□ 江蘇省常熟市新區(qū)小學 吳建英
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數(shù)學思想在“圖形與幾何”教學中的滲透
□ 江蘇省常熟市新區(qū)小學 吳建英
數(shù)學思想方法是蘊含于數(shù)學知識和內容之中,又高于具體知識和內容的一種理性知識。它是聯(lián)系數(shù)學知識的紐帶,也是整個數(shù)學知識系統(tǒng)的生命和靈魂,是數(shù)學知識賴以轉化為認識世界、改造世界能量的橋梁。布魯納曾說,掌握基本的數(shù)學思想方法能使數(shù)學更易于理解和記憶,領會基本數(shù)學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學思想方法不但對學生學習具有普遍的指導意義,而且有利于學生形成科學的思維方式和思維習慣。
數(shù)學思想貫穿于整個小學數(shù)學教學的各個領域,在“圖形與幾何”領域的教學,該如何進行行之有效的滲透呢?下面筆者以“轉化思想”、“分類思想”、“集合思想”、“函數(shù)思想”為例,簡要談談自己在教學實踐中的一些做法,以期與同行共同探討。
轉化思想,即不是直接尋找問題的答案,而是尋找一些熟悉的結果,設法將面臨的問題轉化為某一規(guī)范的問題,以便運用已知的理論、方法和技術使問題得到解決。在“圖形與幾何”領域的教學中,我們通常會把未知問題轉化為已知問題,把復雜問題轉化為簡單問題,把曲線圖形轉化為直線圖形。如在學生掌握長方體、正方體的體積計算公式后,出示一個不規(guī)則的鐵塊,讓學生求出它的體積。鐵塊既不是長方體,又不是正方體,該怎樣求它的體積呢?問題一拋出,學生紛紛沒了頭緒。但由于剛剛解決過教材P23第2題求土豆體積的問題,以及長方體、正方體的體積,學生很快便有了好辦法,總體有這樣幾種:
方法(1):可以請鐵匠師傅幫個忙,讓他把這個不規(guī)則的鐵塊熔鑄成一個規(guī)則長方體后再計算。
方法(2):把這個鐵塊放入一個裝滿水的,且有出水孔的容器,完全浸沒在水中,用量杯盛好,看溢出水的體積,就是鐵塊的體積。
方法(3):把這個鐵塊放到一個裝有水的長方體的容器內,浸沒在水中,量一量長方體容器的長、寬,以及看看水面上升了多少,只要求出長方體容器內上升部分水的體積就得到了鐵塊的體積。
方法(4):把鐵塊放到一個裝滿水的量杯內,使之淹沒,然后拿出來,看看水少了多少毫升,這個鐵塊的體積就是多少立方厘米。(即同教材“土豆體積”的問題)
引導學生思考:大家的方法都很棒!想想都有什么共同之處?學生的方法要么把鐵塊的體積轉化成了長方體的體積,要么轉化成了水的體積,巧妙地利用了轉化思想來計算出它的體積。在轉化思想的影響下,靈活地將一道生活中的數(shù)學問題地用學過的知識來順利解決了。由此可以看出:學生一旦掌握了轉化的數(shù)學思想方法,便獲得了自己獨立解決數(shù)學問題的能力。
分類思想是一種基本的數(shù)學思想方法。分類通常是指一種揭示概念外延的邏輯方法,也就是以比較為基礎,按照事物間性質的異同,將相同性質的對象歸入一類,不同性質的對象歸入不同類別的過程,分類也稱為劃分。小學階段,兒童以形象思維為主,認知水平不高,其最大的特點是思維離不開具體事物的支撐。分類必然存在分類對象,滿足了學生的認知需要形象支撐的特點。在圖形教學中滲透分類的數(shù)學思想,教師不能僅僅滿足于讓學生得到分類的結果,而應引導學生理解為什么要這樣分類,交流是按怎樣的標準進行分類的,討論怎樣分類較為合理。教師要引導學生對分類的結果進行解讀,充分展現(xiàn)學生的思維過程。如在教學“認識平行”時,我設計的第一個環(huán)節(jié)是從生活情境中選取五張圖片,從每張圖片中抽象出兩條直線:
讓學生通過觀察、分析、比較,把5組直線的位置關系進行分類。學生通過交流,出現(xiàn)以下幾種分法:
A②⑤兩條直線交叉了(連在一起),①③④兩條直線是分開的。
B②④⑤兩條直線交叉了,①③兩條直線是分開的。
C②⑤兩條直線交叉了,①③兩條直線是分開的,④另外分一類。
為什么這樣分?你是按怎樣的標準來分類的?請不同分法的學生說說想法。
直線可以無線延長,我們把它延長?。ㄕn件演示延長)
問:相交嗎?(再延長)問:相交嗎?(再延長)問:相交嗎?好,讓我們閉上眼睛,想象一下,這兩條直線無限延長以后,會相交嗎?(課件演示延長相交)
告訴學生:像這樣互相交叉(或連在一起)的兩條直線,它們的位置關系,在數(shù)學上叫做“相交”。那么,像②④這樣的兩組直線,它們相交嗎?揭示:像這樣不相交的兩條直線我們說“互相平行”。
