姜愛萍， 夏　浩， 高峻峻， 池秋果， 吳思予

(上海大學 悉尼工商學院，上海 201800)

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電力物資復合泊松需求下的最優(yōu)訂貨量

姜愛萍， 夏浩， 高峻峻， 池秋果， 吳思予

(上海大學 悉尼工商學院，上海 201800)

摘要：以上海電力公司的物資供應體系為背景，給出了庫存策略下服從復合泊松分布的電力物資最優(yōu)訂貨量的算法。建立復合泊松分布下的庫存成本模型，對此模型用閉式算法求得其最小庫存成本下的最優(yōu)訂貨量，將該算法應用于電力物資進行實證分析。數(shù)值結果表明，與傳統(tǒng)的報童模型相比，本文提出的最優(yōu)訂貨量算法更適用于間斷需求。

關鍵詞：間斷需求； 復合泊松分布； 最優(yōu)訂貨量； 閉式算法； 近似算法

電力生產(chǎn)具有高度連續(xù)性，生產(chǎn)與消費同步意味著電力故障會對社會產(chǎn)生瞬時危害,而電力物資是電力生產(chǎn)運行的保障。但是，電力企業(yè)物資管理普遍存在著匱乏和積壓的雙重現(xiàn)象：一方面，企業(yè)因物資儲備不足而無法確保需求發(fā)生時的及時供應，產(chǎn)生高額缺貨成本和社會經(jīng)濟損失；另一方面，企業(yè)因物資儲備過量而導致積壓與腐蝕，造成大量資金浪費。因此，電力物資的庫存控制對電力企業(yè)至關重要。然而，大多數(shù)電力物資呈間斷需求特性，即需求是隨機的且需求數(shù)據(jù)中存在著大量零值，這些特點會給電力物資的庫存管理帶來很大的困難。

20世紀50年代以來，已有大量學術文獻對庫存控制方法進行了討論，但是傳統(tǒng)的庫存控制方法大多針對連續(xù)需求，因而對間斷需求是無效的[1-3]?？紤]到復合分布可以分開表示需求到達過程和需求量，其結構和間斷需求生成過程相似，所以許多學者[4-10]提出復合分布(尤其是復合泊松分布)可以為間斷需求的庫存物資分布提供良好的擬合。

在間斷需求的背景下,如果時間被視為離散變量,那么需求到達服從伯努利分布或者二項分布，此時，若需求量服從任意非負分布，則該需求過程服從復合伯努利分布或者復合二項分布；如果時間被視為連續(xù)變量,那么需求到達服從泊松分布，此時，若需求量服從任意非負分布，則該需求過程服從復合泊松分布。相較于伯努利分布和二項分布，泊松分布能捕捉到更多與需求發(fā)生相關的信息；并且由于復合泊松分布理論上可以得到標準的統(tǒng)計分布，相對簡單，其在學術文獻中是主流；此外，從對需求刻畫的角度來看，復合泊松過程不僅可以描述間斷需求還可以描述連續(xù)需求[11-12]。Matheus等[13]在需求服從復合泊松分布的前提下對(R,Q)庫存策略中的再訂貨點R提出了精確和近似的兩種計算方法，研究結果表明在大多數(shù)情況下用近似算法已經(jīng)能夠得到較好的再訂貨點R。馬保國等[14]假定航材可修件的需求服從復合泊松分布，建立了(S-1,S)庫存策略下的庫存決策模型。李冰[15]對具有復合泊松需求的聯(lián)合補充問題提出一啟發(fā)式算法，在一定服務水平下，利用該算法可以尋找出使單位時間內(nèi)平均成本最小的補充策略。雖然在許多運用復合分布的庫存策略研究中，復合泊松分布占主導地位，但是復合泊松需求過程下的庫存機制還有一些待解決的問題： 1)許多研究都是以服務水平為導向而不是以成本為導向的[16]； 2)分析成本導向系統(tǒng)時沒有考慮到提前期隨機的情況[16]； 3)缺少適用于間斷需求的庫存控制的簡便算法[17]。

針對上述問題，本文基于Babai[18]的研究給出了服從復合泊松分布的電力物資的(T,Q)最優(yōu)固定訂貨量算法；然后通過對電力物資進行實證分析將此算法與傳統(tǒng)的報童模型相比較。

