☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中　沈岳夫

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對(duì)一道習(xí)題解法的探尋及推廣

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中沈岳夫

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng).

圖1

本題的閱讀量較小，條件清晰，但對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.筆者細(xì)研此題，發(fā)現(xiàn)此題切入點(diǎn)多，方法多樣，給學(xué)生留有較大的思維空間，使得學(xué)生的解答可以呈現(xiàn)出眾多創(chuàng)新方法.現(xiàn)把此題的幾種解題思路整理成文，以期待同行的指正.

二、解法探尋

1.追本溯源

筆者仔細(xì)研究此題發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成這道試題的基本素材在浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第2章“特殊三角形”中有相應(yīng)的例題和習(xí)題.

題源1如圖2，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，則△ABC是等腰三角形嗎？證明你的判斷.

圖2

圖3

題源2如圖3，在△ABC中，AB =AC，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，且∠CDE=25°.求∠A，∠B的度數(shù).

上述兩道題目所呈現(xiàn)的是“角平分線+平行線→等腰三角形”這一基本圖形，只要題目中出現(xiàn)其中兩個(gè)相關(guān)條件就可以通過推理得到另外一個(gè)基本圖形相關(guān)結(jié)論.學(xué)生如果找到了解決問題的源泉，那么，解決例題就會(huì)得心應(yīng)手，思路就會(huì)自然產(chǎn)生.

2.解法探尋

思路1：抓住60°的特殊角，從構(gòu)造相似的基本圖形入手.

如圖4，過點(diǎn)C作CE平行AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠BAE=∠AEC.因?yàn)锳D平分∠BAC，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=∠AEC=60°，所以△AEC是等邊三角形，所以AE=EC=CA.因?yàn)镃E∥AB，所以△CDE∽△BDA，所以，即，解得AD=2.

圖4

圖5

說明：此解題思路源于對(duì)題源1、題源2的一種經(jīng)驗(yàn)積累的“噴薄”，通過添加輔助線，既產(chǎn)生了相似三角形（△CDE∽△BDA），又產(chǎn)生了特殊三角形（等邊△AEC），這樣方便與題目中的條件建立了聯(lián)系，問題得以解決.當(dāng)然，添平行線的方法有很多種，如作出圖5、圖6中的平行線也能得解，有興趣的讀者不妨試試.這些解題思路是幾何證明中一種常用的通性通法，應(yīng)當(dāng)予以重視.

圖6

圖7

思路2：利用角平分線性質(zhì)，從面積“算兩次”的角度入手.

如圖7，過點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F，再過點(diǎn)C作BA的垂線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.因?yàn)椤螧AC= 120°，所以∠CAH=60°，所以在Rt△ACH中，易求CH=.由角平分線性質(zhì)，易知DE=DF.因?yàn)镾△ABD+S△ACD=S△ABC，所以，可得所以在Rt△ADE中，AD=，解得AD=2.

說明：此解題思路是通過添輔助線，由特殊三角形得到相關(guān)的線段長(zhǎng)，然后對(duì)同一個(gè)三角形的面積“算兩次”，這種思想方法架起了線段之間的關(guān)系，最終求出線段AD的值.可見，思之愈深，方法越多.總之，靈活運(yùn)用面積這一“工具”，也是一種有效解決問題的方法.

思路3：利用角平分線性質(zhì)，從構(gòu)造特殊三角形及相似入手.

如圖8，過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為F，再過點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為E.因?yàn)锳D平分∠BAC，所以由△BDE∽△CDF，易得在Rt△ABE中，易求AE=3.同理，可求設(shè)DF=x，則DE=2x.因?yàn)?，所以所以AD=AF+DF=

圖8

說明：此解題思路是學(xué)生利用課外知識(shí)“角平分線分線段成比例”而獲解，顯得簡(jiǎn)捷、明了.由此可見，一些優(yōu)秀學(xué)生通過自學(xué)、吸收、內(nèi)化，積累一些先進(jìn)的“武器”，為自己擅長(zhǎng)的方式構(gòu)思或?qū)で蠼鉀Q問題的方法貯存能量，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”，做到該出手時(shí)就出手，同時(shí)也為后續(xù)的學(xué)習(xí)蘊(yùn)足了動(dòng)力.

思路4：利用熟悉圖形積累的經(jīng)驗(yàn)，從向外構(gòu)造相似圖形入手.

我們先看一類常見的、熟悉的圖形，這些圖形都是以△ABC為“母體”向外作相似圖形，如圖9向外作等邊三角形、如圖10向外作正方形、如圖11向外作等腰直角三角形等.

圖9

圖10

圖11

如果學(xué)生能從平時(shí)積累的解題經(jīng)驗(yàn)中，檢索出此類圖形，那么添加輔助線自然會(huì)水到渠成.基于這種思路，可有下列解法.