類似這樣的教學活動,讓學生經(jīng)歷從分類中產(chǎn)生矛盾,在充分辨析中化解矛盾,“平行”的本質逐漸清晰,概念的引入趨于無痕化。
集合間的包含關系在小學數(shù)學教學中的滲透主要表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的構建之中。英國數(shù)學家維恩最早使用了可以用于表示任意的幾個集合(不論它們之間的關系如何,都可以畫成同一樣式)的“韋恩圖”,用韋恩圖表示集合,有助于探索某些數(shù)學概念的本質屬性。如新教材第8冊,有關三角形的分類問題,除用文字說明外,還用集合形象地表示出來。我在教學“三角形的分類”一課中,安排了這樣一個環(huán)節(jié):
在認識了三角形按角分,可以分為:直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種三角形后,給出一個橢圓形,引導學生想:如果我們把所有的三角形看作一個整體,用一個橢圓表示(課件演示),按上述三角形的分類,你能在這個橢圓里表示出這三種三角形嗎?你能在練習紙上畫一畫,寫一寫嗎?讓學生獨立在練習紙上畫一畫。學生大致出現(xiàn)這三類結果:
我肯定了這幾個學生的方法,同時課件出示書上的韋恩圖,并告訴學生:通常,為了更美觀、更科學,數(shù)學上用這樣的圖來表示三種三角形的關系。從這個圖上可以看出,這三種三角形都是這個整體的一部分。還讓學生閉上眼睛,把這幅圖記在腦子里,使學生看清三角形集合與銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各集合之間是整體與部分的關系。
函數(shù)的思想方法就是運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想去分析問題的數(shù)量關系,通過類比、聯(lián)想、轉化合理地構造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質,使問題獲得解決。函數(shù)的思想方法是最重要、最基本的數(shù)學思想方法之一。
雖然在小學數(shù)學中沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關系式,但這不等于沒有函數(shù)的雛形、沒有函數(shù)思想的存在。在小學階段滲透函數(shù)思想方法,可以使學生懂得一切事物都是在不斷變化、而且是相互聯(lián)系與相互制約的,從而了解事物的變化趨勢及其運動的規(guī)律。這對于培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力都有極其重要的意義,而且可以為學生以后進一步學習數(shù)學奠定良好的基礎。如六年級長方體和正方體單元中,有這樣一道題:
丹丹用24個棱長1厘米的小正方體擺出了一個長方體。她擺成的這個長方體的長、寬、高各是多少厘米?在下表中列出各種不同的可能(表略)。
在各種不同的擺法中,表面積最小的是哪一種?
學生不難得到結果:
在解決這一類問題時,大多數(shù)學生都能準確找到答案,但也有一部分學生會有重復和遺漏。于是,我通常會引導學生這樣有序地思考:當24個小正方體全部排成一層(即高是1cm)時,會有哪幾種擺法?學生想擺成一層,全部排成1排(即寬是1cm)時,每排幾個?擺成一層,全部排成2排(即寬是2cm)時,每排幾個?擺成一層,全部排成3排(即寬是3cm)時,每排幾個?當擺成2層呢,又有哪幾種擺法?
在研究過程中,學生會漸漸地感悟到:要想得到最小的表面積,就要把所有能擺成的長方體逐一例舉出來再比較;而要想得到不同的長方體,必須在保持體積(即小正方體的個數(shù)24個)不變的情況下改變長方體的長、寬、高。在高不變的情況下,寬逐漸變大,長就逐漸變小。同時,也在這些數(shù)據(jù)的變與不變中發(fā)現(xiàn):當長、寬、高三個數(shù)據(jù)最接近時(即越接近正方體時),表面積最小。這樣就把“靜態(tài)”的學習變成了“動態(tài)”的研究,而這種由“靜”到“動”的過程就是函數(shù)的本質,也體現(xiàn)了極值思想。
因此,是函數(shù)思想使學生學習的過程“動”了起來,使學生的學習“主動”起來,學生愿意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并嘗試將規(guī)律表述出來,這樣也有助于培養(yǎng)學生自主探究的能力。