1模型介紹

1.1模型背景和假設

電力企業(yè)物資管理的目的是以合理的儲備實現(xiàn)用最少的資金保證設備維修的需要。因此，以成本為導向的庫存控制模型與電力企業(yè)庫存管理的根本目標相一致。由于大部分電力物資呈間斷需求特性，而復合泊松分布能夠較好地擬合間斷需求?？紤]到伽馬分布只定義非負值，具有可加性且涵蓋了更為廣泛的實際分布形狀，能更好地擬合非零需求量。因此，將電力物資擬合成需求量服從伽馬分布、需求到達服從泊松分布的復合泊松伽馬過程。在此基礎之上，采用(T，Q)庫存策略，建立復合泊松伽馬分布下的庫存成本模型。

研究基于如下假設。

1)單級單產(chǎn)品的庫存系統(tǒng)；

2)提前期隨機，服從均值為L的一個一般分布；

3)庫存成本由持有成本與缺貨懲罰兩部分組成。

1.2符號說明

1.3模型建立

建立服從復合泊松分布的(T,Q)策略下的庫存成本最小化模型，求解使成本最小的物資最優(yōu)訂貨量。其中，庫存周期T定義為

(1)

(2)

設初始庫存為Q，當i=0時，提前期內(nèi)沒有需求到達的概率為PD=e-λL，則所持有的庫存未被消耗，此時庫存持有成本為hQP0；當i≠0時，提前期內(nèi)有i個需求到達，即需求量為Xi的概率如式(1)所示。此時，庫存成本分2種情況：若訂貨量可以滿足需求，即Q-Xi≥0，則庫存成本按持有成本h計算；若訂貨量無法滿足需求造成缺貨，即Q-Xi<0，則庫存成本按缺貨懲罰b計算。

b(Xi-Q)+]pi。

(3)

即

(4)

本文的目標是找到可以最小化預期總成本的固定訂貨量。在庫存成本函數(shù)中，訂貨量Q可以作為整體控制策略的變量，通過調(diào)節(jié)它來平衡缺貨成本和庫存成本，以最小化該訂貨量的庫存物資將產(chǎn)生的庫存成本。

由于當i≥1時，Q增加則Fi(Q)也增加，則導數(shù)也隨著Q增加。因此E[C(Q)]是關于Q的凸函數(shù)，則可以通過導數(shù)為零得出最優(yōu)的最大庫存水平Q*。

命題1最優(yōu)最大庫存水平Q*是式(5)的解

(5)

2模型求解

提出了一個可以用于計算最優(yōu)最大庫存水平Q*的閉式算法。由于式(5)中包含一個無限的和，因此，其數(shù)值需要截斷來計算求解，所以本文需要通過上限QU和下限QL估計最優(yōu)訂貨量。為了得到QU和QL，本文令

G(x,n)=

性質(zhì)1H(x,n)≤O(x)≤G(x,n)(對于所有的x，n≥0)。

性質(zhì)2G(x,n)，H(x,n)和O(x)都是x的增函數(shù)。

證明：G(x,n)、H(x,n)和O(x,n)都是由x組成的累積概率函數(shù)的和。由于這些累積概率函數(shù)是x的嚴格增函數(shù)，則G(x,n)、H(x,n)和O(x,n)也都是x的增函數(shù)。

性質(zhì)3當n趨向于無窮時，G(x,n)和H(x,n)逼近于O(x)。

命題2QL(n)≤Q*≤QU(n)是最優(yōu)Q*的范圍，其中,QU(n)和QL(n)分別是式(6)和(7)的解，

(6)

(7)

并且當n趨于無窮大時，QU(n)和QL(n)的值逼近Q*。

命題2表明，對于不同的n值，QU(n)和QL(n)界定了Q*的一個范圍，而當n增加時，這兩個邊界相互逼近，可以得到無限近似的Q*。

阿里又使勁點點頭。阿東又說：“羅爹爹去東湖練拳，走不動了。我們阿里每天早上用爸爸的輪椅推羅爹爹去，好不好？”

