0→A→B→C→0是正合列.若A、C是∞-余純投射模,則B是∞-余純投射模.

        2)設(shè){Mi}是一簇R-模,則是∞-余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)每一Mi是∞-余純投射模.

        證明 1)對(duì)任意N∈F∞,由于A、C是∞-余純投射左R-模,有由正合列

        2)對(duì)任意N∈F∞,有自然同構(gòu)1,所以當(dāng)且僅當(dāng)右邊每一項(xiàng)

        命題2.4 設(shè)R是交換環(huán),P是投射R-模.如果M是∞-余純投射R-模,則是∞-余純投射模.

        證明 對(duì)任意T-模N,且fdTN<∞.由平坦維數(shù)的換環(huán)定理,有fdRN≤fdTN+fdRT<∞.設(shè)0→N→E→C→0是正合列,其中E是內(nèi)射T-模,則有下面的2行是正合列的交換圖(圖1).

        推論2.6 設(shè)?:R→T是環(huán)同態(tài),且T是平坦右R-模.設(shè)M是∞-余純投射R-模,則是∞-余純投射T-模.

        推論2.7 設(shè)R是交換環(huán),S是R-的乘法封閉集.設(shè)M是∞-余純投射R-模,則MS是∞-余純投射RS-模.

        推論2.8 設(shè)M是∞-余純投射R-模,則M[x]是∞-余純投射R[x]-模.

        命題2.9 設(shè)R是交換環(huán),P是有限生成投射R-模.如果 M 是∞-余純投射 R-模,則HomR(P,M)是∞-余純投射模.

        證明 對(duì)任意N∈F∞,由文獻(xiàn)[12]有自然同構(gòu)因?yàn)镸是∞-余純投射模,則,從而,故HomR(P,M)是∞-余純投射模.

        下面來(lái)看什么情況下∞-余純投射模是投射模.

        定理2.10 設(shè)M是∞-余純投射R-模,則M是投射模當(dāng)且僅當(dāng)fdRM<∞,于是∞-余純投射模不是投射模時(shí),一定有平坦維數(shù)是無(wú)窮大.

        證明 設(shè)fdRM<∞,0→K→P→M→0是正合列,其中P是投射模,于是K∈F∞.由定理2.4知此正合列分裂,故M是投射模.反之是顯然的.

        由定理2.12可以得出如下推論:

        推論2.11 設(shè)w.gl.dim(R)<∞,則每一∞-余純投射模是投射模.

        3 環(huán)的刻畫(huà)

        QF環(huán)是一個(gè)經(jīng)典的環(huán)類(lèi).有一些經(jīng)典的刻畫(huà),例如,它等價(jià)于說(shuō)投射模是內(nèi)射模,或等價(jià)于說(shuō)平坦模是內(nèi)射模,也等價(jià)于內(nèi)射模是投射模[3].文獻(xiàn)[8]證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一R-模是余純投射模.現(xiàn)在也可以用前面定義的∞-余純投射模來(lái)刻畫(huà)QF環(huán).

        定理3.1 對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

        1)R是QF環(huán);

        2)每一平坦模是內(nèi)射模;

        3)每一R-模是強(qiáng)余純投射模;

        4)每一R-模是∞-余純投射模;

        5)每一有限生成R-模是∞-余純投射模;

        6)每一循環(huán)R-模是∞-余純投射模;

        7)每一N∈F∞是內(nèi)射模;

        8)每一內(nèi)射R-模的商模是∞-余純投射模.

        2)?1)顯然.

        2)?3)設(shè)M是R-模.對(duì)任何平坦模F,則F是內(nèi)射模,故對(duì)任何k>0,有,因此M是強(qiáng)余純投射模.

        對(duì)R的任何左理想I,由假設(shè)有R/I是∞-余純投射模,于是有.因此,N是內(nèi)射模.

        7)?2)平凡的.

        4)?8)這也是平凡的.

        8)?3)對(duì)任意N∈F∞,取正合列0→N→E→M→0,其中E是內(nèi)射模,M=E/N.由假設(shè)M是∞-余純投射模,因此,從而任何正合列0→N→E→M→0是分裂的,故是N內(nèi)射模.

        在文獻(xiàn)[9]中給出了余純投射遺傳環(huán)(CPH)的定義.環(huán)R稱(chēng)為左CPH環(huán),簡(jiǎn)稱(chēng)為CPH環(huán),是指余純投射R-模的子模是余純投射模,并在文獻(xiàn)[9]中指出環(huán)R為CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)平坦模的內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)1.下面用∞-余純投射模給出CPH環(huán)的新刻畫(huà).

        定理3.2 對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

        1)R是CPH環(huán);

        2)若N是平坦模,則idRN≤1;

        3)若N∈F∞,則idRN≤1;

        4)∞-余純投射R-模的子模是∞-余純投射模;

        5)投射R-模的子模是∞-余純投射模;

        6)自由R-模的子模是∞-余純投射模;

        7)R的每個(gè)左理想是∞-余純投射模.

