謝晴

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0369-01

引例：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則ab=本題是初學(xué)者非常容易出錯的一道題，錯誤解答如下：

事實上，上述錯誤是對函數(shù)極值理解不到位造成的。函數(shù)的極值相對于函數(shù)最值而言，是一個函數(shù)的局部概念。一般的，對（a，b）上的連續(xù)函數(shù)f（x），若在x=x0附近非常小的鄰域 （x 0-ε，x0+ε）（ε為非常小的正數(shù)）內(nèi)，①f（x）在x=x0處左增右減，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點；②f（x）在x=x0處左減右增，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點。對函數(shù)極值的理解要注意以下幾點：①在定義域上的單調(diào)函數(shù)，沒有極值；②函數(shù)的極值可能有多個，極大值與極小值沒有大小關(guān)系。這點不同于函數(shù)的最值，函數(shù)最值是針對函數(shù)整體的概念，在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定存在最值，最大值一定大于最小值。③對函數(shù)極值的判斷中一定要注意在 的左右，函數(shù)的單調(diào)性是否發(fā)生變化。

就人教版的教材而言，不管是選修2-1，還是選修1-1，我們談的函數(shù)的極值，基本上都是在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）的極值。對于這樣一類的可導(dǎo)函數(shù)的極值，我們所要遵循的規(guī)律是：對可導(dǎo)函數(shù)的極值點x=x0，一定有f`（x0）=0；反過來成立的x=x0不一定能成為極值點。例如，y=x3在R上單調(diào)增，不存在極值，而y`=3x2=0有實根x=0。因此不能單純的以為，可導(dǎo)函數(shù)的極值點就是使得f`（x）=0的零點。我們求解可導(dǎo)函數(shù)極值點的步驟如下：①f`（x）=0的解x=x0；②判斷f`（x）=0在x=x0左右符號是否發(fā)生變化：若f`（x）在x=x0鄰域內(nèi)的符號是左正右負，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點；若f`（x）=0在x=x0鄰域內(nèi)的符號是左負右正，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點。事實上判斷導(dǎo)函數(shù)符號的變化，本質(zhì)上是判斷函數(shù)在x=x0鄰域單調(diào)性的變化。

希望上述對函數(shù)極值的分析對初學(xué)者有實用，另附習(xí)題一道，可以檢驗一下對函數(shù)極值概念的把握。

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=13x3+a2x2+ax+b，當(dāng)x=-1時，f（x）的極值為-712，求a，b