☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　徐建兵

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基于新課標(biāo)下的一道中考動(dòng)態(tài)壓軸題引發(fā)的思考

☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)徐建兵

新課程總體目標(biāo)把“雙基”改成了“四基”，在原來(lái)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的前提下增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更加突出課堂教學(xué)對(duì)學(xué)生的思維與能力培養(yǎng).課堂中學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，課堂中需要有足夠的時(shí)間和空間讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動(dòng).使學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想得到發(fā)展.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題能夠把代數(shù)與幾何有機(jī)地融為一體，綜合性強(qiáng)，能夠有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力，因此它成了中考的熱門(mén)話題.筆者有幸在2015年參加了衢州市中考數(shù)學(xué)的命題工作，經(jīng)歷了第24題動(dòng)態(tài)幾何壓軸題的命制、磨題和閱卷的全過(guò)程，在此與大家一起分享.

一、題目呈現(xiàn)

圖1

（1）求tanA的值.

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上.請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.

二、命題意圖與答題思考

1.第（1）小題的命制意圖

第（1）小題考查學(xué)生三角函數(shù)知識(shí)的同時(shí)創(chuàng)建了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，為（2）（3）小題的解答做好鋪墊.本題要求學(xué)生具有一定的創(chuàng)造性思維，能夠通過(guò)添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的邊長(zhǎng)比求出三角函數(shù)的值.同時(shí)的答案方便了學(xué)生對(duì)（2）（3）小題的解答.本題難度不大，適合大多數(shù)學(xué)生完成，有利于讓學(xué)生在緊張的中考中更好地進(jìn)入解題的狀態(tài).

2.第（1）小題解題呈現(xiàn)

如圖2，過(guò)B點(diǎn)作BM⊥AC，

圖2

3.答題思考

在初中階段，三角函數(shù)與直角三角形是密不可分的，通過(guò)三角函數(shù)可以解直角三角形，通過(guò)直角三角形可以求三角函數(shù)的值，因此在課堂中應(yīng)該注重知識(shí)之間的相互聯(lián)系，融會(huì)貫通.本題需要學(xué)生擁有作高構(gòu)造直角三角形的能力，在中考的閱卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，除答案給出的以AC為底邊作高外也有以AB為底作高的同學(xué)，如圖3，但是以AB為底作高會(huì)使得它失去對(duì)第（2）小題的鋪墊作用，不利于第（2）小題的解決.對(duì)于鈍角三角形作高，還有一部分學(xué)生會(huì)搞錯(cuò)，如圖4，由于三角形的高畫(huà)錯(cuò)導(dǎo)致解題出錯(cuò)，在閱卷中還發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對(duì)3個(gè)三角函數(shù)概念出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象，如圖5，把三角函數(shù)的正切值與三角函數(shù)的正弦值混淆，還有同學(xué)在運(yùn)用三角形面積公式時(shí)忘記乘以二分之一導(dǎo)致錯(cuò)誤，筆者在教學(xué)中也遇到類似的情況，因此，在課堂教學(xué)中，應(yīng)該注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的形成.作垂直是添加輔助線的一種常規(guī)方法，這種基本技能還要在課堂中讓學(xué)生多嘗試多體驗(yàn)，以便更好地形成自己的一種能力.

圖3

圖4

圖5

4.第（2）小題的命制意圖

伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的長(zhǎng)度也會(huì)變化，本題考查了學(xué)生的探究和運(yùn)算能力，通過(guò)學(xué)生直觀的感知，發(fā)現(xiàn)最小值的存在，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生過(guò)P點(diǎn)作PM⊥AC構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出PQ2，再利用二次函數(shù)知識(shí)解決最小值的問(wèn)題，把代數(shù)與幾何有機(jī)地融為一體.本小題難度適中，適合中偏上成績(jī)學(xué)生完成.利用解析法探索最小值既考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力，也考查了學(xué)生探索和解決問(wèn)題的能力.兩種輔助線添法所需要的計(jì)算量也不一樣，但都要學(xué)生具有一定的計(jì)算功底，這正好符合2015年中考考試說(shuō)明里的加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的考查.