        3)?5)設(shè)0→A→P→X→0是正合列,其中P是投射模,則對(duì)任何N∈F∞,由正合列

        注意左邊方圖是推出圖,從而有0→K→P→A→B→0是正合列.由假設(shè),K是∞-余純投射模.由命題2.5的1)有P→A是余純投射模.由命題2.5的2)有A是∞-余純投射模.

        推論3.3 設(shè)R是CPH環(huán),M是R-模,則M是∞-余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何N∈F∞,及任何n≥1,有

        命題3.4 設(shè)R是CPH環(huán),0→A→B→C→0是正合列,如果C是∞-余純投射模,則A是∞-余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是∞-余純投射模.

        證明 對(duì)任意N∈F∞有正合列

        環(huán)的左弱finitistic維數(shù)為

        下面給出余純投射模是∞-余純投射模的一個(gè)充分條件.

        定理3.5 若l.FFD(R)=0,則余純投射模是∞-余純投射模.

        證明 設(shè) M是余純投射 R-模.對(duì)任何N∈RM,若fdRN<∞,由假設(shè)fdRN=0,故N)=0,于是得到M是∞-余純投射模.

        在文獻(xiàn)[14]中稱(chēng)環(huán)R為右IF環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)每一內(nèi)射右R-模是平坦模.當(dāng)R是左凝聚環(huán)時(shí),證明R是右IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左FP-內(nèi)射模.

        推論3.6 設(shè)R是右IF環(huán),則余純投射模是∞-余純投射模.

        證明 由 于 R 是 右 IF環(huán),容 易 看 到l.FFD(R)=0.應(yīng)用定理3.5即得.

        推論3.7 環(huán)R是右IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左凝聚環(huán)且每一有限表現(xiàn)R-模是∞-余純投射模.

        證明 設(shè)R是右IF環(huán).由文獻(xiàn)[15]知R是左凝聚環(huán).由文獻(xiàn)[14]得R是FP-內(nèi)射模,所以每個(gè)有限生成自由模是FP-內(nèi)射模.對(duì)任意平坦模N,由文獻(xiàn)[11]有N=lim→Fi,其中Fi是有限生成自由模.又因?yàn)镸是有限表現(xiàn)模,根據(jù)文獻(xiàn)[16]有

        從而M是余純投射模,由推論3.6得M是∞-余純投射模.

        反之,設(shè)M是有限表現(xiàn)R-模,由條件M是∞-余純投射模,而 R作為 R-模是平坦模,故是FP-內(nèi)射模.由于R是左凝聚環(huán),引用文獻(xiàn)[14]知R是右IF環(huán).

        文獻(xiàn)[8]定義了模M的余純投射維數(shù)m=cpd(M)為使得對(duì)所有i>0,及所有平坦模R-模成立的最小非負(fù)整數(shù),也等價(jià)

        于M的余純投射分解的最短長(zhǎng)度.他們還定義了環(huán)的余純投射維數(shù)為

        命題3.8 設(shè)M是余純投射模.若cpd(M)≤1,則M是強(qiáng)余純投射模.

        證明 由文獻(xiàn)[8]即得.

        在文獻(xiàn)[17]中定義了環(huán)的(左)內(nèi)射-平坦維數(shù)為

        l.IFD(R)=sup{fdRE|E是內(nèi)射模}.文獻(xiàn)[17]也證明了若 R是右凝聚環(huán),則 FP-id(RR)=l.IFD(R).

        命題3.9 設(shè)R是右凝聚環(huán),且FP-id(RR)<∞,則模M是∞-余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)M是強(qiáng)余純投射模.

        證明 由文獻(xiàn)[8]即得.

        例3.10 在文獻(xiàn)[10]中已經(jīng)給出了一個(gè)環(huán)R,使得對(duì)任何n≥2,存在一個(gè)(n-2)-余純投射模不是n-余純投射模.由此自然得到,對(duì)這個(gè)環(huán)R,以及任何n≥0,存在一個(gè)n-余純投射模不是∞-余純投射模.

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        ∞-copure Projective Modules

        SHI Lina,WANG Fanggui,XIONG Tao

        (College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,Sichuan)

        Let R be a ring and denote by F∞the class of left R-modules with finite flat dimension.A left R-module M is called∞-copure projective iffor all N∈F∞.In this paper we prove that an∞-copure projective module M is projective if and only if M∈F∞,and that if l.FFD(R)=0 then every copure projective left R-module is∞-copure projective.Then we characterize QF and CPH rings in terms of∞-copure projective modules,and prove that R is QF ring if and only if every left R-module is∞-copure projective if and only if every N∈F∞is injective.We also prove that R is CPH ring if and only if every submodule of an∞-copure projective left R-module is∞-copure projective if and only if idRN≤1 for all N∈ F∞.

        copure projective module;flat module;∞-copure projective module;QF ring;CPH ring

        O154

        A

        1001-8395(2016)04-0479-05

        10.3969/j.issn.1001-8395.2016.04.003

        (編輯 鄭月蓉)

        2015-04-29

        國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)

        *通信作者簡(jiǎn)介:王芳貴(1955—),男,教授,主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:wangfg2004@163.com

        2010 MSC:16D40;16E30

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