施莉娜，王芳貴，熊 濤

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

∞－余純投射模

施莉娜，王芳貴*，熊 濤

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是環(huán)，F(xiàn)∞表示平坦維數(shù)有限的左R－模類．左R－模M稱為∞－余純投射模，指對任意N∈ F∞都有．證明∞－余純投射模M是投射模當(dāng)且僅當(dāng)M∈F∞，同時證明當(dāng)l．FFD(R)=0時，余純投射模是∞－余純投射模．用∞－余純投射?？坍婹F環(huán)和CPH環(huán)，證明R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R－模是∞－余純投射模，當(dāng)且僅當(dāng)每一N∈F∞是內(nèi)射模．也證明了R是CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)∞－余純投射左R－模的子模是∞－余純投射模，當(dāng)且僅當(dāng)每一N∈F∞的內(nèi)射維數(shù)不超過1．

余純投射模;平坦模;∞－余純投射模;QF環(huán);CPH環(huán)

1 預(yù)備知識

E．E．Enochs等［1］引入余純內(nèi)射模和強余純內(nèi)射模的概念，左R－模M稱為余純內(nèi)射模是指對任意內(nèi)射左R－模E，都有．左R－模M稱為強余純內(nèi)射模是指對任意內(nèi)射左R－模E，及所有i≥1，都有．E．E．Enochs等［2］又提出余純平坦模和強余純平坦模的概念．右R－模N稱為余純平坦模是指對任意內(nèi)射左R－模E，都有．右R－模N稱為強余純平坦模是指對任意內(nèi)射左R－模E，及所有i≥1，都有．在文獻［2］中，可以看到余純內(nèi)射模和余純平坦模在刻畫n－Gorenstein環(huán)中發(fā)揮重要作用．

J．Z．Xu［3］定義了余撓模，R－模M稱為余撓模是指對一切平坦模F，有1．并用余撓模刻畫了完全環(huán)，給出了平坦蓋的相關(guān)性質(zhì)．E． Enochs等［4］引入了－撓模的概念，這與余撓模是對偶的．R－模M稱為－撓模，是指對一切平坦模F，有HomR(M，F(xiàn))=0，且，借助于?－撓模的討論，給出了模有的平坦包相關(guān)性質(zhì)刻劃，相關(guān)研究參見文獻［1－7］．

X．H．Fu等［8］引入了余純投射模和強余純投射模的概念，以及n－余純投射模的概念．用F表示平坦模類，F(xiàn)n表示平坦維數(shù)不超過n的模類．左R－模M稱為n－余純投射模，是指對任何模N∈ Fn，都有;M稱為強余純投射模，是指對任何模N∈F，以及任何i≥1，都有=0;0－余純投射模也簡稱為余純投射模．顯然強余純投射模是n－余純投射模，n－余純投射模是余純投射模．利用余純投射模的概念，給出QF環(huán)的新刻畫，證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R－模的是余純投射模．

熊濤等［9］討論了余純投射模的遺傳性質(zhì)，引入了CPH環(huán)的概念，并且討論了CPH環(huán)與遺傳環(huán)的關(guān)系．環(huán)R稱為左CPH環(huán)，簡稱為CPH環(huán)，是指每一余純投射左R－模的子模是余純投射模．相應(yīng)地，文獻［10］也討論了n－余純投射模，并利用n－余純投射模引入相對遺傳環(huán)的概念．本文引入和討論∞－余純投射模的概念，指出投射模、強余純投射模、∞－余純投射模、n－余純投射模和余純投射模的一些關(guān)系，并以此給出QF環(huán)和CPH環(huán)的一個新刻畫，即證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一左R－模是∞－余純投射模;R是CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)∞－余純投射左R－模的子模還是∞－余純投射模，當(dāng)且僅當(dāng)左R－模每個平坦維數(shù)有限的模N的內(nèi)射維數(shù)不超過1(定理2．10)．

在下面正文中所有的模都指左模，并用F∞表示平坦維數(shù)有限的模類．

2 ∞－余純投射模

設(shè)R是環(huán)，R－模M稱為∞－余純投射模，是指對任何模N∈F∞，都有

1)投射模自然是∞－余純投射模;