如圖12，過點(diǎn)C作CE平行AD，交BA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF平行AD，交CA的延長(zhǎng)線于F點(diǎn).由題意，易知△ACE、△ABF都是等邊三角形，所以CE=AC=3，BF=AB=6.由△BAD∽△BEC，得①；由△CAD∽△CFB，得②.由①+②得，所以即，解得AD=2.

圖12

說明：此解題思路是源于學(xué)生從遇到過熟悉的相似圖形（或基本圖形）入手，展開聯(lián)想，從常見的基本圖形中找到了創(chuàng)造之源，找出了問題“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系.由此可見，探尋正確解法的思路是“有規(guī)可依”“有序可循”：那就是從分析題目的已知條件入手，看看條件能想到什么？看看所求需要什么？并以知識(shí)關(guān)聯(lián)的遠(yuǎn)近為順序，先從與題干知識(shí)關(guān)聯(lián)程度近的知識(shí)點(diǎn)切入思考，當(dāng)發(fā)現(xiàn)走不通，再換與題干知識(shí)關(guān)聯(lián)程度相對(duì)較遠(yuǎn)的知識(shí)點(diǎn)著手探究，直至找到正確解法.”

3.同類強(qiáng)化題

親愛的讀者，你看了以上的幾種解法，是不是產(chǎn)生了一種躍躍欲試的沖動(dòng)，那你就動(dòng)起筆來，思考、挑戰(zhàn)一下下面的拓展題吧.

（1）（2013年烏魯木齊卷）如圖13，在△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于點(diǎn)F，AB=5，AC=2，則DF的長(zhǎng)為_____.

圖13

圖14

圖15

（2）（2015年無錫卷）如圖14，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長(zhǎng)等于_____.

（3）（2014年武漢卷）如圖15，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為_____.

4.引申推廣

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說過：“一個(gè)問題的解決意味著一系列新的問題的誕生.當(dāng)我們解題成功時(shí)，不要忘記提出新的問題，因?yàn)檫€有許多寶藏尚未開發(fā)出來.”教師解題不能局限于低效的就題論題的解題習(xí)慣，教師若能深入領(lǐng)悟典型題目的編寫意圖，進(jìn)行“一題多法的探索、一題多問的發(fā)散、一題多變的嘗試、多題歸一的收斂、多題歸一的提煉”的二度開發(fā)，這本身就是對(duì)解法之間的聯(lián)系、解題方法本質(zhì)的深度挖掘，努力追溯問題背景及一般的結(jié)論，臻于知其然的化境.

推廣：如圖16，在△ABC中，AB =m，AC =n，m＞n，∠BAC=θ，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng).

圖16

解析：如圖16，過點(diǎn)D分別作DE平行AC、DF平行AB，交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，交AD于點(diǎn)O，則四邊形AFDE是平行四邊形.由題意，易知∠EAD=∠FAD= ∠ADF，所以AF=DF，所以四邊形AFDE是菱形.由此可知，EF⊥AD，且互相平分.由DF∥BA，可得，即，解得.因?yàn)锳D平分∠BAC，∠BAC= θ，所以所以在Rt△ODF中，AD=2DO=2DF·

前面梳理了4種解題思路，實(shí)際上此題的解法還不止這些.當(dāng)學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)、某些基本圖形理解的較為深入時(shí)，就會(huì)首先考慮到較簡(jiǎn)潔的解法.例如，當(dāng)對(duì)相似三角形的基本圖形理解較為深入時(shí)，就會(huì)選思路1；若對(duì)“面積法”運(yùn)用較為靈活時(shí)，就會(huì)選擇思路2；若對(duì)“角平分線性質(zhì)”較為熟練時(shí)，就會(huì)選擇思路3；若對(duì)“常見圖形”積累到一定程度，并能提煉解題經(jīng)驗(yàn)時(shí)，就會(huì)選擇思路4.

可見，在平時(shí)的教學(xué)中，教師若能選取類似本文提到的這樣的好題，留給學(xué)生足夠的時(shí)間思考，給學(xué)生提供展示自己想法的機(jī)會(huì)，并組織學(xué)生對(duì)不同思路進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，學(xué)生就能自然地把題目涉及的基本圖形的基本性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)加以聯(lián)系，構(gòu)建成一個(gè)整體，達(dá)到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的程度.這樣做，會(huì)比機(jī)械地重復(fù)做大量的訓(xùn)練題目的效果要好得多.進(jìn)行類似于此題的“一題多解”的教學(xué)，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題能力，而且也有利于開闊學(xué)生的視野，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用水平.

參考文獻(xiàn)：

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