計算Q*的具體算法步驟如下。

步驟3：如果Δ(n)<ε，轉(zhuǎn)到步驟4；否則，n=n+1，轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟4：將n代入式(6)得到Q*。

流程如圖1。

3實證研究

對上海電力公司757種電力物資在2011年至2013年共36個月的需求數(shù)據(jù)進行分布擬合，其中，服從復合泊松伽馬分布的電力物資有576種。由于篇幅所限，本文以裝置性材料大類下的50種服從復合泊松伽馬分布的電力物資為例做實證研究。

電力物資總體信息見表1。

圖1　求解最優(yōu)訂貨量Q*的算法步驟

電力物資國網(wǎng)編碼大類中類小類物資單價平均需求量均值λ500016595裝置性材料電纜控制電纜20.95245.780.42500016583裝置性材料電纜控制電纜6.873382.241.75500032070裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜中間接頭6075.9520.520.11……………………………………500021420裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜中間接頭443.145.745.92500021255裝置性材料電纜附件35kV及以下電纜終端60.082.960.36500021832裝置性材料電纜附件電纜接線端子8.1525.980.83……………………………………500067871裝置性材料鐵附件成套抱箍62.3510.013.25500067786裝置性材料鐵附件瓷橫擔用角鐵橫擔113.5716.41.06500026517裝置性材料鐵附件電纜抱箍46.8950.610.17

由表1可知，這50種電力物資的平均需求到達率在0.11到8.86之間，如圖2所示。

圖2　50種裝置性材料的λ分布圖

圖3　服從復合泊松分布的需求分類

由于電力企業(yè)的缺貨懲罰遠高于庫存持有成本，不失一般性，本文設h=1，b=10。

分別根據(jù)本文模型和傳統(tǒng)的報童模型計算50種裝置性材料的最優(yōu)訂貨量及相應的庫存成本、平均庫存成本(C/Q)，結果見表2。

由于兩種方法的計算結果的量級差異較大，為了便于比較，本文分別對兩者取對數(shù)值，結果如圖4所示。

表2　50種裝置性材料的最優(yōu)訂貨量

圖4　兩種模型的平均單位成本比較

如圖4，比較選取的50組電力物資的平均單位庫存成本可知，當λ值較小(λ≤6)時，本文模型優(yōu)于傳統(tǒng)報童模型；而當λ值較大(λ>6)時，則相反。此外，隨著λ值增大，模型相較于報童模型的優(yōu)勢逐漸減小。因此在企業(yè)的庫存管理中，可以選用模型對間斷需求的物資進行庫存控制。

4結論

采用(T,Q)庫存控制策略，對服從復合泊松分布的電力物資建立提前期隨機和成本最小化的最優(yōu)訂貨量模型，并將其與傳統(tǒng)報童模型作比較。實證分析結果表明，當物資的需求偏間斷時本文的最優(yōu)訂貨量模型要優(yōu)于傳統(tǒng)報童模型，而隨著物資間斷性的減弱，本文提出的模型的優(yōu)勢也逐漸減小。

由于在此提出的最優(yōu)訂貨量算法是通過數(shù)值模擬的方法得到，所以該算法不局限于電力物資，對于其他企業(yè)的間斷需求的物資也適用。

參考文獻：

[1]DUNSMUIR W T M， SNYDER R N. Control of inventories with intermittent demand[J]. European Journal of Operational Research, 1989, 40(1):16-21.

[2]STRIJBOSCH L W G， MOORS J J A. Modified normal demand distributions in (R, S) inventory control [J]. European Journal of Operational Research, 2006, 172(1):201-212.

[3]SEGERSTEDT A. Inventory control with variation in lead times, especially when demand is intermittent[J]. International Journal of Production Economics, 1994, 35(1): 365-372.

[4]FEENEY G J,SHERBROOKE C C.The (S-1,S) inventory policy under compound Poisson demand[J]. Manage Science, 1966, 12(5):391-411.

[5]ARCHIBALD B C， SILVER E A. (s, S) Policies under continuous review anddiscrete compound Poisson demand[J]. Management Science, 1978, 24(9): 899-909.

[6] KI Lingcheung. On the(S-1,S) inventory model under compound Poisson demands and i.i.d. unit resupply times[J]. Naval Research Logistics, 1996, 43(4): 563-572.