2)對任何n≥0，∞－余純投射模是n－余純投射模．

命題2．1 設(shè)R是環(huán)．如果M是強余純投射模，則M是∞－余純投射模．

證明 設(shè)M是強余純投射模，由文獻［8］，對任意N∈F∞，有，所以M是∞－余純投射模．

定理2．2 對R－模M，以下各條等價:

1)M是∞－余純投射模;

2)任何正合列0→N→B→M→0是分裂的正合列，其中N∈F∞;

3)設(shè)0→A→B→C→0是正合列，其中A∈F∞，則

也是正合列;

4) 設(shè)0→A→B→M→0是正合列，則對任何N∈F∞有

也是正合列．

證明 1)?4)因為M是∞－余純投射模，對任意N∈F∞有正合列

是正合列，于是α*是滿射，所以存在h:B→N，使得α*(h)=hα=1N，從而該正合列是分裂的．

是正合列．

由條件HomR(M，E)→HomR(M，E/N)→0是正合列，于是得到正合列，因此有，即M是∞－余純投射模．

命題2．3 1)設(shè)0→A→B→C→0是正合列．若A、C是∞－余純投射模，則B是∞－余純投射模．

2)設(shè){Mi}是一簇R－模，則是∞－余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)每一Mi是∞－余純投射模．

證明 1)對任意N∈F∞，由于A、C是∞－余純投射左R－模，有由正合列

2)對任意N∈F∞，有自然同構(gòu)1，所以當(dāng)且僅當(dāng)右邊每一項

命題2．4 設(shè)R是交換環(huán)，P是投射R－模．如果M是∞－余純投射R－模，則是∞－余純投射模．

證明 對任意T－模N，且fdTN＜∞．由平坦維數(shù)的換環(huán)定理，有fdRN≤fdTN+fdRT＜∞．設(shè)0→N→E→C→0是正合列，其中E是內(nèi)射T－模，則有下面的2行是正合列的交換圖(圖1)．

推論2．6 設(shè)?:R→T是環(huán)同態(tài)，且T是平坦右R－模．設(shè)M是∞－余純投射R－模，則是∞－余純投射T－模．

推論2．7 設(shè)R是交換環(huán)，S是R－的乘法封閉集．設(shè)M是∞－余純投射R－模，則MS是∞－余純投射RS－模．

推論2．8 設(shè)M是∞－余純投射R－模，則M［x］是∞－余純投射R［x］－模．

命題2．9 設(shè)R是交換環(huán)，P是有限生成投射R－模．如果 M 是∞－余純投射 R－模，則HomR(P，M)是∞－余純投射模．

證明 對任意N∈F∞，由文獻［12］有自然同構(gòu)因為M是∞－余純投射模，則，從而，故HomR(P，M)是∞－余純投射模．

下面來看什么情況下∞－余純投射模是投射模．

定理2．10 設(shè)M是∞－余純投射R－模，則M是投射模當(dāng)且僅當(dāng)fdRM＜∞，于是∞－余純投射模不是投射模時，一定有平坦維數(shù)是無窮大．

證明 設(shè)fdRM＜∞，0→K→P→M→0是正合列，其中P是投射模，于是K∈F∞．由定理2．4知此正合列分裂，故M是投射模．反之是顯然的．

由定理2．12可以得出如下推論:

推論2．11 設(shè)w．gl．dim(R)＜∞，則每一∞－余純投射模是投射模．

3 環(huán)的刻畫

QF環(huán)是一個經(jīng)典的環(huán)類．有一些經(jīng)典的刻畫，例如，它等價于說投射模是內(nèi)射模，或等價于說平坦模是內(nèi)射模，也等價于內(nèi)射模是投射模［3］．文獻［8］證明了R是QF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一R－模是余純投射模．現(xiàn)在也可以用前面定義的∞－余純投射模來刻畫QF環(huán)．

定理3．1 對環(huán)R，以下各條等價:

1)R是QF環(huán);

2)每一平坦模是內(nèi)射模;

3)每一R－模是強余純投射模;

4)每一R－模是∞－余純投射模;

5)每一有限生成R－模是∞－余純投射模;

6)每一循環(huán)R－模是∞－余純投射模;

