☉江蘇省張家港市鹿苑中學　吳禮紅

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學生錯誤，如何“診療”
——由一次網絡研討說起

☉江蘇省張家港市鹿苑中學吳禮紅

一、緣起

近幾年來網絡的普及，特別是QQ超級大群的建立，為廣大數學教師交流和研討提供了一個非常重要的平臺.網絡上有很多初中數學教師超級大群，老師們可以突破時空限制，圍繞各自的教學實踐展開交流研討，這成為老師們追求專業(yè)精進的重要教研方式，其作用不容小覷.對待學生的錯誤，教師不僅要“糾錯”，更要“究錯”.本文記錄了一次針對學生計算出錯的研討片斷，并圍繞“如何幫助學生究錯”給出進一步的思考與建議，供研討.

二、學生錯例及研討片斷

師1（皖馬鞍山吳老師）：請教大家，學生老是犯這樣的錯誤，怎么樣糾正？這種錯誤的成因何在？（錯誤解法如下）

案例1：解方程：x2-4x-1=0.

這個學生還是個小女孩，但是總是犯這樣的錯誤，從初一到現在初三，一直沒找到好的方法指導她.

師2（山東諸城王老師）：讓學生推理公式，積累經驗.

師3（江蘇常熟張老師）：出錯的原因是做題不細心導致符號出錯.有些同學以為只要記住公式就會做對題目.這類學生眼高手低，做題時追求速度，忽視答題的正確率.

師4（上海趙老師）：為什么這樣處理，這個學生應當是有自己的想法與考慮的，聽聽她是怎樣想的，再尋求解決之道可能會更有效一些.找個機會，試著不讓她寫過程，而是讓她說解題過程，了解她的思維方式.另外，也可以讓她整理自己的錯題，歸納出錯的原因，加深她對這類錯誤的敏感度，不知是否有幫助？

師1：謝謝，我試試.

三、“診療”意見

學生的錯誤如同病例，需要教師做出精準的診斷評估，然后才開出治療處方.從上面的研討片斷中可見，兩位老師都對學生的錯誤表示出耐心，也想把其中的錯因弄清楚，但是仍然沒有觸及學生錯誤的本質.筆者認為，這位學生做錯的原因從表面上看是粗心導致運算結果錯誤，究其根本，錯因在于跳過程！套用交通安全的宣講材料所說，“十次事故九次快”，這位學生的錯誤也是“十次算錯九次快”.讓我們先來看看蘇科版數學九年級上冊的例題是如何規(guī)范求根公式法的解法步驟的.

案例2：解方程：x2+x-1=0.

解：a=1，b=1，c=-1，b2-4ac=12-4×1×（-1）=5，

對比一下上文中學生的錯誤，她跳過了明確a、b、c的過程，跳過了計算b2-4ac的過程，只是默寫了求根公式，但是在代入求值時口算或心算過程中符號出錯，建議讓該學生重新體會教材上的規(guī)范表達，再讓她規(guī)范步驟，如下所示.

解：a=1，b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）2-4×1×（-1）=20，

簡評：可以發(fā)現運算的成功不僅需要對算理、算法的理解，還需要對運算步驟的執(zhí)行，而不是盲目跳步驟、跳過程.規(guī)范表達的習慣往往也是學生嚴守規(guī)范的需要.

四、想起一個“高層次”學生的錯例

由上面的研討，筆者聯(lián)想到近期本校一位初一優(yōu)秀學生在期中考試中的錯例如下所示.

案例3：某校計劃在“五一”期間組織教師到某地參觀旅游，參加旅游的估計有10～25人，甲、乙兩家旅行社的服務質量相同，且報價都是每人800元，經過協(xié)商，甲旅行社表示可給予每位游客7.5折優(yōu)惠，乙旅行社表示可免去一位游客的旅游費用，其余游客8折優(yōu)惠.該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少？

學生的解答如下（截圖）.

錯例故事：這是初一期中考試卷中一道應用題，該生這道大題8分全失，學生找老師申訴，老師粗看一下，認為他的錯誤在于沒有用到本題中的一個重要條件800元，所以解答無效……這位優(yōu)秀的學生繼續(xù)把800元補充到列式中，仍然演算出上述解答，百思不得其解.那么該如何評價這位學生的錯誤解答呢？是那個所謂的“重要條件800元”缺失嗎？

診斷意見：他的錯誤主要在理解題意上，把員工和帶隊領導分開了，其實領導也屬于員工之一.這種錯誤很隱蔽，屬于高位出錯，一般檢查不出來.嚴格來說，不是數學上的問題，而是問題情境的理解.也就是說，該學生的解法根本上出發(fā)點就錯了，而跟800元無關，這一點孩子認識是深刻的.所以，當人數為16時，甲、乙旅行社費用相同；當人數為17-25時，選甲旅行社費用較少；當人數為10-15時，選乙旅行社費用較少.還要順便指出的是，該學生的解法已體現了初二函數解法的規(guī)范表達，很不錯.

五、關于教學“究錯”進一步的思考

1.讀懂學生的錯誤需要貼近學生的思維

學生的解法出錯，往往是一系列因素造成的，有時是對概念或題意的理解出錯，有時是對算理、算法的遺忘造成的，還有的是混淆公式或符號出錯造成的.需要結合問題的特點、學生的解法步驟等綜合評價，特別是要貼近學生思維，嘗試理解學生的可能想法或念頭，如果條件許可，應該讓學生參與答辯，通過追問，暴露他們的想法，特別是基于題目中哪個關鍵信息下手的，如何獲得思路，為什么這樣思考等，在充分理解學生的思考和思維風格之后，可以綜合診斷評估學生出錯的原因.

2.究錯的關鍵在于引導學生回到“起點”思考

筆者認為，究錯教學的關鍵在于引導學生回到問題的“起點”，比如仔細閱讀問題，如案例1中，引導學生仔細辨認一元二次方程的各項系數，然后逐一代入，按步計算，而不是隨意跳步驟.比如案例3中，引導學生仔細讀題，讓學生辨析員工與領導之間的從屬關系，回到理解題意上找出錯誤的本質.有些問題還需要“回到概念”去究錯，比如一元二次方程求根公式運用的前提是先把方程轉化為一般式，然后計算根的判別式，在確認根的判別式為非負數后，才能代入求根公式.

3.學生錯例的“診療”也是專業(yè)基本功之一

經由南京大學哲學系鄭毓信教授在《人民教育》上的推介，我們知道了數學教師的專業(yè)基本功主要是：善于舉例、善于提問、善于優(yōu)化.長期以來，我們堅守對“三字一話”的通式基本功的研討，往往忽視對數學教師專業(yè)基本功的探討，這值得我們深思.再結合本文推介的學生錯題的“診療”來看，我們這些在一線教學的教師還需要一種重要的基本功，就是對學生的錯例能做出精準“診斷”和有效“治療”.而這項基本功的修煉也需要“三個理解”，即章建躍博士提出的理解數學、理解教學、理解學生.本文所列舉的案例還不夠豐富，思考也是初步的，期待更多同行在平時的教學中積累案例，推介優(yōu)秀的“診斷”與“治療”方案，豐富這個方面的研究案例.

參考文獻：

1.楊裕前，董林偉.義務教育課程標準教科書·數學（九年級上冊）［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

2.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

3.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

4.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

5.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.Z