5.第（2）小題解題呈現(xiàn)

圖6

根據(jù)勾股定理得S=PQ2=NP2+NQ2=（3t）2+（9-9t）2=

圖7

6.答題思考

從中考閱卷的情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)這種圖形變化具有一定的直觀感覺(jué)，很多同學(xué)從圖形的變化中發(fā)現(xiàn)存在最小值，把學(xué)生的思維引向最小值是多少的探究上，這種由猜想到推理實(shí)踐的能力正是現(xiàn)在需要大力培養(yǎng)的能力之一.筆者在中考閱卷中發(fā)現(xiàn)還有相當(dāng)一部分同學(xué)缺乏這種探究的能力，因此，在課堂教學(xué)中如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力值得我們教師反思.兩種解題思路源于學(xué)生兩種作高的方法，本題給學(xué)生不同的解決問(wèn)題思路，開(kāi)闊學(xué)生的思維.基于對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的考查，兩種方法在計(jì)算時(shí)存在不同的難度值，而且計(jì)算之時(shí)也存在一定的技巧性，給了不同思維的學(xué)生不同的展示空間，從中考閱卷中明顯反映出學(xué)生的計(jì)算能力比較弱，據(jù)統(tǒng)計(jì)在探究解決此問(wèn)題時(shí)，如圖8，在“S=PQ2=NP2+NQ2= （3t）2+（9-9t）2”這一步后面解錯(cuò)的大約有一半人數(shù)，因此，我們?cè)谡n堂教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng).筆者記得在參加浙江省2015年中考命題培訓(xùn)時(shí)，仙居縣教研室特級(jí)教師吳增生老師就提到今年考試說(shuō)明里加強(qiáng)運(yùn)算能力考查的變化，他提到運(yùn)算是代數(shù)的核心，筆者也因此深受啟發(fā).在命題之時(shí)筆者曾考慮點(diǎn)P沿射線AD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)，如此一來(lái)，發(fā)現(xiàn)PQ不會(huì)出現(xiàn)最值問(wèn)題，因此，筆者把點(diǎn)Q改為由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，PQ就存在一個(gè)最小值問(wèn)題，值得探究.因此在課堂中教師還要注重變式練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.讓學(xué)生學(xué)會(huì)去變式、去猜想、去發(fā)現(xiàn)、去論證.

圖8

7.第（3）小題命題意圖

第（3）小題注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，解決問(wèn)題時(shí)需要運(yùn)用圖形變化中的分類討論和方程思想，把我們課堂中經(jīng)常出現(xiàn)的“K”字型全等的幾何問(wèn)題有機(jī)地融入到變化的過(guò)程中，利用“K”字型全等進(jìn)行計(jì)算，大大方便了學(xué)生對(duì)各種情況的分析解決.本題圖形的變化與以往的有所不同，有圖形的放大，也有圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)，這更開(kāi)闊了學(xué)生的視野，四種難易不同情況的出現(xiàn)使得本小題有了很好的區(qū)分度，真正起到選拔的作用.

圖9

8.第（3）小題解題呈現(xiàn)

①當(dāng)點(diǎn)E落在HG邊上時(shí)，如圖9，過(guò)點(diǎn)P作PM′⊥AC，PQ=EQ，∠PM′Q= ∠EHQ，∠PQM′=∠EQH，所以△PQM′≌△EQH，所以QM′=QH.因?yàn)镼M′=9-9t，QH=5t，所以9-9t=5t，所以

②當(dāng)點(diǎn)F落在HG邊上時(shí)，如圖10，過(guò)P、E兩點(diǎn)分別作PM′⊥AC、N′H′⊥AC，易證△PM′Q≌△QN′E≌△EH′F，所以PM′=QN′=EH′=3t，M′Q=N′E=H′F=9-9t，9-9t+3t=5t，t=

圖10

③當(dāng)點(diǎn)P落在QH邊上時(shí)，如圖11，點(diǎn)E恰好落在QC邊上，AQ=4t，CQ=5t，4t+5t=9，t=1.