7)每一N∈F∞是內(nèi)射模;

8)每一內(nèi)射R－模的商模是∞－余純投射模．

2)?1)顯然．

2)?3)設(shè)M是R－模．對任何平坦模F，則F是內(nèi)射模，故對任何k＞0，有，因此M是強余純投射模．

對R的任何左理想I，由假設(shè)有R/I是∞－余純投射模，于是有．因此，N是內(nèi)射模．

7)?2)平凡的．

4)?8)這也是平凡的．

8)?3)對任意N∈F∞，取正合列0→N→E→M→0，其中E是內(nèi)射模，M=E/N．由假設(shè)M是∞－余純投射模，因此，從而任何正合列0→N→E→M→0是分裂的，故是N內(nèi)射模．

在文獻［9］中給出了余純投射遺傳環(huán)(CPH)的定義．環(huán)R稱為左CPH環(huán)，簡稱為CPH環(huán)，是指余純投射R－模的子模是余純投射模，并在文獻［9］中指出環(huán)R為CPH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個平坦模的內(nèi)射維數(shù)不超過1．下面用∞－余純投射模給出CPH環(huán)的新刻畫．

定理3．2 對環(huán)R，以下各條等價:

1)R是CPH環(huán);

2)若N是平坦模，則idRN≤1;

3)若N∈F∞，則idRN≤1;

4)∞－余純投射R－模的子模是∞－余純投射模;

5)投射R－模的子模是∞－余純投射模;

6)自由R－模的子模是∞－余純投射模;

7)R的每個左理想是∞－余純投射模．

3)?5)設(shè)0→A→P→X→0是正合列，其中P是投射模，則對任何N∈F∞，由正合列

注意左邊方圖是推出圖，從而有0→K→P→A→B→0是正合列．由假設(shè)，K是∞－余純投射模．由命題2．5的1)有P→A是余純投射模．由命題2．5的2)有A是∞－余純投射模．

推論3．3 設(shè)R是CPH環(huán)，M是R－模，則M是∞－余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)對任何N∈F∞，及任何n≥1，有

命題3．4 設(shè)R是CPH環(huán)，0→A→B→C→0是正合列，如果C是∞－余純投射模，則A是∞－余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)B是∞－余純投射模．

證明 對任意N∈F∞有正合列

環(huán)的左弱finitistic維數(shù)為

下面給出余純投射模是∞－余純投射模的一個充分條件．

定理3．5 若l．FFD(R)=0，則余純投射模是∞－余純投射模．

證明 設(shè) M是余純投射 R－模．對任何N∈RM，若fdRN＜∞，由假設(shè)fdRN=0，故N)=0，于是得到M是∞－余純投射模．

在文獻［14］中稱環(huán)R為右IF環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)每一內(nèi)射右R－模是平坦模．當(dāng)R是左凝聚環(huán)時，證明R是右IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左FP－內(nèi)射模．

推論3．6 設(shè)R是右IF環(huán)，則余純投射模是∞－余純投射模．

證明 由 于 R 是 右 IF環(huán)，容 易 看 到l．FFD(R)=0．應(yīng)用定理3．5即得．

推論3．7 環(huán)R是右IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左凝聚環(huán)且每一有限表現(xiàn)R－模是∞－余純投射模．

證明 設(shè)R是右IF環(huán)．由文獻［15］知R是左凝聚環(huán)．由文獻［14］得R是FP－內(nèi)射模，所以每個有限生成自由模是FP－內(nèi)射模．對任意平坦模N，由文獻［11］有N=lim→Fi，其中Fi是有限生成自由模．又因為M是有限表現(xiàn)模，根據(jù)文獻［16］有

從而M是余純投射模，由推論3．6得M是∞－余純投射模．

反之，設(shè)M是有限表現(xiàn)R－模，由條件M是∞－余純投射模，而 R作為 R－模是平坦模，故是FP－內(nèi)射模．由于R是左凝聚環(huán)，引用文獻［14］知R是右IF環(huán)．