[7]BOYLAN J E. The centralisation of inventory and the modelling of demand[D].UK:University of Warwick, 1997.

[8]JANSSEN F,HEUTS R. On the (R, s, Q) inventory model when demand is modelled as a compound Bernoulli process[J]. European Journal of Operational Research, 1998, 104(3):423-436.

[9]EAVES A H C. Forecasting for the ordering and stock holding of consumable spareparts[D].UK:Lancaster University, 2002.

[10]TEUNTER R H, SYNTETOS A A,BABAI M Z. Determining order-up-to levels under periodic review forcompoundbinomial (intermittent) demand [J]. European Journal of Operational Research, 2010, 203(3):619-624.

[11]MOINZADEH K. Operating characteristics of the (S-1, S) inventory systemwith partial backorders and constant resupply times[J]. Management Science, 1989, 35(4): 472-477.

[12]SMEITINK E. A note on operating characteristics of the (S-1, S) inventorysystem with partial backorders and constant supply times[J]. Management Science, 1990, 36(11): 1413-1414.

[13]MATHEUS P,GELDERS L. The (R, Q) inventory policy subject to a compound Poisson demand pattern[J]. International Journal of Production Economics, 2000, 68(3):307-317.

[14]馬保國, 張繼強, 劉長新. 航材可修件復合泊松需求下的庫存決策[J].中國管理科學, 2004, 12(z1): 177-180.

MA Baoguo, ZHANG Jiqiang, LIU Changxin. The stock decision of repairable air material under compound poisson demand[J]. Chinese Journal of Management Science, 2004, 12(z1): 177-180.

[15]李冰, 葉懷珍. 復合泊松需求的聯(lián)合補充問題[J]. 系統(tǒng)工程, 2002,20(3): 9-14.

LI Bing, YE Huaizhen. Joint replenishment of problem with compound Poissondistribution[J]. Systems Engineering, 2002,20(3): 9-14.

[16]LARSEN C, THORSTENSON A. A comparison between the order and the volume fill rate for a base-stock inventory control system under a compound renewaldemand process [J]. Journal of the Operational Research Society 2008, 59(6):798-804.

[17]SANI B, KINGSMAN B G. Selecting the best periodic inventory control anddemand forecasting methods for low demand items[J]. Journal of the Operational Research Society,1997, 48(7): 700-713.

[18]BABAI M Z, JEMAI Z, DALLERY Y. Analysis of order-up-to-level inventory systems with compound Poisson demand[J]. European Journal of Operational Research, 2011, 210(3):552-558.

[19]LENGU D, SYTETOS A A, BABAI M Z. Spare parts management: Linking distributional assumptions to demandclassi cation[J]. European Journal of Operational Research, 2014, 235(3): 624-635.

Optimal Order Quantity of Electric Power Materials with Compound Poisson Demand Distribution

JIANG Aiping， XIA Hao, GAO Junjun, CHI Qiuguo,WU Siyu

(SHU-UTS SILC Business School, Shanghai University, Shanghai 201800, China)

Abstract：This paper is set in Shanghai Electric Power Company′s material supply system, providing the algorithm of optimal order quantity of power supplies that follow compound Poisson distribution for inventory management strategy. Establishing inventory cost model based on compound Poisson distribution, with optimal order quantity produced by a closed algorithm given the minimum inventory costs. This algorithm is applied to power supplies in empirical analysis. Numerical results show that the algorithm of optimal order quantity proposed in this paper is more suitable for intermittent demand compared to the traditional newsboy model. Considering the problem of inconvenience and inefficiency in business practice, this paper proposes an approximation algorithm and a heuristic algorithm, which can calculate the optimal order quantity quickly and efficiently.

Key words：intermittent demand; compound Poisson distribution; optimal order quantity; heuristics algorithm; approximation algorithm

收稿日期：2015- 09- 21

基金項目：國家自然科學基金資助項目(71302053)

作者簡介：姜愛萍(1979-)，女，山東省人，副教授，博士，主要研究方向為間斷需求預測及庫存管理.

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.03.015

中圖分類號：F273

文獻標志碼：A

文章編號：1007-7375(2016)03- 0090- 06