圖11

圖12

④當(dāng)點(diǎn)F落在CG邊上時(shí)，如圖12，過(guò)點(diǎn)P作PM″⊥AC，PN″⊥CG，易證△PM″Q≌△PN″F，PN″=3t，AM″=4t，

9.答題思考

本小題通過(guò)圖形的變化，重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓不同能力的學(xué)生獲得不同的分?jǐn)?shù).要找到四個(gè)答案需要學(xué)生擁有很好的數(shù)學(xué)思維，圖形的變化外表雖然看起來(lái)復(fù)雜，但如果學(xué)生看到了變化問(wèn)題的本質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)落在正方形水平的邊上時(shí)，點(diǎn)的堅(jiān)直高度決定著點(diǎn)在水平的直線上，同時(shí)點(diǎn)的水平距離決定著點(diǎn)是否在線段上，當(dāng)點(diǎn)落在正方形豎直的邊上時(shí)，點(diǎn)的水平距離決定著點(diǎn)是否在直線上，而點(diǎn)的豎直距離決定著點(diǎn)是否在線段上，這樣問(wèn)題就容易得到解決.點(diǎn)E落在正方形QCGH邊上時(shí)，如圖13，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，過(guò)E點(diǎn)作EN⊥AC，此時(shí)AN=AM+MQ+NQ=4t+9-9t+3t=9-2t，EN=MQ=9-9t，由AN與EN的長(zhǎng)來(lái)分析點(diǎn)是否落在正方形QCGH的邊上.以此類推再考慮點(diǎn)F和點(diǎn)G，畫(huà)出圖形尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程解決問(wèn)題，本題充分考查了學(xué)生的思維能力，學(xué)生要思考運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)存在的等量關(guān)系，利用方程思想解決問(wèn)題，具有一定的難度，因此在課堂教學(xué)中要多留出學(xué)生思考問(wèn)題的時(shí)間和空間，通過(guò)練習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的不足，加強(qiáng)訓(xùn)練，使學(xué)生擁有這些方法和技能，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，只有這樣才能在中考中立足不敗之地.

圖13

三、課堂教學(xué)思考

如圖14是中考閱卷正評(píng)分的分布曲線統(tǒng)計(jì)圖，此圖反映了本題在中考中起到了能力區(qū)分的作用，實(shí)現(xiàn)了命題者的命題意圖.從答題的過(guò)程中也反映出課堂教學(xué)時(shí)我們廣大教師應(yīng)該思考的一些問(wèn)題：

圖14

1.課堂中“四基”是否落實(shí)到位

教學(xué)要立足于教材，高度重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法等核心內(nèi)容，深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，如定理、法則的推導(dǎo)過(guò)程，典型例題、習(xí)題中蘊(yùn)含的一般規(guī)律與方法等，要從教材中尋找中考試題的“影子”，試卷中多數(shù)試題都來(lái)源于教材中的例題或習(xí)題.要注意基礎(chǔ)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注意加強(qiáng)對(duì)通性通法的熟練掌握，重視基本技能的訓(xùn)練.同時(shí)要面向全體學(xué)生，防止兩極分化的出現(xiàn)，本題得分情況充分暴露出學(xué)生計(jì)算能力差和兩極分化嚴(yán)重的問(wèn)題.

2.課堂中思想方法是否得到體驗(yàn)

數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略，是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，考查數(shù)學(xué)思想方法是考查數(shù)學(xué)思維能力的必由之路.抓住數(shù)學(xué)思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，更是提高解題能力根本之所在.因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)平時(shí)練習(xí)中出現(xiàn)考查數(shù)學(xué)思想方法的題目，及時(shí)強(qiáng)化和滲透，逐步培養(yǎng)考生用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí).

3.課堂中學(xué)生能力是否得到培養(yǎng)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)在傳授知識(shí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.近幾年的中考數(shù)學(xué)試題，已逐步從考查數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成考查數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)能力不是短時(shí)間內(nèi)形成的，教學(xué)中，要從起始年級(jí)開(kāi)始就注重能力的培養(yǎng)，建立一個(gè)能力培養(yǎng)體系，使能力培養(yǎng)貫穿于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程.同時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中，還要重視知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成的過(guò)程，注重解題思路的探索過(guò)程，注重解題方法和解題規(guī)律的概括過(guò)程，要合理地調(diào)配時(shí)間，“讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作交流”，使教學(xué)的過(guò)程變成一個(gè)學(xué)生思維方式不斷發(fā)展的過(guò)程，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

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