文獻［8］定義了模M的余純投射維數(shù)m=cpd(M)為使得對所有i＞0，及所有平坦模R－模成立的最小非負整數(shù)，也等價

于M的余純投射分解的最短長度．他們還定義了環(huán)的余純投射維數(shù)為

命題3．8 設(shè)M是余純投射模．若cpd(M)≤1，則M是強余純投射模．

證明 由文獻［8］即得．

在文獻［17］中定義了環(huán)的(左)內(nèi)射－平坦維數(shù)為

l．IFD(R)=sup{fdRE|E是內(nèi)射模}．文獻［17］也證明了若 R是右凝聚環(huán)，則 FP－id(RR)=l．IFD(R)．

命題3．9 設(shè)R是右凝聚環(huán)，且FP－id(RR)＜∞，則模M是∞－余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)M是強余純投射模．

證明 由文獻［8］即得．

例3．10 在文獻［10］中已經(jīng)給出了一個環(huán)R，使得對任何n≥2，存在一個(n－2)－余純投射模不是n－余純投射模．由此自然得到，對這個環(huán)R，以及任何n≥0，存在一個n－余純投射模不是∞－余純投射模．

［1］ENOCHS E E，JENDA O M．G．Copure injective modules［J］．Quaestiones Math，1991，14(4):401－409．

［2］ENOCHS E E，JENDA O M G．Copure injective resolutions，flat resolutions and dimensions［J］．Comment Math Univ Carolin，1993，34(2):203－211．

［3］XU J Z．Flat Covers of Modules［M］．Berlin:Springer－Verlag，1996．

［4］ENOCHS E，HEMANDEZ J M，VALLE A D．Coherent rings of finite weak global dimension［J］．Proc AMS，1998，126:1611－1620．

［5］DING N Q，CHEN J L．On copure flat modules and flat resolvents［J］．Commun Algebra，1996，24(3):1071－1081．

［6］MAO L X，DING L Q．Relative copure injective and copure flat modules［J］．J Pure Appl Algebra，2007，208(2):635－646．

［7］SAZEEDEH R．Strongly torsion free，copure flat and Matlis reflexive modules［J］．J Pure Appl Algebra，2004，192(1/3):265－274．

［8］FU X H，ZHU H Y，DING L Q．On copure projective modules and copure projective dimensions［J］．Commun Algebra，2012，40(1):343－359．

［9］熊濤，王芳貴，胡葵．余純投射模與CPH環(huán)［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，36(2):198－200．

［10］GAO Z H．n－copure projective modules［J］．Math Notes，2015，97(1):58－66．

［11］ROTMAN J J．An Introduction to Homological Algebra［M］．New York:Springer－Verlag，2010．

［12］王芳貴．交換環(huán)與星型算子理論［M］．北京:科學(xué)出版社，2006．

［13］NICHOLSON W K，YOUSIF M F．Quasi－Frobenius Rings［M］．United Kingdom:Cambridge University Press，2003．

［14］JAIN S．Flat and FP－injective［J］．Proc AMS，1973，41:437－442．

［15］張力宏．右IF－環(huán)及凝聚環(huán)的撓理論［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報，1995，38(1):117－126．

［16］STENSTR M B．Coherent rings and FP－injective modules［J］．J London Math Soc，1970，2(2):323－329．

［17］DING N Q，CHEN J L．The flat dimensions of injective modules［J］．Manuscripta Math，1993，78(2):165－177．

∞-copure Projective Modules

SHI Lina，WANG Fanggui，XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and denote by F∞the class of left R-modules with finite flat dimension．A left R-module M is called∞-copure projective iffor all N∈F∞．In this paper we prove that an∞-copure projective module M is projective if and only if M∈F∞，and that if l．FFD(R)=0 then every copure projective left R-module is∞-copure projective．Then we characterize QF and CPH rings in terms of∞-copure projective modules，and prove that R is QF ring if and only if every left R-module is∞-copure projective if and only if every N∈F∞is injective．We also prove that R is CPH ring if and only if every submodule of an∞-copure projective left R-module is∞-copure projective if and only if idRN≤1 for all N∈ F∞．

copure projective module;flat module;∞-copure projective module;QF ring;CPH ring

O154

A

1001－8395(2016)04－0479－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．003

(編輯 鄭月蓉)

2015－04－29

國家自然科學(xué)基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16D40;16E30